6.2.1 空间向量基本定理（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本高中数学讲义聚焦空间向量基本定理，系统梳理定理（三不共面向量为基底，空间任一向量可唯一表示）及推论，衔接正交基底与单位正交基底概念，通过正方体实例引入，构建从理解定理到基底判断、向量表示再到几何应用的学习支架。 以正方体模型创设问题情境，培养直观想象，题型分层设计（基底判断、向量表示、定理应用）强化数学运算与逻辑推理，配套跟踪训练与练习题，课中辅助教师引导探究，课后助力学生巩固知识，查漏补缺。

6.2.1　空间向量基本定理 【基础落实】 知识点一 1.不共面　唯一　xe1＋ye2＋ze3　基底　基向量　2.x＋y＋z 想一想 1.提示：不可以. 2.提示：对. 自我诊断 1.（1）×　（2）√　（3）√ 2.C　由题意知，，不共面，可以构成空间向量的一个基底. 3.C　因为＝＋＋＝＋＋，所以＝3i＋2j＋5k，故选C. 【典例研析】 【例1】　ABC　只有D选项中的三个向量不共面，其他选项中的三个向量都共面. 跟踪训练 1.C　A中，因为＋＋＝1，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意；B中，≠＋，但可能＝λ＋μ，所以M，A，B，C四点可能共面，不满足题意；D中，因为＝2－，所以M，A，B，C四点共面，不满足题意.只有C中式子满足题意，故选C. 2.解：设＝x＋y，则e1＋2e2－e3＝x（－3e1＋e2＋2e3）＋y（e1＋e2－e3）， 即e1＋2e2－e3＝（y－3x）e1＋（x＋y）e2＋（2x－y）e3， 所以此方程组无解. 即不存在实数x，y，使得＝x＋y， 所以，，不共面， 所以{，，}能作为空间的一个基底. 【例2】　解：＝＋ ＝＋（＋） ＝＋＋ ＝＋（－）＋ ＝＋＋ ＝（a＋b＋c）. 连接A'N（图略）， ＝＋＝＋（＋） ＝＋（＋） ＝a＋b＋c. 跟踪训练 　解：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝＋×（＋）＝＋＋. ＝＋＝＋＋＋＝＋＋. 【例3】　解：（1）设＝a，＝b，＝c， 则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1， ＜a，b＞＝＜b，c＞＝＜c，a＞＝60°， 所以a·b＝b·c＝c·a＝. ｜｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（a·b＋b·c＋c·a）＝1＋1＋1＋2×（＋＋）＝6， 所以｜｜＝，即AC1的长为. （2）＝b＋c－a，＝a＋b， 所以｜｜＝，｜｜＝， ·＝（b＋c－a）·（a＋b）＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1. 所以cos＜，＞＝＝. 所以AC与BD1所成角的余弦值为. 跟踪训练 　证明：在空间四边形OABC中，令＝a，＝b，＝c，则｜a｜＝｜b｜＝｜c｜， 令∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝θ，因为G是MN的中点， 则＝（＋）＝［＋（＋）］＝（a＋b＋c），＝－＝c－b， 于是得·＝（a＋b＋c）·（c－b）＝（a·c－a·b＋b·c－b2＋c2－b·c） ＝（｜a｜2cos θ－｜a｜2cos θ－｜a｜2＋｜a｜2）＝0， 因此⊥，所以OG⊥BC. 随堂检测 1.ABD　由基底的概念可知A、B、D正确.对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误. 2.C　由题意知，a，b，c不共面，对于选项A，a＝[（a＋b）＋（a－b）]＝m＋n，故a，m，n共面，排除A；对于选项B，b＝[（a＋b）－（a－b）]＝m－n，故b，m，n共面，排除B；对于选项D，由选项A得，2a＝m＋n，故2a，m，n共面，排除D.故选C. 3.a＋b＋c　解析：＝＋＝＋×（＋）＝＋×（－＋－）＝＋＋＝a＋b＋c. 4.证明：设＝a，＝b，＝c， 则＝＋＝b＋c. 所以·＝a·（b＋c） ＝a·b＋a·c. 因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°， 所以a·b＝0，a·c＝0， 得·＝0，故AB⊥AC1. 学科网（北京）股份有限公司 $ 6.2.1　空间向量基本定理 课标要求 1.理解空间向量基本定理及其推论（数学抽象、直观想象）. 2.会根据需要选择适当的基底来表示任一空间向量（数学运算）. 3.会用向量基底法求解简单的几何问题（数学运算、逻辑推理）. 　　如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，在AB，AD，AA1上分别取单位向量e1，e2，e3. 【问题】　（1）e1，e2，e3共面吗？ （2）如何用e1，e2，e3表示向量？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量基本定理 1.定理：如果三个向量e1，e2，e3　　　　，那么对空间任一向量p，存在　　　　的有序实数组（x，y，z），使p＝　　　　　　　　，其中{e1，e2，e3}称为空间的一个　　　　，e1，e2，e3叫作　　　　. 2.推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得＝　　　　　　　　. 【想一想】 1.构成基底的三个向量中，可以有零向量吗？ 2.在四棱锥O-ABCD中，可表示为＝x＋y＋z且唯一，这种说法对吗？ 知识点二　正交基底与单位正交基底 1.正交基底：如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底. 2.单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）空间向量的基底是唯一的.（　　） （2）若a，b，c是空间向量的一个基底，则a，b，c均为非零向量.（　　） （3）已知A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N共面.（　　） 2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以构成空间的一个基底的是（　　） A.，，　　　 　 B.，， C.，， D.，， 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则＝（　　） A.i＋j＋k B.i＋j＋k C.3i＋2j＋5k D.3i＋2j－5k 题型一｜基底的判断 【例1】　（链接教科书第20页练习1题）〔多选〕已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列选项中不能构成空间的一个基底的是（　　） A.{a，a－2b，2a＋b} B.{b，b＋c，b－c} C.{2a－3b，a＋b，a－b} D.{a＋b，b－c，c＋2a} 通性通法 判断基底的基本思路 （1）判断一组向量能否构成空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以构成一个基底； （2）判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 【跟踪训练】 1.若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线，且满足下列关系（O是空间任一点），则能使向量，，构成空间一个基底的关系是（　　） A.＝＋＋ B.≠＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 2.已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底. 题型二｜用基底表示空间向量 【例2】　（链接教科书第19页例1）如图，在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC'，B'C'的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，. 通性通法 用基底表示向量的策略 （1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律； （2）若没给定基底时，首先选择基底，选择时要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求. 【跟踪训练】如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点.用基向量，，表示和. 题型三｜空间向量基本定理的应用 【例3】　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱的长度都为1，且两两夹角为60°. （1）求AC1的长； （2）求BD1与AC所成角的余弦值. 通性通法 用空间向量基本定理解决立体几何问题的步骤 　　首先根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底，如果存在三个两两垂直的空间向量也可以确定一个正交基底.然后根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，最后把空间向量的运算转化为基向量的运算. 【跟踪训练】 如图，在空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 1.〔多选〕下列结论正确的是（　　） A.三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面 B.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 C.若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb（λ，μ∈R且λμ≠0），则{a，b，c}构成空间的一个基底 D.若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面 2.若{a，b，c}是空间的一个基底，且向量m＝a＋b，n＝a－b，则可以与向量m，n构成空间的另一个基底的向量是（　　） A.a　　　　　　　　　 B.b C.c D.2a 3.在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝　　　.（用a，b，c表示） 4.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°.求证：AB⊥AC1. 提示：完成课后作业　第六章　6.2　6.2.1 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $