8.2.2 第1课时 离散型随机变量的均值（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦离散型随机变量的均值这一核心知识点，系统讲解其定义（概率分布中取值与概率乘积的和）及性质（线性变换下的均值关系），承接概率分布知识，为后续方差学习搭建支架。 资料以福利彩票等实际问题引入，通过“定义理解—性质证明—实际应用”的递进题型，培养数学抽象、数学运算与数学建模素养。课中辅助教师实例教学，课后分层练习助学生巩固，有效查漏补缺。

第1课时　离散型随机变量的均值 课标要求 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的意义和性质（数学抽象）. 2.会根据离散型随机变量的概率分布求出均值（数学运算）. 3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题（数学建模、数据分析）. 　　某种福利彩票每张面值2元，购买者可从0，1，2，…，9这十个数字中选择3个数字（可以重复）.当所选3个数字与随机摇出的开奖号码数字及顺序均相同时，可以获得500元奖金. 【问题】　如果你长期购买这种彩票，平均每张彩票的中奖金额是多少，你的整体收益状况如何？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　离散型随机变量的均值 1.定义：一般地，随机变量X的概率分布如表所示， X x1 x2 … xn 概率p p1 p2 … pn 其中pi≥0，i＝1，2，…，n，p1＋p2＋…＋pn＝1.我们将　p1x1＋p2x2＋…＋pnxn　称为随机变量X的均值或数学期望，记为E（X）或μ. 　　提醒：（1）均值是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均数；（2）离散型随机变量的均值E（X）是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平. 2.性质：一般地，对于随机变量X和常数a，b，有E（aX－b）＝aE（X）－b. 特别地，E（X＋b）＝E（X）＋b，E（aX）＝aE（X）. 【想一想】 若随机变量X服从两点分布且P（X＝1）＝p，则X的均值是多少？ 提示：E（X）＝1×p＋0×（1－p）＝p. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机变量X的均值E（X）是个变量，其随X的变化而变化.（　×　） （2）随机变量的均值E（X）反映了X取值的平均水平.（　√　） （3）若随机变量X的均值E（X）＝2，则E（2X）＝4.（　√　） （4）若随机变量X服从两点分布，则E（X）＝P（X＝1）.（　√　） 2.已知随机变量X的概率分布如下： X －1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 则E（X）＝－0.3. 解析：E（X）＝（－1）×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3. 3.设E（X）＝5，则E（2X＋10）＝20. 解析：E（2X＋10）＝2×E（X）＋10＝20. 题型一｜求离散型随机变量的均值 【例1】　（链接教科书第119页练习1题）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表所示： 歌曲 A B C 猜对的概率 0.8 0.6 0.4 获得的公益基金额/元 1 000 2 000 3 000 规则如下：按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首.求嘉宾获得的公益基金总额X的概率分布及均值. 解：分别用A，B，C表示事件猜对歌曲A，B，C的歌名，则A，B，C相互独立. P（X＝0）＝P（）＝0.2， P（X＝1 000）＝P（A）＝0.8×0.4＝0.32， P（X＝3 000）＝P（AB）＝0.8×0.6×0.6＝0.288， P（X＝6 000）＝P（ABC）＝0.8×0.6×0.4＝0.192. X的概率分布为 X 0 1 000 3 000 6 000 P 0.2 0.32 0.288 0.192 X的均值E（X）＝0×0.2＋1 000×0.32＋3 000×0.288＋6 000×0.192＝2 336. 通性通法 求随机变量X的均值的方法和步骤 （1）理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值； （2）求出X取每个值的概率P（X＝k）； （3）写出X的概率分布； （4）利用均值的定义求E（X）. 【跟踪训练】 　袋中有4个红球，3个黑球，现从袋中随机取出4个球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，试求得分X的均值. 解：取出4个球颜色及得分情况是4红得8分，3红1黑得7分，2红2黑得6分，1红3黑得5分，因此，X的可能取值为5，6，7，8， P（X＝5）＝＝，P（X＝6）＝＝， P（X＝7）＝＝，P（X＝8）＝＝， 故X的概率分布为： X 5 6 7 8 P ∴E（X）＝5×＋6×＋7×＋8×＝. 题型二｜离散型随机变量均值的性质 【例2】　（1）若X的概率分布为： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 证明：E（aX＋b）＝aE（X）＋b； （2）根据（1）的结论，若X的概率分布为： X －2 －1 0 1 2 P m 且Y＝－2X，求E（Y）. 解：（1）证明：E（aX＋b）＝（ax1＋b）p1＋（ax2＋b）p2＋…＋（axn＋b）pn＝a（x1p1＋x2p2＋…＋xnpn）＋b（p1＋p2＋…＋pn）＝aE（X）＋b. （2）由随机变量概率分布的性质，得＋＋＋m＋＝1，解得m＝， 故E（X）＝（－2）×＋（－1）×＋0×＋1×＋2×＝－. 由Y＝－2X，得E（Y）＝－2E（X）＝－2×（－）＝. 【母题探究】 　（变设问）本例（2）条件不变，若将“Y＝－2X”改为ξ＝aX＋3，且E（ξ）＝－，求a的值. 解：因为E（ξ）＝E（aX＋3）＝aE（X）＋3＝－a＋3＝－，所以a＝15. 通性通法 求线性关系的随机变量Y＝aX＋b的均值方法 （1）定义法：先列出Y的概率分布，再求均值； （2）性质法：直接套用公式E（Y）＝E（aX＋b）＝aE（X）＋b求解即可. 【跟踪训练】 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超过4 km时车费为10元，若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费（超出不足1 km的部分按1 km计）.从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，途中停车时间要转换成行车路程（这个城市规定，每停车5分钟按1 km路程计费），这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收车费为η. （1）求车费η关于行车路程ξ的关系式； （2）若随机变量ξ的分布列为 ξ 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收车费η的均值； （3）已知某旅客实付车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？ 解：（1）依题意得，η＝2（ξ－4）＋10，即η＝2ξ＋2，ξ∈N. （2）E（ξ）＝15×0.1＋16×0.5＋17×0.3＋18×0.1＝16.4. ∵η＝2ξ＋2，∴E（η）＝2E（ξ）＋2＝34.8. 故所收车费η的均值为34.8元. （3）由38＝2ξ＋2，得ξ＝18，5×（18－15）＝15. ∴出租车在途中因故停车累计最多15分钟. 题型三｜均值的实际应用 【例3】　（链接教科书第118页例1，第119页例2）某人有20万元，准备用于投资房地产或购买股票，若根据下面的盈利表进行决策，应选择哪种方案？ 投资情况 方案盈利（万元）概率 购买 股票 投资 房地产 巨大成功 0.3 10 8 一般成功 0.5 3 4 失败 0.2 －10 －4 解：设购买股票的盈利为X万元，投资房地产的盈利为Y万元， 则E（X）＝10×0.3＋3×0.5＋（－10）×0.2＝3＋1.5－2＝2.5（万元）， E（Y）＝8×0.3＋4×0.5＋（－4）×0.2＝2.4＋2－0.8＝3.6（万元）. 因为E（Y）＞E（X）， 所以投资房地产的平均盈利较高，故选择投资房地产. 通性通法 实际问题中均值的含义 　　对于实际应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的概率分布，然后按定义计算出随机变量的均值，均值反映了随机变量取值的平均水平，刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质. 【跟踪训练】 　体检时，为了确定体检人是否患有某种疾病，需要对其血液进行化验，若结果呈阳性，则患有该疾病；若结果呈阴性，则未患有该疾病.已知每位体检人患有该疾病的概率均为0.1，化验结果不会出错，而且各体检人是否患有该疾病相互独立.现有5位体检人的血液待检查，有以下两种化验方案： 方案甲：逐个检查每位体检人的血液； 方案乙：先将5位体检人的血液混在一起化验一次，若呈阳性，则再逐个化验；若呈阴性，则说明每位体检人均未患有该疾病，化验结束. （1）哪种化验方案更好？ （2）如果每次化验的费用为100元，求方案乙的平均化验费用. 解：（1）方案甲中，化验的次数一定为5次. 方案乙中，若记化验次数为X，则X的可能取值为1，6. 因为5人都不患病的概率为（1－0.1）5＝0.590 49， 所以P（X＝1）＝0.590 49， P（X＝6）＝1－0.590 49＝0.409 51， 从而E（X）＝1×0.590 49＋6×0.409 51＝3.047 55. 这就是说，方案乙的平均检查次数不到5次，因此方案乙更好. （2）若记方案乙中，检查费用为Y元，则Y＝100X，从而可知E（Y）＝100E（X）＝304.755， 即方案乙的平均化验费用为304.755元. 1.随机变量X服从两点分布，其概率分布如表所示，则E（X）＝（　　） X 0 1 P a A.　　　 B. C.　　　 D. 解析：A　由题意知＋a＝1，所以a＝，E（X）＝0×＋1×a＝a＝. 2.抛掷一枚质地均匀的硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值为（　　） A.0 B. C.1 D.－1 解析：A　因为P（X＝1）＝，P（X＝－1）＝，所以由均值的定义得E（X）＝1×＋（－1）×＝0. 3.设随机变量ξ的概率分布为 ξ 1 2 3 4 P 又设η＝2ξ＋5，则E（η）＝（　　） A. B. C. D. 解析：D　E（ξ）＝1×＋2×＋3×＋4×＝，E（η）＝E（2ξ＋5）＝2E（ξ）＋5＝2×＋5＝. 4.甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其概率分布如下： X 0 1 2 3 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Y 0 1 2 P 0.3 0.5 0.2 若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是乙. 解析：E（X）＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1.E（Y）＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9，∵E（Y）＜E（X）.∴乙技术好. 1.某射击运动员在比赛中每次击中10环得1分，击不中10环得0分.已知他击中10环的概率为0.8，则射击一次得分X的期望是（　　） A.0.2　　　 B.0.8 C.1　　　 D.0 解析：B　因为X的所有可能取值为1，0，且P（X＝1）＝0.8，P（X＝0）＝0.2，所以E（X）＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 2.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为（　　） A. B. C.2 D. 解析：D　依题意X＝2，3，所以P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以E（X）＝2×＋3×＝. 3.一台机器生产某种产品，生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利（　　） A.39元 B.37元 C.20元 D.元 解析：B　设这台机器生产一件产品获利ξ元，易知随机变量ξ的概率分布如下， ξ 50 30 －20 P 0.6 0.3 0.1 ∴E（ξ）＝50×0.6＋30×0.3＋（－20）×0.1＝37（元），故选B. 4.设离散型随机变量X的概率分布如下表，且E（X）＝1.6，则a－b＝（　　） X 0 1 2 3 P 0.1 a b 0.1 A.0.2 B.0.1 C.－0.2 D.－0.4 解析：C　由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8①.又由E（X）＝0×0.1＋1·a＋2·b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3②，由①②解得a＝0.3，b＝0.5，则a－b＝－0.2. 5.〔多选〕设离散型随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 0.1 q 0.3 0.4 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结论正确的有（　　） A.q＝0.3 B.q＝0.2 C.E（X）＝3 D.E（Y）＝5 解析：BD　由题表可知q＝1－0.1－0.3－0.4＝0.2，则E（X）＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.3＋3×0.4＝2，所以E（Y）＝E（2X＋1）＝2E（X）＋1＝5.故选B、D. 6.〔多选〕设p为非负实数，随机变量X的概率分布为 X 0 1 2 P －p p 则下列说法正确的是（　　） A.p∈ B.E（X）最大值为 C.p∈ D.E（X）最大值为 解析：AB　由表可得从而得p∈［0，］，期望值E（X）＝0×＋1·p＋2×＝p＋1，当且仅当p＝时，E（X）最大值＝. 7.已知E（Y）＝6，Y＝4X－2，则E（X）＝2. 解析：∵Y＝4X－2，∴E（Y）＝4E（X）－2，∴4E（X）－2＝6，即E（X）＝2. 8.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的数学期望E（X）＝. 解析：概率分布为： X 0 1 2 P 所以期望E（X）＝0×＋1×＋2×＝＝. 9.射手用手枪进行射击，击中目标就停止，否则继续射击，他射中目标的概率是0.8.若枪内只有3颗子弹，则他射击次数的数学期望是1.24. 解析：由题意知，射击次数X的可能取值为1，2，3，P（X＝1）＝0.8，P（X＝2）＝0.2×0.8＝0.16，P（X＝3）＝0.2×0.2×0.8＋0.2×0.2×0.2＝0.04，∴他射击次数的数学期望E（X）＝1×0.8＋2×0.16＋3×0.04＝1.24. 10.随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润（单位：万元）为ξ. （1）求ξ的概率分布； （2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）. 解：（1）ξ的可能取值为－2，1，2，6. P（ξ＝－2）＝＝0.02，P（ξ＝1）＝＝0.1， P（ξ＝2）＝＝0.25，P（ξ＝6）＝＝0.63. ξ的概率分布为： ξ －2 1 2 6 P 0.02 0.1 0.25 0.63 （2）ξ的数学期望为： E（ξ）＝（－2）×0.02＋1×0.1＋2×0.25＋6×0.63＝4.34， 即1件产品的平均利润是4.34万元. 11.甲、乙、丙三人各打靶一次，若甲打中的概率为，乙、丙打中的概率均为（0＜t＜4），甲、乙、丙都打中的概率是，设ξ表示甲、乙两人中中靶的人数，则ξ的均值是（　　） A. B. C.1 D. 解析：D　∵＝××，∴t＝3（t＝－3舍去）.ξ的所有可能取值为0，1，2，其概率分布如下， ξ 0 1 2 P ∴E（ξ）＝＋2×＝. 12.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每人各局取胜的概率均为，现采用五局三胜制，胜3局者赢得全部奖金800元.若前两局比赛均为甲胜，此时因某种原因比赛中止，为使奖金分配合理，则乙应得奖金100元. 解析：设甲应得奖金为X，X的可能取值为800，0，甲赢得比赛有3种情况：①胜第3局，甲赢的概率为，②输第3局，胜第4局，甲赢的概率为×＝，③输第3，4局，胜第5局，甲赢的概率为××＝，∴甲赢的概率为＋＋＝，∴E（X）＝800×＋0×＝700（元），则乙应得奖金800－700＝100（元）. 13.袋子中有8张水果卡片，其中4张苹果卡片，4张梨子卡片，消费者从该袋子中不放回地随机抽取4张卡片，若抽到的4张卡片都是同一种水果，则获得一张10元代金券；若抽到的4张卡片中恰有3张卡片是同一种水果，则获得一张5元代金券；若抽到的4张卡片是其他情况，则不获得任何奖励. （1）求某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率； （2）记随机变量X为某位消费者在一次抽奖活动中获得代金券的金额数，求X的概率分布和均值E（X）. 解：（1）记“某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片”为事件A， 则P（A）＝＝，所以某位消费者在一次抽奖活动中抽到的4张卡片都是苹果卡片的概率为. （2）依题意，随机变量X的所有可能取值为0，5，10， 则P（X＝0）＝＝， P（X＝5）＝＝， P（X＝10）＝＝， 所以X的概率分布为 X 0 5 10 P 所以E（X）＝10×＋5×＋0×＝. 14.〔多选〕已知随机变量X的概率分布如下： X －1 0 1 P a b 记“函数f（x）＝3sinπ（x∈R）是偶函数”为事件A，则（　　） A.P（A）＝ B.E（X）＝ C.E（X）＝－2a D.E（X2）＝ 解析：ACD　因为函数f（x）＝3sinπ（x∈R）是偶函数，所以π＝＋kπ，k∈Z，所以X＝2k＋1，k∈Z，又因为X＝－1，0，1，所以事件A表示X＝±1，所以P（A）＝a＋b＝1－＝，E（X）＝（－1）×a＋0×＋1×b＝b－a＝－2a，随机变量X2的可能取值为0，1，P（X2＝0）＝，P（X2＝1）＝a＋b＝，所以E（X2）＝0×＋1×＝.故选A、C、D. 15.某学校组织知识竞赛，有A，B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关. （1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的概率分布； （2）为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由. 解：（1）由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100， 则P（X＝0）＝1－0.8＝0.2， P（X＝20）＝0.8×（1－0.6）＝0.32， P（X＝100）＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的概率分布为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 （2）由（1）可知小明先回答A类问题累计得分的均值为E（X）＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4， 若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， P（Y＝0）＝1－0.6＝0.4， P（Y＝80）＝0.6×（1－0.8）＝0.12， P（Y＝100）＝0.6×0.8＝0.48， 则Y的均值为E（Y）＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6， 因为E（Y）＞E（X）， 所以为使累计得分的均值最大，小明应选择先回答B类问题. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $