6.2.2 第1课时 空间向量的坐标表示及线性运算 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

6.2.2 第1课时 空间向量的坐标表示及线性运算 [课时跟踪检测] 1.点(2,0,3)在空间直角坐标系中的 (　　) A.y轴上 B.xOy平面上 C.zOx平面上 D.第一象限内 解析:选C　因为点(2,0,3)的纵坐标为0,所以该点在zOx平面上. 2.在空间直角坐标系中,已知点M(-1,2,3),过该点作x轴的垂线,垂足为H,则H点的坐标为 (　　) A.(-1,2,0) B.(-1,0,3) C.(-1,0,0) D.(0,2,3) 解析:选C　因为垂足H在 x轴上,故点H与点M的横坐标相同,其余两个坐标分量均为0,故选C. 3.已知向量a=(3,5,-1),b=(2,2,3),c=(1,-1,2),则向量a-b+4c的坐标为 (　　) A.(5,-1,4) B.(5,1,-4) C.(-5,1,4) D.(-5,-1,4) 解析:选A　向量a=(3,5,-1),b=(2,2,3),c=(1,-1,2),则向量a-b+4c=(3,5,-1)-(2,2,3)+4(1,-1,2)=(5,-1,4),故选A. 4.已知点A在基底{a,b,c}下的坐标是(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是 (　　) A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10) D.(4,3,2) 解析:选A　设O为坐标原点,则=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k,故点A在基底{i,j,k}下的坐标是(12,14,10). 5.[多选]下列各组向量中共面的组为 (　　) A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5) B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2) C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1) D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1) 解析:选ABC　A中,设a=x b+y c, 则解得 故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,∴a,b,c共面;B中,b=-2c,C中,c=a-b,故B、C中三个向量共面;D中,设a=xb+yc,则显然无解,故a,b,c不共面. 6.已知空间向量a=(2m-3,n+2,3),b=(2m+1,3n-2,6),若a∥b,则2m+n= (　　) A.11 B.12 C.13 D.14 解析:选C　因为a=(2m-3,n+2,3),b=(2m+1,3n-2,6),且a∥b,所以存在实数λ,使得a=λb,所以(2m-3,n+2,3)=λ(2m+1,3n-2,6), 即解得所以2m+n=13. 7.设e1,e2,e3为空间的三个不同向量,如果λ1e1+λ2e2+λ3e3=0成立的等价条件为λ1=λ2=λ3=0,则称e1,e2,e3线性无关,否则称它们线性相关.若a=(2,1,-3),b=(1,0,2),c=(1,-1,m)线性相关,则m等于 (　　) A.9 B.7 C.5 D.3 解析:选A　依题意知,三个向量线性相关,则存在不全为0的实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0成立;即由 得x=z,y=-3z, 代入-3x+2y+mz=0,得(m-9)z=0. 由于x,y,z不全为0, 所以z≠0,所以m=9. 8.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC⁃A1B1C1中,M是A1C1的中点,AB=2AA1=2AC,=,=3,若=x+y+z,则x+y+z= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,以A1为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.不妨令AB=4,则A(2,0,0),B(2,4,0),A1(0,0,0),C(2,0,2),M(0,0,1),N.因为=3,所以G,则=,=(-2,0,0),=(0,4,0),=(0,0,2),则解得故x+y+z=. 9.(5分)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中建立空间直角坐标系.已知AB=AD=2,BB1=1,则的坐标为　　　　,的坐标为　　　　.  解析:因为A(0,0,0),D1(0,2,1),C1(2,2,1), 所以=(0,2,1),=(2,2,1). 答案:(0,2,1)　(2,2,1) 10.(5分)点P(2,3,4)在三条坐标轴上的射影的坐标分别是　　　　,　　　　,　　　　.  解析:P(2,3,4)在x轴上的射影为(2,0,0),在y轴上的射影为(0,3,0),在z轴上的射影为(0,0,4). 答案:(2,0,0)　(0,3,0)　(0,0,4) 11.(5分)若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),C(m+3,n-3,9)三点共线,则m+n=　　　　.  解析:因为=(m-1,1,m-2n-3),=(2,-2,6),A,B,C三点共线,所以==,解得m=0,n=0,故m+n=0. 答案:0 12.(5分)已知单位向量i,j,k两两的夹角均为θ,若空间向量a满足a=xi+yj+zk,则有序实数组(x,y,z)称为向量a在“仿射”坐标系O⁃xyz(O为坐标原点)下的“仿射”坐标,记作a=(x,y,z)θ.若=(1,0,0),=(0,1,0),=(0,0,1),则三棱锥O⁃ABC的表面积为　　　　.  解析:由题意可知,=(1,0,0)=i,则||=1.同理可得||=||=1.∵=-=(-1,1,0)=-i+j,∴||====1.同理可得||=||=1,即三棱锥O⁃ABC为正四面体,棱长为1,其表面积为S=4××=. 答案: 13.(10分)如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD⁃A'B'C'D',AB=1,BC=2,AA'=3.求: (1)向量,,的坐标;(6分) (2)+2,+-2的坐标.(4分) 解:(1)易知A(0,0,0),C'(1,2,3),B(1,0,0),D'(0,2,3),则=(1,2,3),=(-1,2,3),=(0,2,3). (2)+2=(1,2,3)+2(-1,2,3)=(-1,6,9),+-2=(1,2,3)+(-1,2,3)-2(0,2,3)=(0,0,0). 14.(10分)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,DA=DC=4,DD1=3,点P是线段BD1上一动点,E是BC的中点,当点P在什么位置时,PE∥A1B? 解:以D为原点,建立空间直角坐标系D⁃xyz,如图所示,则A1(4,0,3),B(4,4,0), C(0,4,0),D1(0,0,3). ∵E为BC的中点, ∴E(2,4,0). ∴=(4,4,0)-(4,0,3)=(0,4,-3), =(0,0,3)-(4,4,0)=(-4,-4,3), =(4,4,0)-(2,4,0)=(2,0,0). 设=λ,则=+=+λ. ∵=(2,0,0),λ=(-4λ,-4λ,3λ), ∴=(2-4λ,-4λ,3λ). 由PE∥A1B,得∥, ∴∴λ=. 此时点P为BD1的中点. 故当点P为BD1的中点时,PE∥A1B. 学科网（北京）股份有限公司 $