6.2.2 第1课时 空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示，从平面直角坐标系类比引入空间直角坐标系，构建点与向量坐标体系，通过线性运算实现向量运算代数化，形成从基础到应用的学习支架。 以“刻画空间点位置”问题驱动数学抽象，结合正方体中点坐标、向量运算例题培养直观想象与数学运算。课中助力教师分层教学，课后通过跟踪训练与练习题帮助学生查漏补缺，巩固知识应用。

第1课时　空间直角坐标系及空间向量线性运算的坐标表示 课标要求 1.在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系（数学抽象、直观想象）. 2.能在空间直角坐标系中写出所给定点、向量的坐标（数学抽象、直观想象）. 3.掌握空间向量的线性运算的坐标表示（数学运算）. 　　 　　我们知道，在直线上建立数轴后，就可以用一个数来刻画点在直线上的位置；在平面内建立平面直角坐标系之后，就可以用一对有序实数来刻画点在平面内的位置. 【问题】　怎样才能刻画空间中点的位置呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量的坐标 1.空间直角坐标系 如图，在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}，以点O为原点，分别以i，j，k的方向为正方向建立三条数轴：　x轴、y轴、z轴　，它们都叫作坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系O-xyz.点O叫作坐标原点，三条坐标轴中的每两条确定一个坐标平面，分别称为　xOy　平面、　yOz　平面和　zOx　平面. 2.空间中点的坐标的求法 如图，在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量为点P的位置向量.把与向量对应的有序实数组（x，y，z）叫作点P的坐标，记作　P（x，y，z）　. 【想一想】 　在空间直角坐标系中，向量（O为坐标原点）的坐标与终点P的坐标有何关系？ 提示：O为坐标原点，向量的坐标与点P的坐标相同. 知识点二　空间向量的坐标表示及运算 1.空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a1，a2，a3），使a＝a1i＋a2j＋a3k.有序实数组（a1，a2，a3）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a＝　（a1，a2，a3）　. 2.空间向量的坐标运算 （1）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2）， 则a＋b＝　（x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2）　. a－b＝　（x1－x2，y1－y2，z1－z2）　， λa＝　（λx1，λy1，λz1）　（λ∈R）. （2）若A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝－＝　（x2－x1，y2－y1，z2－z1）　.这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的　终点　坐标减去它的　起点　坐标. 知识点三　空间向量平行的坐标表示 已知空间向量a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），且a≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔　x2＝λx1，y2＝λy1，z2＝λz1　（λ∈R）. 1.已知a＝（1，－2，1），a＋b＝（－1，2，－1），则b＝（　　） A.（2，－4，2） B.（－2，4，－2） C.（－2，0，－2） D.（2，1，－3） 解析：B　∵a＋b＝（－1，2，－1），∴b＝（a＋b）－a＝（－1，2，－1）－（1，－2，1）＝（－2，4，－2）.故选B. 2.如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为2，则图中的点M的坐标为（1，－2，1）. 解析：易得D（2，－2，0），C'（0，－2，2），所以线段DC'的中点M的坐标为（1，－2，1）. 3.设a＝（2，4，m＋1），b＝（4，3n－1，8），若a∥b，则m＋n＝6. 解析：∵a∥b，∴＝＝，∴m＝3，n＝3，∴m＋n＝6. 题型一｜空间中点的坐标表示 【例1】　（1）在空间直角坐标系中，已知点P（1，，），过点P作yOz平面的垂线PQ，则垂足Q的坐标为（　B　） A.（0，，0） B.（0，，） C.（1，0，） D.（1，，0） 解析： 由于垂足在yOz平面内，所以纵坐标、竖坐标不变，横坐标为0，即Q（0，，）. （2）已知点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2，点P2关于z轴的对称点为P3，则点P3的坐标为（2，－3，1）. 解析：点P（2，3，－1）关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为（2，3，1），点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为（－2，3，1），点P2关于z轴的对称点P3的坐标是（2，－3，1）. 通性通法 1.求空间一点P的坐标有两种方法：（1）利用点在坐标轴上的投影求解；（2）利用单位正交基底表示向量，的坐标就是点P的坐标. 2.空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题求解.其规律为“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”. 【跟踪训练】 1.在空间直角坐标系中，已知点M（a，b，c），给出下列命题： ①点M关于x轴的对称点M1的坐标为（a，－b，c）； ②点M关于yOz平面的对称点M2的坐标为（a，－b，－c）； ③点M关于y轴的对称点M3的坐标为（a，－b，c）； ④点M关于原点的对称点M4的坐标为（－a，b，－c）. 其中真命题的个数是（　　） A.3　　　　B.2 C.1　　　　D.0 解析：D　①点M关于x轴的对称点M1的坐标为（a，－b，－c），故错误；②点M关于yOz平面的对称点M2的坐标为（－a，b，c），故错误；③点M关于y轴的对称点M3的坐标为（－a，b，－c），故错误；④点M关于原点的对称点M4的坐标为（－a，－b，－c），故错误.故选D. 2.如图所示的空间直角坐标系中，四边形ABCD是正方形，AB＝2，PA＝4，则PD的中点M的坐标为. 解析：由题意知PO＝＝＝，点M在x轴、y轴、z轴上的投影分别为M1，O，M2，它们在坐标轴上的坐标分别为－，0，，所以点M的坐标为. 题型二｜空间向量的坐标表示及运算 角度1　空间向量的坐标表示 【例2】　在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，以{，，}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标. 解：因为＝－＝－（＋） ＝－＝－－－， 所以＝（－2，－1，－4）. 因为＝－＝－（＋） ＝－－，所以＝（－4，2，－4）. 通性通法 用坐标表示空间向量的步骤 角度2　空间向量的坐标运算 【例3】　（链接教科书第23页例2）（1）已知a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2）.则a＋6b－8c＝（14，－3，3）； 解析：∵a＝（2，－3，1），b＝（2，0，3），c＝（0，0，2），∴a＋6b－8c＝（2，－3，1）＋6（2，0，3）－8（0，0，2）＝（14，－3，3）. （2）已知O为坐标原点，A，B，C三点的坐标分别是（2，－1，2），（4，5，－1），（－2，2，3），若＝（－），则点P的坐标为（5，，0）. 解析：∵＝（2，6，－3），＝（－4，3，1），∴－＝（6，3，－4），∴（－）＝（3，，－2）.设点P的坐标为（x，y，z），则＝（x－2，y＋1，z－2）.∵＝（－），∴解得则点P的坐标为（5，，0）. 通性通法 关于空间向量坐标运算的两类问题 （1）直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算； （2）由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程组求出其坐标. 【跟踪训练】 1.已知A（1，－2，0）和向量a＝（－3，4，12），且＝2a，则点B的坐标为（　　） A.（－7，10，24） B.（7，－10，－24） C.（－6，8，24） D.（－5，6，24） 解析：D　∵a＝（－3，4，12），且＝2a，∴＝（－6，8，24）.∵A的坐标为（1，－2，0），∴＝（1，－2，0），＝＋＝（－6＋1，8－2，24＋0）＝（－5，6，24），∴点B的坐标为（－5，6，24）.故选D. 2.已知向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，5，λ），若a，b，c三个向量不能构成空间的一个基底，则实数λ的值为（　　） A.　　　 B.9 C.　　　 D.0 解析：A　∵a，b，c三向量不能构成空间的一个基底，∴这三个向量共面，∴存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，即（7，5，λ）＝m（2，－1，3）＋n（－1，4，－2），∴2m－n＝7，－m＋4n＝5，3m－2n＝λ，解得λ＝.故选A. 题型三｜空间向量平行的坐标表示及应用 【例4】　（链接教科书第23页例3）已知四边形ABCD的顶点坐标分别是A（3，－1，2），B（1，2，－1），C（－1，1，－3），D（3，－5，3），求证：四边形ABCD是一个梯形. 证明：∵＝（1，2，－1）－（3，－1，2）＝（－2，3，－3），＝（3，－5，3）－（－1，1，－3）＝（4，－6，6）， ∴＝＝， ∴与共线，即AB∥CD， 又∵＝（3，－5，3）－（3，－1，2）＝（0，－4，1）， ＝（－1，1，－3）－（1，2，－1）＝（－2，－1，－2）， ∴≠≠， ∴与不平行. ∴四边形ABCD为梯形. 通性通法 判断空间向量平行的步骤 （1）向量化：将空间中的平行转化为向量的平行； （2）向量关系代数化：写出向量的坐标； （3）对于a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），根据x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2（λ∈R）或＝＝（x2，y2，z2都不为0）判断两向量是否平行. 【跟踪训练】 1.若四边形ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，－5，1），C（3，7，－5），则顶点D的坐标为（　　） A.（5，12，－2） B.（12，5，－2） C.（5，13，－3） D.（13，5，－3） 解析：C　由四边形ABCD是平行四边形知＝.设D（x，y，z），则＝（x－4，y－1，z－3），又＝（1，12，－6），所以解得即D点坐标为（5，13，－3）. 2.已知向量a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1）.若向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平行，则实数n＝（　　） A.6 B.－6 C.4 D.－4 解析：D　因为a＝（0，1，1），b＝（1，－2，1），所以a＋b＝（1，－1，2），又因为向量a＋b与向量c＝（m，2，n）平行，所以存在实数λ，使得λ（a＋b）＝c，所以解得故选D. 1.已知向量a＝（1，－2，1），a－b＝（－1，2，－1），则向量b＝（　　） A.（2，－4，2） B.（－2，4，－2） C.（－2，0，－2） D.（2，1，－3） 解析：A　由已知可得b＝（1，－2，1）－（－1，2，－1）＝（2，－4，2）.故选A. 2.在空间直角坐标系O-xyz中，若点M（2a－a2，b＋1，2c－1）关于z轴的对称点M'的坐标为（－1，2，9），则a＋b＋c＝（　　） A.3 B.5 C.7 D.9 解析：A　依题意，点M（2a－a2，b＋1，2c－1）关于z轴的对称点为M'（a2－2a，－b－1，2c－1），得解得所以a＋b＋c＝3. 3.〔多选〕已知向量a＝（λ＋1，2，3μ－1）与b＝（6，2λ，0）共线，则实数λ的值可能是（　　） A.－3　　　 B.2 C.　　　 D.0 解析：AB　∵a∥b，∴存在实数k使得a＝kb，∴解得λ＝－3或λ＝2.故选A、B. 4.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，向量的坐标为. 解析：因为PA＝AD＝AB＝1，所以可设＝i，＝j，＝k. 因为＝＋＋＝＋＋＝＋＋（＋＋）＝－＋＋（－＋＋）＝＋＝j＋k，所以＝. 1.设{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a＋b＝（　　） A.（2，－11，10） B.（－2，11，－10） C.（－2，11，10） D.（2，11，－10） 解析：A　a＋b＝2e1－11e2＋10e3，由于{e1，e2，e3}是空间的一个单位正交基底，所以a＋b＝（2，－11，10）. 2.已知A（3，－2，4），B（0，5，－1），若＝（O为坐标原点），则点C的坐标是（　　） A. B. C. D. 解析：B　∵＝（－3，7，－5），∴＝（－3，7，－5）＝（－2，，－）.∴点C的坐标为（－2，，－）.故选B. 3.如图所示的空间直角坐标系中，正方体的棱长为2，｜PQ｜＝3｜PR｜，则点R的坐标为（　　） A.（ ，2，） B.（1，2，3） C.（3，2，1） D.（1，2，1） 解析：A　由题意，P（2，2，2），Q（0，2，0），所以＝（－2，0，－2）.因为｜PQ｜＝3｜PR｜，所以＝＝（ －，0，－），所以R（ ，2，）. 4.已知向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），且（ka＋b）∥（a－2b），则实数k的值为（　　） A.－　　　B. C.－　　　D. 解析：C　向量a＝（1，2，1），b＝（3，2，2），则ka＋b＝（k＋3，2k＋2，k＋2），a－2b＝（－5，－2，－3），因为（ka＋b）∥（a－2b），则＝＝，解得k＝－，所以实数k的值为－.故选C. 5.〔多选〕如图，在长方体OABC-O'A'B'C'中，OA＝1，OC＝3，OO'＝2，点E在线段AO的延长线上，且OE＝，则下列向量坐标表示正确的有（　　） A.＝（3，0，0） B.＝（1，0，2） C.＝（，3，2） D.＝（－，3，0） 解析：BC　设x，y，z轴正方向的单位向量分别为i，j，k，则＝i，＝3j，＝2k，所以＝（0，3，0），故A不正确；因为＝＋＝＋，所以＝（1，0，2），故B正确；因为＝＋＋＝＋＋，所以＝（，3，2），故C正确；因为＝＋＝＋，所以＝（，3，0），故D不正确.故选B、C. 6.〔多选〕下列各命题正确的是（　　） A.点（1，－2，3）关于平面Oxz的对称点为（1，2，3） B.点关于y轴的对称点为 C.点（2，－1，3）到平面Oyz的距离为1 D.设{i，j，k}是空间向量单位正交基底，若m＝3i－2j＋4k，则m＝（3，－2，4） 解析：ABD　A项，关于平面Oxz的对称点，x，z不变，y变为相反数，则（1，－2，3）的对称点为（1，2，3），正确；B项，关于y轴的对称点，y不变，x，z变为相反数，则的对称点为，正确；C项，空间点到平面Oyz的距离为该点x坐标值的绝对值，则（2，－1，3）到面Oyz的距离为2，错误；D项，根据空间向量的正交分解中正交基系数的含义知m＝3i－2j＋4k表示m＝（3，－2，4），正确.故选A、B、D. 7.若向量a＝（2，－1，1），b＝（ 1，－，），则这两个向量的位置关系是平行（共线）. 解析：因为a＝2b，所以两个向量平行（共线）. 8.已知点A（λ＋1，μ－1，3），B（2λ，μ，λ－2μ），C（λ＋3，μ－3，9）三点共线，则实数λ＝0，μ＝0. 解析：因为＝（λ－1，1，λ－2μ－3），＝（2，－2，6），由A，B，C三点共线，得∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0. 9.三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量的坐标为. 解析：因为AB＝BC＝PB＝1，所以可设＝i，＝j，＝k，所以＝＋＝－（＋）＋（＋）＝－＝i－k＝. 10.已知PA⊥正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且AB＝AP＝1，以{，，}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标. 解：设＝e1，＝e2，＝e3，则＝＝e2， ＝＋＋ ＝＋＋ ＝＋＋（＋＋） ＝－e2＋e3＋（－e3－e1＋e2） ＝－e1＋e3， ∴＝（－，0，），＝（0，1，0）. 11.如图，空间四边形ABCD中，若向量＝（－3，5，2），＝（－7，－1，－4），点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为（　　） A.（2，3，3） B.（－2，－3，－3） C.（5，－2，1） D.（－5，2，－1） 解析：B　取AC中点M，连接ME，MF（图略），则＝＝（－，，1），＝＝（－，－，－2），所以＝－＝（－2，－3，－3），故选B. 12.〔多选〕如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则（　　） A.点B1的坐标为（4，5，3） B.点C1关于点B对称的点的坐标为（5，8，－3） C.点A关于直线BD1对称的点的坐标为（0，5，3） D.点C关于平面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0） 解析：ACD　由题意可知，点B1的坐标为（4，5，3），点C1（0，5，3）关于点B对称的点的坐标为（8，5，－3），点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点的坐标为（8，5，0），因此A、C、D正确，B错误.故选A、C、D. 13.已知空间四点A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，－5），D（x，－1，3）共面，则x的值为11. 解析：＝（－2，2，－2），＝（－1，6，－8），＝（x－4，－2，0）.因为A，B，C，D四点共面，所以，，共面，所以存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，即（x－4，－2，0）＝（－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ），所以解得 14.已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）. （1）求＋，－； （2）是否存在实数x，y，使得＝x＋y成立？若存在，求x，y的值；若不存在，请说明理由. 解：＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0）， ＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）. （1）＋＝（1，1，0）＋（－1，0，2）＝（0，1，2）. －＝（1，1，0）－（－1，0，2）＝（2，1，－2）. （2）假设存在x，y∈R满足条件， 由已知可得＝（－2，－1，2）. 由题意得（－1，0，2）＝x（1，1，0）＋y（－2，－1，2）， 所以（－1，0，2）＝（x－2y，x－y，2y）， 所以所以 所以存在实数x＝1，y＝1使得结论成立. 15.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若G是A1D的中点，点H在平面ABCD上，且GH∥BD1，试判断点H的位置. 解：如图所示，以D为原点，，， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1）. 因为G是A1D的中点，所以点G的坐标为（，0，）. 因为点H在平面ABCD上，所以设点H的坐标为（m，n，0）. 因为＝（m，n，0）－（，0，）＝（m－，n，－）， ＝（0，0，1）－（1，1，0）＝（－1，－1，1）， 又∥， 所以＝＝，解得m＝1，n＝. 所以点H的坐标为（1，，0），即H为线段AB的中点. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $