6.3.2 第2课时 空间向量与垂直关系（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间向量与垂直关系核心知识点，系统梳理线线垂直、线面垂直、面面垂直的向量证明方法，及立体几何探索性问题，通过例题解析、通性通法总结与跟踪训练，构建从基础向量运算到复杂垂直关系应用的学习支架。 该资料以向量法为核心特色，结合正方体、四棱锥等模型培养几何直观（数学眼光），通性通法总结提升逻辑推理（数学思维），坐标法与基向量法强化数学语言表达。课中辅助教师系统授课，课后练习题及解析帮助学生巩固，有效查漏补缺。

第2课时　空间向量与垂直关系 题型一｜直线和直线垂直 【例1】　（链接教科书第32页例3）证明：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.（三垂线定理的逆定理） 已知：PO⊥α，PA是平面α的一条斜线，a⊂α，a⊥PA. 求证：a⊥OA.（如图） 证明：∵PO⊥α，a⊂α，∴PO⊥a.不妨设直线a的方向向量为a，又a⊥PA，∴·a＝0，·a＝0. 而＝－，∴·a＝·a－·a＝0－0＝0.∴a⊥OA. 通性通法 用向量法证明线线垂直 （1）坐标法：建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，求出两条直线方向向量的坐标，然后通过数量积的坐标运算法则证明数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直； （2）基向量法：利用空间向量的加法、减法、数乘运算及其运算律，结合图形，将两条直线所在的向量用基向量表示，然后根据数量积的运算律证明两条直线所在的向量的数量积等于0，从而证明两条直线的方向向量互相垂直. 【跟踪训练】 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AC的中点. 求证：（1）BD1⊥AC；（2）BD1⊥EB1. 证明：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz. 设正方体的棱长为1，则B（1，1，0），D1（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0），E，B1（1，1，1）. （1）＝（－1，－1，1），＝（－1，1，0）， ∴·＝（－1）×（－1）＋（－1）×1＋1×0＝0， ∴⊥，∴BD1⊥AC. （2）＝（－1，－1，1），＝（，，1）， ∴·＝（－1）×＋（－1）×＋1×1＝0， ∴⊥，∴BD1⊥EB1. 题型二｜直线和平面垂直 【例2】　（链接教科书第34页例6）如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC. 证明：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A（2a，0，0），C（0，2a，0），B1（2a，2a，2a），E（2a，2a，a），F（a，a，2a）. ∴＝（a，a，2a）－（2a，2a，a）＝（－a，－a，a）， ＝（2a，2a，2a）－（2a，0，0）＝（0，2a，2a）， ＝（0，2a，0）－（2a，0，0）＝（－2a，2a，0）. ∵·＝（－a，－a，a）·（0，2a，2a）＝（－a）×0＋（－a）×2a＋a×2a＝0， ·＝（－a，－a，a）·（－2a，2a，0）＝2a2－2a2＋0＝0， ∴EF⊥AB1，EF⊥AC. 又AB1∩AC＝A，AB1，AC⊂平面B1AC， ∴EF⊥平面B1AC. 通性通法 用向量法证明线面垂直 （1）证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直； （2）证明直线的方向向量与平面的法向量平行. 【跟踪训练】 　如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝AB，E是PC的中点.求证：PD⊥平面ABE. 证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∴AB，AD，AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系， 设PA＝AB＝BC＝1，则P（0，0，1），A（0，0，0），B（1，0，0），D， ∵∠ABC＝60°，∴△ABC为正三角形， ∴C，E. ∴＝（1，0，0），＝， ∴设平面ABE的一个法向量为n＝（x，y，z）， 则即 令y＝2，则z＝－，∴n＝（0，2，－）. ∵＝，显然＝n， ∴∥n，∴⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE. 题型三｜平面和平面垂直 【例3】　（1）证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 已知：如图，l⊥α，l⊂β. 求证：α⊥β. （2）在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点.求证：平面BDE⊥平面ABCD. 证明：（1）取直线l的方向向量u，平面β的法向量n. ∵l⊥α，∴u是平面α的法向量. ∵l⊂β，而n是平面β的法向量，∴u⊥n. ∴α⊥β. （2）设AS＝AB＝1，建立如图所示的空间直角坐标系， 则B（1，0，0），D（0，1，0），A（0，0，0），C（1，1，0），S（0，0，1），E（，，）. 法一　连接AC，交BD于点O，连接OE， 则点O的坐标为（，，0）， 易知＝（0，0，1），＝（0，0，），∴＝， 又OE与AS无公共点，∴OE∥AS. 又AS⊥底面ABCD，∴OE⊥平面ABCD. 又OE⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面ABCD. 法二　设平面BDE的一个法向量为n1＝（x，y，z）. 易知＝（－1，1，0），＝（－，，）， 由得 即 令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝（1，1，0）. ∵AS⊥平面ABCD， ∴平面ABCD的一个法向量为n2＝＝（0，0，1）. ∵n1·n2＝0， ∴平面BDE⊥平面ABCD. 通性通法 证明面面垂直的两种方法 （1）常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明； （2）向量法：证明两个平面的法向量互相垂直. 【跟踪训练】 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ. 证明：如图，以{，，}为正交基底建立空间直角坐标系D-xyz. 设正方形ABCD的边长为1， 则D（0，0，0），Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）， 则＝（1，1，0），＝（0，0，1），＝（1，－1，0）， ∴·＝0，·＝0， 即PQ⊥DQ，PQ⊥DC， 又DQ∩DC＝D，DQ，DC⊂平面DCQ， ∴PQ⊥平面DCQ， 又PQ⊂平面PQC， ∴平面PQC⊥平面DCQ. 题型四｜立体几何中的探索性问题 【例4】　已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点. （1）求证：A1E⊥BD； （2）若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置. 解：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D（0，0，0），A1（a，0，a），C1（0，a，a）. 设E（0，a，e）（0≤e≤a）. （1）证明：＝（－a，a，e－a），＝（－a，－a，0）， ∵·＝a2－a2＋（e－a）·0＝0， ∴⊥，即A1E⊥BD. （2）设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）. ∵＝（a，a，0），＝（a，0，a），＝（0，a，e）， ∴n1·＝0，n1·＝0，n2·＝0，n2·＝0. ∴ 取x1＝x2＝1，得n1＝（1，－1，－1），n2＝. 由平面A1BD⊥平面EBD得n1⊥n2. ∴2－＝0，即e＝. ∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD. 通性通法 解决立体几何中探索性问题的基本方法 （1）通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理； （2）探索性问题的关键是设点： ①空间中的点可设为（x，y，z）；②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如xOy面上的点为（x，y，0）；③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为（0，0，z）；④直线（线段）AB上的点P，可设为＝λ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算. 【跟踪训练】 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1. 问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置，若不存在，请说明理由. 解：分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图. 则P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0）. 假设在棱PD上存在符合题意的点E，设E（0，y，z），则＝（0，y，z－1），＝（0，2，－1）. ∵∥，∴y（－1）－2（z－1）＝0.　① ∵＝（0，2，0）是平面PAB的法向量，＝（－1，y－1，z）， 由CE∥平面PAB，可得⊥， ∴（－1，y－1，z）·（0，2，0）＝2（y－1）＝0. ∴y＝1，代入①式得z＝， ∴点E的坐标为（0，1，），即点E是PD的中点， ∴存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB. 1.已知直线l1的一个方向向量为n1＝（3，－2，1），直线l2的一个方向向量为n2＝（2，2，－2），则直线l1与l2的位置关系为（　　） A.平行 B.垂直 C.平行但不重合 D.相交但不垂直 解析：B　因为n1·n2＝3×2＋（－2）×2＋1×（－2）＝0，所以n1⊥n2，所以l1与l2的位置关系为垂直. 2.若平面α，β的法向量分别为a＝（－1，2，4），b＝（x，－1，－2），且α⊥β，则x＝（　　） A.10　　　B.－10 C.　　　D.－ 解析：B　因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝（－1，2，4）·（x，－1，－2）＝0，解得x＝－10. 3.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1.若E，F分别为PB，AD的中点，求证：EF⊥平面PBC. 证明：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，过点D作DG⊥PC，交PC于点G（图略）， 则E（，，），F（，0，0），G（0，，），B（1，1，0），C（0，1，0）， ∴＝（0，－，－），＝（0，，），＝（－1，0，0）， ∴·＝0，DG⊥平面PBC， ∴为平面PBC的法向量， 又＝－，∴∥，∴EF⊥平面PBC. 1.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝（－2，2，1），b＝（3，－2，m），若l1⊥l2，则m＝（　　） A.－2 B.2 C.10 D.6 解析：C　因为a⊥b，所以a·b＝0，即－2×3＋2×（－2）＋m＝0，解得m＝10. 2.如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是（　　） 解析：C　设正方体的棱长为2a.对于A，M（0，2a，2a），N（2a，0，2a），O（a，a，0），P（0，2a，a），则＝（2a，－2a，0），＝（－a，a，a），则·＝－4a2，故A错误；对于B，M（0，2a，2a），N（2a，2a，0），O（a，a，0），P（0，0，a），则＝（2a，0，－2a），＝（－a，－a，a），则·＝－4a2，故B错误；对于C，M（2a，2a，2a），N（0，2a，0），O（a，a，0），P（0，0，a），则＝（－2a，0，－2a），＝（－a，－a，a），则·＝0，即MN⊥OP，故C正确；对于D，M（0，0，2a），N（0，2a，0），O（a，a，0），P（2a，a，2a），则＝（0，2a，－2a），＝（a，0，2a），则·＝－4a2，故D错误. 3.已知平面α与β的一个法向量分别是a＝（x，2，2），b＝（1，3，y），若α⊥β，且｜a｜＝2，则y＝（　　） A.－5 B.－1 C.4或－4 D.－5或－1 解析：D　由｜a｜＝2，得x2＋4＋4＝24，解得x＝±4.∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝x＋6＋2y＝0.当x＝4时，得y＝－5；当x＝－4时，得y＝－1. 4.已知＝（1，5，－2），＝（3，1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z的值分别为（　　） A.，－，4 B.，－，4 C.，－2，4 D.4，，－15 解析：B　∵⊥，∴·＝3＋5－2z＝0，解得z＝4.∴＝（3，1，4）.∵BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥.∴化为解得∴x＝，y＝－，z＝4.故选B. 5.〔多选〕已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，且＝（2，－1，－4），＝（4，2，0），＝（－1，2，－1）.则（　　） A.AP⊥AB B.AP⊥AD C.是平面ABCD的一个法向量 D.∥ 解析：ABC　·＝2×（－1）＋（－1）×2＋（－4）×（－1）＝－2－2＋4＝0，∴⊥，即AP⊥AB，故A正确；·＝4×（－1）＋2×2＋0＝0，∴⊥，即AP⊥AD，故B正确；∵AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，∴是平面ABCD的一个法向量.又BD⊂平面ABCD，∴⊥，故C正确，D错误. 6.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线EM（　　） A.和AC垂直 B.和AA1垂直 C.和MN垂直 D.与AC，MN都不垂直 解析：AC　以{，，}为正交基底，建立空间直角坐标系（图略）.设正方体的棱长为2a，则M（0，0，a），A（2a，0，0），C（0，2a，0），E（a，a，0），N（0，a，2a）.∴＝（－a，－a，a），＝（0，a，a），＝（－2a，2a，0）.∴·＝0，·＝0，∴EM⊥AC，EM⊥MN.EM和AA1显然不垂直.故A、C正确，B、D错误. 7.已知a＝（0，1，1），b＝（1，1，0），c＝（1，0，1）分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有0对. 解析：因为a·b＝（0，1，1）·（1，1，0）＝1≠0.a·c＝（0，1，1）·（1，0，1）＝1≠0，b·c＝（1，1，0）·（1，0，1）＝1≠0，所以a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直. 8.已知点A（0，0，0），B（1，1，1），C（1，，1），D（，1，1），E（1，1，），则直线AB与平面CDE的位置关系是垂直. 解析：根据题意建立空间直角坐标系，如图所示.∵A（0，0，0），B（1，1，1），C（1，，1），D（，1，1），E（1，1，），∴＝（1，1，1），＝（，－，0），＝（，0，－），∴·＝0，·＝0，∴AB⊥DC，AB⊥DE，又DC∩DE＝E，DC，DE⊂平面CDE，∴AB⊥平面CDE. 9.在△ABC中，A（1，－2，－1），B（0，－3，1），C（2，－2，1）.若向量n与平面ABC垂直，且｜n｜＝，则n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）. 解析：据题意，得＝（－1，－1，2），＝（1，0，2）.设n＝（x，y，z），∵n与平面ABC垂直，∴即可得∵｜n｜＝，∴＝，解得y＝4或y＝－4.当y＝4时，x＝－2，z＝1；当y＝－4时，x＝2，z＝－1.∴n的坐标为（－2，4，1）或（2，－4，－1）. 10.如图，在四面体ABOC中，OC⊥OA，OC⊥OB，∠AOB＝120°，且OA＝OB＝OC＝1，设P为AC的中点，Q在AB上且AB＝3AQ，证明：PQ⊥OA. 证明：如图，连接OP，OQ，取O为坐标原点，以OA，OC所在直线为x轴，z轴，建立空间直角坐标系O-xyz（如图所示）. 则A（1，0，0），C（0，0，1）， B. ∵P为AC的中点，∴P. ∴＝， 由已知，可得＝＝. 又＝＋＝， ∴＝－＝. ∵·＝0，∴⊥，即PQ⊥OA. 11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于（　　） A.AC　　　B.BD C.A1D　　　D.A1A 解析：B　建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设正方体的棱长为1，则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），E，∴＝，＝（－1，1，0），＝（－1，－1，0），＝（－1，0，－1），＝（0，0，－1）.∵·＝×（－1）＋×（－1）＋1×0＝0.∴CE⊥BD. 12.如图所示，已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝a，PA⊥平面ABCD，若在BC上只有一个点Q，满足PQ⊥QD，则a的值等于2. 解析：以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），C（1，a，0）.设Q（1，y，0），P（0，0，z），则＝（1，y，－z），＝（－1，a－y，0）.由·＝0，得－1＋y（a－y）＝0，即y2－ay＋1＝0.当Δ＝a2－4＝0，即a＝2时，满足条件的点Q只有一个. 13.已知空间三点A（－1，1，1），B（0，0，1），C（1，2，－3）.若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为（－，，1）；若空间中点N满足BN⊥平面ABC，则符合条件的一个点N的坐标是（4，4，4）（答案不唯一，满足（4k，4k，3k＋1）（k≠0）即可）. 解析：设M（x，y，z）.∵＝（1，－1，0），＝（2，1，－4），＝（x，y，z－1），＝（x－1，y－2，z＋3），∴由题意，得∴∴点M的坐标为（－，，1）.设平面ABC的法向量为n＝（x1，y1，z1），则n·＝x1－y1＝0，n·＝2x1＋y1－4z1＝0.令x1＝1，则y1＝1，z1＝.∴n＝（1，1，）.设点N的坐标为（a，b，c），则＝（a，b，c－1）.由题知，∥n，即＝＝.∴点N的坐标满足（4k，4k，3k＋1），其中k≠0. 14.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点E，F分别为线段AB，A1A的中点，A1A＝AC＝BC，∠ACB＝90°.求证：EF⊥平面B1CE. 证明：根据题意建立如图所示的空间直角坐标系. 设A1A＝AC＝BC＝2， 则C（0，0，0），B1（0，2，2），E（1，1，0），F（2，0，1）， 所以＝（1，－1，1），＝（0，2，2），＝（－1，1，2）. 设平面B1CE的法向量为n＝（x，y，z）， 则 令z＝－1，则y＝1，x＝－1，即n＝（－1，1，－1）， 显然∥n，所以EF⊥平面B1CE. 15.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点. （1）求证：EF⊥CD； （2）在平面PAD内是否存在一点G，使GF⊥平面PCB？若存在，求出点G坐标；若不存在，试说明理由. 解：（1）证明：由题意知，DA， DC，DP两两垂直. 如图，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设AD＝a，则D（0，0，0），A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），E， P（0，0，a），F，＝，＝（0，a，0）， 因为·＝0，所以⊥， 从而得EF⊥CD. （2）存在.理由如下：假设存在满足条件的点G， 设G（x，0，z），则＝， 若使GF⊥平面PCB，则由·＝·（a，0，0）＝a＝0，得x＝； 由·＝·（0，－a，a）＝＋a＝0，得z＝0， 所以G点坐标为， 故存在满足条件的点G，且点G为AD的中点. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $