6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

第2课时　空间向量数量积的坐标表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握空间向量数量积的坐标运算.　2.会根据空间向量数量积的坐标运算解决向量垂直、夹角和距离问题. 1.空间向量数量积运算的坐标表示及应用 设空间两个非零向量为a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b |a||b|cos<a,b> x1x2+y1y2+z1z2 a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0 模 |a|= 夹角余弦 cos<a,b>= 2.空间两点间的距离及中点坐标 在空间直角坐标系中,设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则 (1)AB=||= . (2)线段AB的中点M的坐标为. 基础落实训练 1.若a=(1,-2,1),b=(-1,-3,2),则(a+b)·(a-b)= (　　) A.10 B.8 C.-10 D.-8 解析:选D　因为a=(1,-2,1),b=(-1,-3,2),所以a+b=(0,-5,3),a-b=(2,1,-1),则(a+b)·(a-b)=-5-3=-8. 2.已知a=(2,-1,3),b=(-4,y,2),且a⊥(a+b),则y的值为 (　　) A.6 B.10 C.12 D.14 解析:选C　因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=(2,-1,3)·(2-4,-1+y,3+2)=-4+1-y+15=0,解得y=12. 3.已知向量a=(-1,0,-1),b=(1,2,-1),则向量a与b的夹角为　　　　.  解析:因为cos<a,b>====0,又<a,b>∈[0,π],所以<a,b>=. 答案: 题型(一)　坐标法求空间向量的数量积 [例1]　如图,在边长为4的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,DD1,CD的中点,以A为坐标原点,的方向为x轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. (1)写出B1,C1,E,F,G五点的坐标; (2)求·(+). 解:(1)由题图可知,B1(4,0,4),C1(4,4,4),E(0,2,4),F(0,4,2),G(2,4,0). (2)由(1)可知,=(-2,0,-4),=(-4,2,0),=(-4,4,-2),则+=(-8,6,-2),所以·(+)=-2×(-8)+0×6+(-4)×(-2)=24. 　　|思|维|建|模|　求空间向量数量积的两种方法 基向量法 首先选取基向量,然后用基向量表示相关的向量,最后利用数量积的定义计算.注意:基向量的选取要合理,一般选模和夹角都确定的向量 坐标法 对于建系比较方便的题目,采用此法较简单,只需建系后找出相关点的坐标,进而得向量的坐标,然后利用数量积的坐标公式计算即可 [针对训练] 1.已知空间向量m=(1,2,3),空间向量n满足m∥n且m·n=7,则n= (　　) A. B. C. D. 解析:选A　∵m=(1,2,3),且空间向量n满足m∥n,∴可设n=λm=(λ,2λ,3λ),又m·n=7,∴1×λ+2×2λ+3×3λ=14λ=7,解得λ=.∴n=m=,故A正确. 2.设O为坐标原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则·的最小值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选B　∵=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,∴可设=λ=(λ,λ,2λ).又向量=(1,2,3),=(2,1,2),∴=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),则·=(1-λ)×(2-λ)+(2-λ)×(1-λ)+(3-2λ)×(2-2λ)=6λ2-16λ+10,易得当λ=时,·取得最小值-.故选B. 题型(二)　空间向量数量积的坐标运算解决垂直问题 [例2]　如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,CE⊥AC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1.求证:CF⊥平面BDE. 证明:因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直,两平面的交线为AC,且CE⊥AC,所以CE⊥平面ABCD. 如图,以C为原点,CD,CB,CE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 则C(0,0,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F, 所以=,=(0,-,1),=(-,0,1), 所以·=0-1+1=0,·=-1+0+1=0, 所以⊥,⊥,即CF⊥BE,CF⊥DE. 又BE∩DE=E,且BE⊂平面BDE,DE⊂平面BDE, 所以CF⊥平面BDE. |思|维|建|模|　判断空间向量垂直的步骤 (1)向量化:将空间中的垂直关系转化为向量的垂直关系. (2)向量关系代数化:写出向量的坐标. (3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1x2+y1y2+z1z2是否为0判断两向量是否垂直. [针对训练] 3.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,其中AD∥BC,AB⊥AD,AB=AD=BC=2,PA=4,E为棱BC上的点,且BE=BC.求证:DE⊥平面PAC. 证明:因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD, 所以PA⊥AB,PA⊥AD. 又AB⊥AD,则以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. 由已知可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,4,0),D(0,2,0),P(0,0,4),E(2,1,0),所以=(2,-1,0),=(2,4,0),=(0,0,4). 因为·=2×2-1×4+0=0,·=0, 所以DE⊥AC,DE⊥AP. 又AP∩AC=A,AP⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以DE⊥平面PAC. 题型(三)　空间向量坐标法解决夹角、模问题 [例3]　如图,在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M为BC1的中点,E1,F1分别在棱A1B1,C1D1上,且B1E1=A1B1,D1F1=C1D1. (1)求AM的长; (2)求BE1与DF1所成角的余弦值. 解:(1)以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(2,0,0),M(1,2,1),=(-1,2,1),∴||==,故AM=. (2)由(1)知B(2,2,0),E1,D(0,0,0),F1,所以=,=,则||=,||=. 所以·=0×0++2×2=, 则cos<,>===,所以BE1与DF1所成角的余弦值为. |思|维|建|模| 1.利用向量坐标求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系; (2)利用已知条件写出有关点的坐标,进而获得相关向量的坐标; (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角,并将它转化为异面直线所成的角. 2.利用向量坐标求空间中线段的长度的步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系; (2)求出线段端点的坐标; (3)利用两点间的距离公式求出线段的长. [针对训练] 4.已知空间三点,A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积; (2)若||=,且∠DAB=∠DAC=60°,点P是BC的中点,求||的值. 解:(1)∵=(-2,-1,3),=(1,-3,2), ∴||=||==, cos<,>===,∴sin<,>=. ∴S平行四边形=2××AB×AC×sin<,>=××=7. (2)∵点P是BC的中点, ∴=+, ∴=-=+-, ∴||2=||2+||2+||2+·-·-·=×()2+×()2+()2+×(-2×1+1×3+3×2)-××cos 60°×2=-7=, ∴||=. 学科网（北京）股份有限公司 $