6.2.2 第2课时 空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间向量数量积的坐标表示及空间两点间距离公式，通过天平秤盘拉力的情境导入，衔接平面向量知识，搭建从平面到空间的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于以“情境—新知—典例—作业”为主线，结合直三棱柱、长方体等实例，渗透数学抽象与数学运算素养，通过“通性通法”总结解题步骤，助力学生提升逻辑思维，教师可直接用于课堂教学，提高教学效率。

第2课时　空间向量数量积的坐标表示及空间两点间的距离公式 1 1.掌握空间向量的数量积的坐标表示（数学抽象、数学运算）. 2.能利用空间两点间的距离公式解决有关问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 在如图的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上.在其中一个秤盘中放入质量为1 kg的物品，在另一个秤盘中放入质量为1 kg的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力（拉力分别为F1，F2，F3），若3根细绳两两之间的夹角均为 . 【问题】　若不考虑秤盘和细绳本身的质量，你知道F1，F2，F3的大小分 别是多少吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　空间向量数量积的坐标表示 　设空间两个非零向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），它们的 夹角为＜a，b＞，则 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 a·b ｜a｜｜b｜· cos ＜a，b＞ ⁠ a⊥b a·b＝0 ⁠ 模 ｜a｜＝ ｜a｜＝ 夹角余弦 cos ＜a，b＞＝ x1x2＋y1y2＋z1z2 x1x2＋y1y2＋z1z2＝0 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则 （1）AB＝ ⁠； （2）线段AB的中点M的坐标为（ ， ， ）. 　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知向量a＝（－2，x，2），b＝（2，1，2），c＝（4，－2，1）， 若a⊥（b－c），则x＝（　　） A. －2 B. 2 C. 3 D. －3 解析： 　b－c＝（－2，3，1），∴a·（b－c）＝4＋3x＋2＝0，∴x ＝－2. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知A（1，1，1），B（－3，－3，－3），则线段AB的长为（　　） A. 4 B. 2 C. 4 D. 3 解析： 　AB＝ ＝4 . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知a＝（－ ，2， ），b＝（3 ，6，0），则｜a｜ ＝ ，a与b夹角的余弦值等于 ⁠. 解析：｜a｜＝ ＝ ＝3，a与b夹角的余弦 值 cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ . 3 ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜空间向量数量积的坐标运算 【例1】　（链接教科书第27页习题4题）已知向量a＝（2，1，－3），b ＝（0，－3，2），c＝（－2，1，2），则a·（b＋c）＝（　　） A. 18 B. －18 C. 3 D. －3 解析： 　因为b＋c＝（－2，－2，4），所以a·（b＋c）＝－4－2－12 ＝－18.故选B. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 关于空间向量数量积坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间 向量数量积坐标运算公式计算； （2）求参数值：首先把向量坐标形式表示出来，然后通过数量积运算建立 方程（组），解方程（组）求出参数. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知a＝（1，1，0），b＝（0，1，1），则a·（－2b）＝ ⁠， （a－b）·（2a－3b）＝ ⁠. 解析：a·（－2b）＝－2a·b＝－2（0＋1＋0）＝－2，a－b＝（1，0， －1），2a－3b＝2（1，1，0）－3（0，1，1）＝（2，－1，－3）. ∴（a－b）·（2a－3b）＝（1，0，－1）·（2，－1，－3）＝2＋3＝5. －2 5 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知空间向量a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2）.若2a－b与b垂 直，则n＝ ⁠. 解析：∵a＝（1，n，2），b＝（－2，1，2），∴2a－b＝（4，2n－ 1，2）.∵2a－b与b垂直，∴（2a－b）·b＝0，∴－8＋2n－1＋4＝0， 解得n＝ . ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜空间两点间的距离 【例2】　（链接教科书第25页例4）已知点M（3，2，1），N（1，0， 5），求： （1）线段MN的长度； 解： 根据空间两点间的距离公式得线段MN的长度 MN＝ ＝2 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）到M，N两点的距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件. 解： 因为点P（x，y，z）到M，N两点的距离相等， 所以 ＝ ， 化简得x＋y－2z＋3＝0， 因此，到M，N两点的距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件是 x＋y－2z＋3＝0. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用空间两点间的距离公式求线段长度的一般步骤 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，C1C＝CB＝CA＝2， AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE， EF的长度. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：以{ ， ， }为正交基底，建立如图所示的空间 直角坐标系. 因为C1C＝CB＝CA＝2， 所以C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1 （0，0，2），B1（0，2，2）， 由中点坐标公式，可得D（1，1，0），E（0，1，2），F （1，0，0）， 所以DE＝ ＝ ， EF＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜利用数量积公式求夹角 【例3】　如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）ABC-A1B1C1中， CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，求 与 所成角的余弦值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：以 为单位正交基底，建立如图所示的 空间直角坐标系C-xyz. 依题意得B（0，1，0），A1（1，0，2），C（0，0， 0），B1（0，1，2）， ∴ ＝（1，－1，2）， ＝（0，1，2）， ∴ · ＝1×0＋（－1）×1＋2×2＝3. 又｜ ｜＝ ，｜ ｜＝ ， ∴ cos ＜ ， ＞＝ ＝ . 故 与 所成角的余弦值为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求空间向量夹角的方法技巧 （1）根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； （2）利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标； （3）代入空间向量的夹角公式 cos θ＝ 求解. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知A（2，－5，1），B（2，－2，4），C（1，－4，1），则 与 的夹角为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 解析： 　设 与 的夹角为θ.由题意得 ＝（－1，1，0）， ＝ （0，3，3），∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝60°，故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 设向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2），若 cos ＜a，b＞＝ ， 则实数λ的值为（　　） A. 2 B. －2 C. －2或 D. 2或－ 解析： 　∵向量a＝（1，λ，2），b＝（2，－1，2）， cos ＜a，b＞ ＝ ，∴ cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ，解得λ＝－2或λ＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），则AB的中点M到 点C的距离CM的值为（　　） A. B. C. D. 解析：AB的中点M（2， ，3），又C（0，1，0），所以 ＝（2， ，3），故点M到点C的距离CM＝｜ ｜＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕已知向量a＝（1，1，－1），b＝（2，－1，0），c＝（0， 1，－2），则下列结论正确的是（　　） A. a·（b＋c）＝4 B. （a－b）·（b－c）＝－8 C. 记a与b－c的夹角为θ，则 cos θ＝ D. 若（a＋λb）⊥c，则λ＝3 √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意得a·（b＋c）＝（1，1，－1）·（2，0，－2）＝2＋ 0＋2＝4；（a－b）·（b－c）＝（－1，2，－1）·（2，－2，2）＝－2－ 4－2＝－8； cos θ＝ ＝ ＝－ ；由（a＋λb）⊥c，得（a＋λb）·c＝0，即（1＋2λ，1－λ，－ 1）·（0，1，－2）＝0，得1－λ＋2＝0，解得λ＝3.综上可知，选项A、 B、D正确. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 若a＝（x，2，－4），b＝（－1，y，3），c＝（1，－2，z），且 a，b，c两两垂直，则x＝ ，y＝ ，z＝ ⁠. 解析：因为a⊥b，a⊥c，b⊥c，所以 即 解得 －64 －26 －17 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知向量a＝（2，－1，－2），b＝（1，1，－4）. （1）计算｜2a－3b｜； 解： 2a－3b＝2（2，－1，－2）－3（1，1，－4）＝（4，－2，－ 4）－（3，3，－12）＝（1，－5，8）， ｜2a－3b｜＝ ＝3 . （2）求＜a，b＞. 解： cos ＜a，b＞＝ ＝ ＝ ， 又＜a，b＞∈[0，π]，故＜a，b＞＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 若向量a＝（4，2，－4），b＝（6，－3，2），则（2a－3b）·（a＋ 2b）＝（　　） A. －212 B. －106 C. 106 D. 212 解析： 　（2a－3b）·（a＋2b）＝（－10，13，－14）·（16，－4， 0）＝－10×16＋13×（－4）＝－212. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知向量a＝（1，2，3），b＝（－2，－4，－6），｜c｜＝ ，若 （a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 解析： 　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，故（a＋b）·c＝－a·c＝ 7，得a·c＝－7，而｜a｜＝ ＝ ，所以 cos ＜a，c＞＝ ＝－ ，所以＜a，c＞＝120°. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知空间三点A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，0， 2），若向量3 － 与 ＋k 垂直，则k的值为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析： 　∵A（－2，2，1），B（－1，1，－2），C（－4，0，2）， ∴ ＝（1，－1，－3）， ＝（－2，－2，1），∵向量3 － 与 ＋k 垂直，则（3 － ）·（ ＋k ）＝3 ＋（3k－1） · －k ＝0，即3×11－3×（3k－1）－9k＝0，整理得36－18k＝ 0，解得k＝2，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 在空间直角坐标系中，已知点A（1，－2，11），B（4，2，3），C （6，－1，4），则△ABC一定是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析： 　∵ ＝（3，4，－8）， ＝（5，1，－7）， ＝（2，－ 3，1），∴｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，｜ ｜＝ ＝ ，∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2，∴△ABC一定为直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕若向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），则（　　） A. cos ＜a，b＞＝－ B. a⊥b C. a∥b D. ｜a｜＝｜b｜ 解析： 　∵向量a＝（1，2，0），b＝（－2，0，1），∴｜a｜＝ ，｜b｜＝ ，a·b＝1×（－2）＋2×0＋0×1＝－2， cos ＜a，b＞ ＝ ＝ ＝－ .故A、D正确，B、C 不正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知向量a＝（1，－1，m），b＝（－2，m－1，2），则下 列结论中正确的是（　　） A. 若｜a｜＝2，则m＝± B. 若a⊥b，则m＝－1 C. 不存在实数λ，使得a＝λb D. 若a·b＝－1，则a＋b＝（－1，－2，－2） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由｜a｜＝2，可得 ＝2，解得m＝ ± ，故A选项正确；由a⊥b，可得－2－m＋1＋2m＝0，解得m＝ 1，故B选项错误；若存在实数λ，使得a＝λb，则 显然λ无解，即不存在实数λ，使得a＝λb，故C选项正确；若a·b＝ －1，则－2－m＋1＋2m＝－1，解得m＝0，于是a＋b＝（－1，－2， 2），故D选项错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 已知a＝（1，－2，－1），b＝（－1，x－1，1），且a与b的夹角为 钝角，则x的取值范围是 ⁠. 解析：因为a与b的夹角为钝角，所以a·b＜0且a与b不共线.因为a＝ （1，－2，－1），b＝（－1，x－1，1），所以a·b＝－1－2（x－1）－ 1＜0，且 ≠ ，解得x＞0，且x≠3，所以x的取值范围是（0，3）∪ （3，＋∞）. （0，3）∪（3，＋∞） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），若ka＋b与b互相垂 直，则实数k＝ ⁠. 解析：因为a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），所以ka＋b＝（k－ 1，k，2），又ka＋b与b互相垂直，所以（ka＋b）·b＝0，即－（k－ 1）＋4＝0，解得k＝5. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 若△ABC的三个顶点分别为A（0，0， ），B（－ ， ， ）， C（－1，0， ），则角A的大小为 ⁠. 解析： ＝（－ ， ，0）， ＝（－1，0，0），则 cos A＝ cos ＜ ， ＞＝ ＝ ，因为0°＜A＜180°.故角A的大小为 30°. 30° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知向量a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8）. （1）求a·b； 解： ∵a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8）， ∴a·b＝3×2＋5×1＋（－4）×8＝6＋5－32＝－21. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若λ1a＋λ2b与z轴垂直，求λ1，λ2满足的关系式. 解： a＝（3，5，－4），b＝（2，1，8）， ∴λ1a＋λ2b＝（3λ1＋2λ2，5λ1＋λ2，－4λ1＋8λ2）. ∵λ1a＋λ2b与z轴垂直， ∴λ1a＋λ2b与（0，0，1）垂直， ∴－4λ1＋8λ2＝0， ∴λ1＝2λ2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为平面BB1C1C内的一 个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则△PEF的周长的最小值为 （　　） A. 4 B. ＋ C. 3＋ D. ＋ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　作E关于平面BCC1B1的对称点E'，连接E'F交 平面BCC1B1于点P0.可以证明此时的P0使得PE＋PF最 小.任取P1（不含P0），此时P1E＋P1F＝P1F＋P1E'＞ FE'.以D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则D1（0，0，3），B（3，3，0），因为E，F分别为 BD1的三等分点，所以E（2，2，1），F（1，1，2），又点E距平面BCC1B1的距离为1，所以E'（2，4，1），PE＋PF的最小值为FE'＝ ＝ .又EF＝ BD1＝ ＝ ，所以△PEF的周长的最小值为 ＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 已知a＝（1－t，1－t，t），b＝（2，t，t），则｜b－a｜的最小 值是 ⁠. 解析：由已知，得b－a＝（2，t，t）－（1－t，1－t，t）＝（1＋t， 2t－1，0）.∴｜b－a｜＝ ＝ ＝ .∴当t＝ 时，｜b－a｜取最小值，最小 值为 . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 已知点A（－2，3，－3），B（4，5，9）. （1）设平面α经过线段AB的中点，且与直线AB垂直，M（x，y，z） 是平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式； 解： 由题意知 ＝（6，2，12），线段AB的中点C（1，4，3）， 则 ⊥ ，故6（1－x）＋2（4－y）＋12（3－z）＝0，化简得3x＋y ＋6z－25＝0. （2）若点P（a，b，c）到A，B两点的距离相等，求a，b，c满足的 关系式. 解： 由（a＋2）2＋（b－3）2＋（c＋3）2＝（a－4）2＋（b－5）2 ＋（c－9）2，得3a＋b＋6c－25＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知空间三点A（0，2，3），B（－2，1，6），C（1，－1，5）. （1）求以 和 为邻边的平行四边形的面积； 解：由题中条件可知， ＝（－2，－1，3）， ＝（1，－3，2）， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ＝ . 于是 sin ＜ ， ＞＝ . 故以 和 为邻边的平行四边形的面积S＝｜ ｜｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝14× ＝7 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）若｜a｜＝ ，且a分别与 ， 垂直，求向量a的坐标. 解：设a＝（x，y，z），由题意得 解得 或 故a＝（1，1，1）或（－1，－1，－1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $