6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间向量数量积的坐标表示及空间两点间距离公式，系统梳理向量数量积、垂直条件、模、夹角余弦的坐标公式，承接平面向量知识扩展至空间，为立体几何中距离、夹角计算等问题提供学习支架。 以天平称重情境导入，激发探究兴趣，通过表格对比、题型分类（坐标运算、距离、夹角）及通性通法总结，培养数学抽象与数学运算素养，如直三棱柱中求线段长度实例，助力教师授课，学生可通过练习巩固，查漏补缺。

第2课时　空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式 课标要求 1.掌握空间向量的数量积的坐标表示（数学抽象、数学运算）. 2.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题（数学运算）. 在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），若3根细绳两两之间的夹角均为. 【问题】　若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分别是多少吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量数量积的坐标表示 　设空间两个非零向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），它们的夹角为＜a，b＞，则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b ｜a｜｜b｜·cos＜a，b＞ x1x2＋y1y2＋z1z2 a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 模 ｜a｜＝ ｜a｜＝ 夹角余弦 cos＜a，b＞＝ 知识点二　空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 （1）AB＝　　； （2）线段AB的中点M的坐标为（，，）. 1.已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，1），若a⊥（b－c），则x＝（　　） A.－2 B.2 C.3 D.－3 解析：A　b－c＝（－2，3，1），∴a·（b－c）＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2. 2.已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（　　） A.4　　　B.2　　　C.4　　　D.3 解析：A　AB＝＝4. 3.已知a＝（－，2，），b＝（3，6，0），则｜a｜＝3，a与b夹角的余弦值等于. 解析：｜a｜＝＝＝3，a与b夹角的余弦值cos＜a，b＞＝＝＝. 　　 题型一｜空间向量数量积的坐标运算 【例1】　（链接教科书第27页习题4题）已知向量a＝（2，1，－3），b＝（0，－3，2），c＝（－2，1，2），则a·（b＋c）＝（　　） A.18 B.－18 C.3 D.－3 解析：B　因为b＋c＝（－2，－2，4），所以a·（b＋c）＝－4－2－12＝－18.故选B. 通性通法 关于空间向量数量积坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量数量积坐标运算公式计算； （2）求参数值：首先把向量坐标形式表示出来，然后通过数量积运算建立方程（组），解方程（组）求出参数. 【跟踪训练】 1.已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a·（－2b）＝－2，（a－b）·（2a－3b）＝5. 解析：a·（－2b）＝－2a·b＝－2（0＋1＋0）＝－2，a－b＝（1，0，－1），2a－3b＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，－1，－3）.∴（a－b）·（2a－3b）＝（1，0，－1）·（2，－1，－3）＝2＋3＝5. 2.已知空间向量a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2）.若2a－b与b垂直，则n＝. 解析：∵a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2），∴2a－b＝（4，2n－1，2）.∵2a－b与b垂直，∴（2a－b）·b＝0，∴－8＋2n－1＋4＝0，解得n＝. 题型二｜空间两点间的距离 【例2】　（链接教科书第25页例4）已知点M（3，2，1），N（1，0，5），求： （1）线段MN的长度； （2）到M，N两点的距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件. 解：（1）根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度 MN＝＝2. （2）因为点P（x，y，z）到M，N两点的距离相等， 所以 ＝， 化简得x＋y－2z＋3＝0， 因此，到M，N两点的距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件是x＋y－2z＋3＝0. 通性通法 利用空间两点间的距离公式求线段长度的一般步骤 【跟踪训练】 　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度. 解：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为C1C＝CB＝CA＝2， 所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2）， 由中点坐标公式，可得D（1，1，0），E（0，1，2），F（1，0，0）， 所以DE＝＝， EF＝＝. 题型三｜利用数量积公式求夹角 【例3】　如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求与所成角的余弦值. 解：以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz. 依题意得B（0，1，0），A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2）， ∴＝（1，－1，2），＝（0，1，2）， ∴·＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3. 又｜｜＝，｜｜＝， ∴cos＜，＞＝＝. 故与所成角的余弦值为. 通性通法 求空间向量夹角的方法技巧 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； （2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； （3）代入空间向量的夹角公式cos θ＝求解. 【跟踪训练】 1.已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则与的夹角为（　　） A.30° B.45° C.60° D.90° 解析：C　设与的夹角为θ.由题意得＝（－1，1，0），＝（0，3，3），∴cos θ＝＝＝，∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°，故选C. 2.设向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2），若cos＜a，b＞＝，则实数λ的值为（　　） A.2 B.－2 C.－2或 D.2或－ 解析：C　∵向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2），cos＜a，b＞＝，∴cos＜a，b＞＝＝＝，解得λ＝－2或λ＝. 1.设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到点C的距离CM的值为（　　） A. B. C. D. 解析：C　AB的中点M（2，，3），又C（0，1，0），所以＝（2，，3），故点M到点C的距离CM＝｜｜＝＝. 2.〔多选〕已知向量a＝（1，1，－1），b＝（2，－1，0），c＝（0，1，－2），则下列结论正确的是（　　） A.a·（b＋c）＝4 B.（a－b）·（b－c）＝－8 C.记a与b－c的夹角为θ，则cos θ＝ D.若（a＋λb）⊥c，则λ＝3 解析：ABD　由题意得a·（b＋c）＝（1，1，－1）·（2，0，－2）＝2＋0＋2＝4；（a－b）·（b－c）＝（－1，2，－1）·（2，－2，2）＝－2－4－2＝－8；cos θ＝＝＝－；由（a＋λb）⊥c，得（a＋λb）·c＝0，即（1＋2λ，1－λ，－1）·（0，1，－2）＝0，得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.综上可知，选项A、B、D正确. 3.若a＝（x，2，－4），b＝（－1，y，3），c＝（1，－2，z），且a，b，c两两垂直，则x＝－64，y＝－26，z＝－17. 解析：因为a⊥b，a⊥c，b⊥c，所以即解得 4.已知向量a＝（2，－1，－2），b＝（1，1，－4）. （1）计算｜2a－3b｜； （2）求＜a，b＞. 解：（1）2a－3b＝2（2，－1，－2）－3（1，1，－4）＝（4，－2，－4）－（3，3，－12）＝（1，－5，8）， ｜2a－3b｜＝＝3. （2）cos＜a，b＞＝＝＝， 又＜a，b＞∈[0，π]，故＜a，b＞＝. 1.若向量a＝（4，2，－4），b＝（6，－3，2），则（2a－3b）·（a＋2b）＝（　　） A.－212 B.－106 C.106 D.212 解析：A　（2a－3b）·（a＋2b）＝（－10，13，－14）·（16，－4，0）＝－10×16＋13×（－4）＝－212. 2.已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　） A.30° B.60° C.120° D.150° 解析：C　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，而｜a｜＝＝，所以cos＜a，c＞＝＝－，所以＜a，c＞＝120°. 3.已知空间三点A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，0，2），若向量3－与＋k垂直，则k的值为（　　） A.1　　　　B.2 C.3　　　　D.4 解析：B　∵A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，0，2），∴＝（1，－1，－3），＝（－2，－2，1），∵向量3－与＋k垂直，则（3－）·（＋k）＝3＋（3k－1）·－k＝0，即3×11－3×（3k－1）－9k＝0，整理得36－18k＝0，解得k＝2，故选B. 4.在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C（6，－1，4），则△ABC一定是（　　） A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析：C　∵＝（3，4，－8），＝（5，1，－7），＝（2，－3，1），∴｜｜＝＝，｜｜＝＝，｜｜＝＝，∴｜｜2＋｜｜2＝｜｜2，∴△ABC一定为直角三角形. 5.〔多选〕若向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），则（　　） A.cos＜a，b＞＝－ B.a⊥b C.a∥b D.｜a｜＝｜b｜ 解析：AD　∵向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），∴｜a｜＝，｜b｜＝，a·b＝1×（－2）＋2×0＋0×1＝－2，cos＜a，b＞＝＝＝－.故A、D正确，B、C 不正确. 6.〔多选〕已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），则下列结论中正确的是（　　） A.若｜a｜＝2，则m＝± B.若a⊥b，则m＝－1 C.不存在实数λ，使得a＝λb D.若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2） 解析：AC　由｜a｜＝2，可得＝2，解得m＝±，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确；若a·b＝－1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝（－1，－2，2），故D选项错误. 7.已知a＝（1，－2，－1），b＝（－1，x－1，1），且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是（0，3）∪（3，＋∞）. 解析：因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且a与b不共线.因为a＝（1，－2，－1），b＝（－1，x－1，1），所以a·b＝－1－2（x－1）－1＜0，且≠，解得x＞0，且x≠3，所以x的取值范围是（0，3）∪（3，＋∞）. 8.已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），若ka＋b与b互相垂直，则实数k＝5. 解析：因为a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），所以ka＋b＝（k－1，k，2），又ka＋b与b互相垂直，所以（ka＋b）·b＝0，即－（k－1）＋4＝0，解得k＝5. 9.若△ABC的三个顶点分别为A（0，0，），B（－，，），C（－1，0，），则角A的大小为30°. 解析：＝（－，，0），＝（－1，0，0），则cos A＝cos＜，＞＝＝，因为0°＜A＜180°.故角A的大小为30°. 10.已知向量a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8）. （1）求a·b； （2）若λ1a＋λ2b与z轴垂直，求λ1，λ2满足的关系式. 解：（1）∵a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8）， ∴a·b＝3×2＋5×1＋（－4）×8＝6＋5－32＝－21. （2）a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8）， ∴λ1a＋λ2b＝（3λ1＋2λ2，5λ1＋λ2，－4λ1＋8λ2）. ∵λ1a＋λ2b与z轴垂直， ∴λ1a＋λ2b与（0，0，1）垂直， ∴－4λ1＋8λ2＝0， ∴λ1＝2λ2. 11.如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为平面BB1C1C内的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则△PEF的周长的最小值为（　　） A.4 B.＋ C.3＋ D.＋ 解析：D　作E关于平面BCC1B1的对称点E'，连接E'F交平面BCC1B1于点P0.可以证明此时的P0使得PE＋PF最小.任取P1（不含P0），此时P1E＋P1F＝P1F＋P1E'＞FE'.以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则D1（0，0，3），B（3，3，0），因为E，F分别为BD1的三等分点，所以E（2，2，1），F（1，1，2），又点E距平面BCC1B1的距离为1，所以E'（2，4，1），PE＋PF的最小值为FE'＝＝.又EF＝BD1＝＝，所以△PEF的周长的最小值为＋. 12.已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小值是. 解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t，2t－1，0）.∴｜b－a｜＝＝＝ .∴当t＝时，｜b－a｜取最小值，最小值为. 13.已知点A（－2，3，－3），B（4，5，9）. （1）设平面α经过线段AB的中点，且与直线AB垂直，M（x，y，z）是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式； （2）若点P（a，b，c）到A，B两点的距离相等，求a，b，c满足的关系式. 解：（1）由题意知＝（6，2，12），线段AB的中点C（1，4，3），则⊥，故6（1－x）＋2（4－y）＋12（3－z）＝0，化简得3x＋y＋6z－25＝0. （2）由（a＋2）2＋（b－3）2＋（c＋3）2＝（a－4）2＋（b－5）2＋（c－9）2，得3a＋b＋6c－25＝0. 14.已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）. （1）求以和为邻边的平行四边形的面积； （2）若｜a｜＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标. 解：（1）由题中条件可知，＝（－2，－1，3），＝（1，－3，2）， 所以cos＜，＞＝＝＝. 于是sin＜，＞＝. 故以和为邻边的平行四边形的面积S＝｜｜｜｜sin＜，＞＝14×＝7. （2）设a＝（x，y，z），由题意得 解得或故a＝（1，1，1）或（－1，－1，－1）. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $