6.2.2 第1课时 空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示核心知识点，从平面直角坐标系类比引入空间直角坐标系，系统讲解坐标系建立、点与向量坐标的确定，以及空间向量线性运算和平行的坐标表示，构建从平面到空间的知识拓展支架。 该资料以问题驱动引导学生用数学眼光观察空间位置关系，通过“想一想”互动环节和例题解析培养数学抽象与直观想象素养，题型分类及通性通法总结助力数学运算能力提升。课中教师可依托实例深化教学，课后学生能通过跟踪训练和练习题查漏补缺，强化知识应用。

第1课时　空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示 课标要求 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系（数学抽象、直观想象）. 2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标（数学抽象、直观想象）. 3.掌握空间向量的线性运算的坐标表示（数学运算）. 　　我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置. 【问题】　怎样才能刻画空间中点的位置呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量的坐标 1.空间直角坐标系 如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：　　　　　　　　，它们都叫作坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为　　　平面、　　　平面和　　　平面. 2.空间中点的坐标的求法 如图，在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量为点P的位置向量.把与向量对应的有序实数组（x，y，z）叫作点P的坐标，记作　　　　. 【想一想】 　在空间直角坐标系中，向量（O为坐标原点）的坐标与终点P的坐标有何关系？ 知识点二　空间向量的坐标表示及运算 1.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a＝　　　　　. 2.空间向量的坐标运算 （1）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）， 则a＋b＝　　　　　　　　　　. a－b＝　　　　　　　　　　， λa＝　　　　　　（λ∈R）. （2）若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝－＝　　　　　　　　　　.这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的　　　　坐标减去它的　　　　坐标. 知识点三　空间向量平行的坐标表示 已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），且a≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔　　　　　　　　　　　　（λ∈R）. 1.已知a＝（1，－2，1），a＋b＝（－1，2，－1），则b＝（　　） A.（2，－4，2） B.（－2，4，－2） C.（－2，0，－2） D.（2，1，－3） 2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M的坐标为　　　　. 3.设a＝（2，4，m＋1），b＝（4，3n－1，8），若a∥b，则m＋n＝　　　　. 题型一｜空间中点的坐标表示 【例1】　（1）在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（　　） A.（0，，0） B.（0，，） C.（1，0，） D.（1，，0） （2）已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为　　　　. 通性通法 1.求空间一点P的坐标有两种方法：（1）利用点在坐标轴上的投影求解；（2）利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标. 2.空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题求解.其规律为“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”. 【跟踪训练】 1.在空间直角坐标系中，已知点M（a，b，c），给出下列命题： ①点M关于x轴的对称点M1的坐标为（a，－b，c）； ②点M关于yOz平面的对称点M2的坐标为（a，－b，－c）； ③点M关于y轴的对称点M3的坐标为（a，－b，c）； ④点M关于原点的对称点M4的坐标为（－a，b，－c）. 其中真命题的个数是（　　） A.3　　　 B.2　　　 C.1　　　 D.0 2.如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为　　　　. 题型二｜空间向量的坐标表示及运算 角度1　空间向量的坐标表示 【例2】　在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，以{，，}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标. 通性通法 用坐标表示空间向量的步骤 角度2　空间向量的坐标运算 【例3】　（链接教科书第23页例2）（1）已知a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2）.则a＋6b－8c＝　　　　； （2）已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），若＝（－），则点P的坐标为　　　　. 通性通法 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算； （2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标. 【跟踪训练】 1.已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，则点B的坐标为（　　） A.（－7，10，24） B.（7，－10，－24） C.（－6，8，24） D.（－5，6，24） 2.已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（　　） A.　　　B.9 C.　　　D.0 题型三｜空间向量平行的坐标表示及应用 【例4】　（链接教科书第23页例3）已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A（3，－1，2），B（1，2，－1），C（－1，1，－3），D（3，－5，3），求证：四边形ABCD是一个梯形. 通性通法 判断空间向量平行的步骤 （1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行； （2）向量关系代数化：写出向量的坐标； （3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行. 【跟踪训练】 1.若四边形ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则顶点D的坐标为（　　） A.（5，12，－2） B.（12，5，－2） C.（5，13，－3） D.（13，5，－3） 2.已知向量a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1）.若向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平行，则实数n＝（　　） A.6 B.－6 C.4 D.－4 1.已知向量a＝（1，－2，1），a－b＝（－1，2，－1），则向量b＝（　　） A.（2，－4，2） B.（－2，4，－2） C.（－2，0，－2） D.（2，1，－3） 2.在空间直角坐标系O-xyz中，若点M（2a－a2，b＋1，2c－1）关于z轴的对称点M'的坐标为（－1，2，9），则a＋b＋c＝（　　） A.3 B.5 C.7 D.9 3.〔多选〕已知向量a＝（λ＋1，2，3μ－1）与b＝（6，2λ，0）共线，则实数λ的值可能是（　　） A.－3 B.2 C. D.0 4.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，向量的坐标为　　　　. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.2　第1课时 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.2　空间向量的坐标表示 第1课时　空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示 【基础落实】 知识点一 1.x轴、y轴、z轴　xOy　yOz　zOx 2.P（x，y，z） 想一想 　提示：O为坐标原点，向量的坐标与点P的坐标相同. 知识点二 1.（a1，a2，a3）　2.（1）（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）　（x1－x2，y1－y2，z1－z2）　（λx1，λy1，λz1）　（2）（x2－x1，y2－y1，z2－z1）　终点　起点 知识点三 x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1 自我诊断 1.B　∵a＋b＝（－1，2，－1），∴b＝（a＋b）－a＝（－1，2，－1）－（1，－2，1）＝（－2，4，－2）.故选B. 2.（1，－2，1）　解析：易得D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的中点M的坐标为（1，－2，1）. 3.6　解析：∵a∥b，∴＝＝，∴m＝3，n＝3，∴m＋n＝6. 【典例研析】 【例1】　（1）B　（2）（2，－3，1） 解析：（1）由于垂足在yOz平面内，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐标为0，即Q（0，，）. （2）点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）. 跟踪训练 1.D　①点M关于x轴的对称点M1的坐标为（a，－b，－c），故错误；②点M关于yOz平面的对称点M2的坐标为（－a，b，c），故错误；③点M关于y轴的对称点M3的坐标为（－a，b，－c），故错误；④点M关于原点的对称点M4的坐标为（－a，－b，－c），故错误.故选D. 2.　解析：由题意知PO＝＝＝，点M在x轴、y轴、z轴上的投影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，，所以点M的坐标为. 【例2】　解：因为＝－＝－（＋） ＝－ ＝－－－， 所以＝（－2，－1，－4）. 因为＝－＝－（＋）＝－－， 所以＝（－4，2，－4）. 【例3】　（1）（14，－3，3）　（2）（5，，0）　解析：（1）∵a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），∴a＋6b－8c＝（2，－3，1）＋6（2，0，3）－8（0，0，2）＝（14，－3，3）. （2）∵＝（2，6，－3），＝（－4，3，1），∴－＝（6，3，－4），∴（－）＝（3，，－2）.设点P的坐标为（x，y，z），则＝（x－2，y＋1，z－2）.∵＝（－），∴解得则点P的坐标为（5，，0）. 跟踪训练 1.D　∵a＝（－3，4，12），且＝2a，∴＝（－6，8，24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴＝（1，－2，0），＝＋＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－5，6，24）.故选D. 2.A　∵a，b，c三向量不能构成空间的一个基底，∴这三个向量共面，∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即（7，5，λ）＝m（2，－1，3）＋n（－1，4，－2），∴2m－n＝7，－m＋4n＝5，3m－2n＝λ，解得λ＝.故选A. 【例4】　证明：∵＝（1，2，－1）－（3，－1，2）＝（－2，3，－3），＝（3，－5，3）－（－1，1，－3）＝（4，－6，6）， ∴＝＝， ∴与共线，即AB∥CD， 又∵＝（3，－5，3）－（3，－1，2）＝（0，－4，1）， ＝（－1，1，－3）－（1，2，－1）＝（－2，－1，－2）， ∴≠≠， ∴与不平行. ∴四边形ABCD为梯形. 跟踪训练 1.C　由四边形ABCD是平行四边形知＝.设D（x，y，z），则＝（x－4，y－1，z－3），又＝（1，12，－6），所以解得即D点坐标为（5，13，－3）. 2.D　因为a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1），所以a＋b＝（1，－1，2），又因为向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平行，所以存在实数λ，使得λ（a＋b）＝c，所以解得故选D. 随堂检测 1.A　由已知可得b＝（1，－2，1）－（－1，2，－1）＝（2，－4，2）.故选A. 2.A　依题意，点M（2a－a2，b＋1，2c－1）关于z轴的对称点为M'（a2－2a，－b－1，2c－1），得解得所以a＋b＋c＝3. 3.AB　∵a∥b，∴存在实数k使得a＝kb，∴解得λ＝－3或λ＝2.故选A、B. 4.　解析：因为PA＝AD＝AB＝1，所以可设＝i，＝j，＝k. 因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋（＋＋）＝－＋＋（－＋＋）＝＋＝j＋k，所以＝. 学科网（北京）股份有限公司 $