6.2.1空间向量基本定理分层同步练习-2025-2026学年高二下学期数学苏教版选择性必修第二册

**基本信息** 本同步练习以“空间向量基本定理”为核心，通过A、B、C三层设计实现从基础概念到综合应用的递进，适配新授课知识巩固需求，培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A层|基底构成、共面条件判定|以选择、填空题为主，直接考查基底概念与共线共面基础，如第1题判断基底向量，巩固数学抽象| |B层|基底表示、向量运算综合|增加多选题与解答题，如第15题结合三棱柱用基底表示向量并求长度，提升推理能力| |C层|空间几何证明、复杂应用|以探究性解答题为主，如第17题正方体中证明线面垂直，发展空间观念与创新意识|

6.2.1　空间向量基本定理 A层 基础达标练 1.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是(　　) A.a B.b C.a+2b D.a+2c 2.(2024江苏镇江高二调研)已知四面体O-ABC,G是△ABC的重心,P是线段OG上的点,且OP=2PG,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　) A. B. C. D. 3.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有=x+y+z(x,y,z∈R),则x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的(　　) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=c,=b,则下列向量与相等的是(　　) A.-a+b+c B.a+b+c C.-a-b+c D.a-b+c 5.(多选题)关于空间向量,以下说法正确的是(　　) A.空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面 B.若对空间中任意一点O,有,则P,A,B,C四点共面 C.设{a,b,c}是空间中的一组基底,则{a+b,b+c,c+a}也是空间中的一组基底 D.若a·b<0,则<a,b>是钝角 6.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,O为空间内一点.设=a,=b,=c,则向量用{a,b,c}表示为　　　　　.  7.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,已知=a,=b,=c,点M,N分别是BC',B'C'的中点,试用基底{a,b,c}分别表示向量. B层 能力提升练 8.已知点O,A,B,C为不共面的四点,且向量a=,向量b=,则与a,b不能构成空间基底的向量是(　　) A. B. C. D. 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若点F是侧面CDD1C1的中心,且+m-n,则m+n=(　　) A. B.0 C.-2 D.- 10.如图,M为OA的中点,以{}为基底,=x+y+z,则实数组(x,y,z)等于(　　) A.,-1,0 B.,0,-1 C.-,1,0 D.-,0,1 11.已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,向量a=3e1+2e2+e3,b=λe2+e3,c=e1+e2+e3,若{a,b,c}能作为一个基底,则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞,-1)∪(-1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞) C.(-∞,1)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞) 12.(多选题)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不能构成空间的一个基底的是(　　) A.b+c,b,b-c B.a+b,a-b,c C.a,a+b,a-b D.a+b,a+b+c,c 13.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AA1,BC的中点,G,H分别在线段CC1,A1D1上,且满足=2=2.设=a,=b,=c,则下列结论正确的是(　　) A.=-a+b+c B.a-b-c C.=a-b+c D.a+b+c 14.如图所示,在四面体OABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心.设=a,=b,=c,D为BC的中点,则=　　　　　. 15.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是A1B,B1C1上的点,且BM=2A1M,C1N=2B1N.设=a,=b,=c. (1)试用a,b,c表示向量; (2)若∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2,求MN的长. C层 拓展探究练 16.在三棱锥A-BCD中,P为△BCD内一点,若S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3,则可用{}表示为(　　) A. B. C. D. 17.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.求证:EF⊥平面B1AC. 参考答案 1.D　由题意,得能与p,q构成基底,则需与p,q不共面,易知A,B不合题意;对于C,∵a=,b=,∴a+2b=p-q,∴C不合题意;∵{a,b,c}为基底,∴a+2c与p,q不共面,可构成基底.故选D. 2.B　由题意知, ∵=2,∴=.故选B. 3.B　因为对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,有=x+y+z(x,y,z∈R), 所以P,A,B,C四点共面,等价于x+y+z=1. 若x=2,y=-3,z=2,则x+y+z=1,所以P,A,B,C四点共面. 若P,A,B,C四点共面,则x+y+z=1,不一定能得到x=2,y=-3,z=2, 所以x=2,y=-3,z=2是P,A,B,C四点共面的充分不必要条件.故选B. 4.A　)=)=c+(-a+b)=-a+b+c. 5.ABC　对于A,根据共线、共面向量的概念,可知空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面,所以是正确的; 对于B,若对空间中任意一点O,有,则根据空间向量的共面定理的推论,可得P,A,B,C四点一定共面,所以是正确的; 对于C,由是空间中的一组基底,知向量a,b,c不共面,可得向量a+b,b+c,c+a也不共面,所以也是空间的一组基底,所以是正确的; 对于D,因为a·b<0,又由<a,b>∈[0,π],所以<a,b>∈,π,所以不正确. 故选 ABC. 6.a-b+c　∵=-2,∴=-2(),∴b-a=-2(-c),∴a-b+c. 7.解 =) =) =b+a+(c-b) =a+b+c. =a+b+) =a+b+(c-b)=a+b+c. 8.C　∵a-b,且a,b不共线,∴a,b,共面, ∴与a,b不能构成一个空间基底. 9.B　因为,所以m=,-n=,即n=-,则m+n=0. 10.B　因为+0·,所以实数组(x,y,z)=. 故选B. 11.B　若a,b,c共面,则由共面向量定理知,存在实数x,y,使得a=xb+yc,即3e1+2e2+e3=x(λe2+e3)+ye1+e2+e3.因为e1,e2,e3不共面,所以3=y,2=xλ+y,1=x+y,解得x=-1,y=2,λ=0,即当λ=0时,a=-b+2c,此时不能作为基底,所以若能作为基底,则实数λ满足的条件是λ≠0. 故选B. 12.ACD　由题意,知{a,b,c}构成空间的一个基底. 对于A,因为(b+c)+(b-c)=2b,所以向量b+c,b,b-c共面,A不能; 对于B,向量a+b与a-b不共线,又向量c不能用a+b和a-b表示,即向量a+b,a-b,c不共面,B能; 对于C,因为(a+b)+(a-b)=2a,所以a,a+b,a-b共面,C不能; 对于D,因为(a+b)+c=a+b+c,所以a+b,a+b+c,c共面,D不能. 故选ACD. 13.AD　由已知,可得.对于A,=-=-a+b+c,故A项正确; 对于B,a-b-c,故B项错误; 对于C,=-=a-b+c,故C项错误; 对于D,=-a+b+c,故D项正确. 故选AD. 14.-a　因为, , 又D为BC的中点,所以), 所以) =)- =)=(a+b+c). 又因为, )=(b+c), 所以(b+c)-(a+b+c)=-a. 15.解 (1)由题图,知.因为, 所以=c-a,=b-a, 故(c-a)+a+(b-a)=a+b+c. (2)根据题意,由∠BAC=90°,∠BAA1=∠CAA1=60°,AB=AC=AA1=2, 得(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=20,即|a+b+c|=2, 由(1)知||=|a+b+c|=. 16.C　在三棱锥A-BCD中,P为△BCD内一点,如图所示, 延长PB至点B1,使得PB1=2PB,延长PC至点C1,使得PC1=3PC,连接DB1,B1C1,C1D,BC1.因为S△PBC=1,S△PCD=2,S△PBD=3,所以, 所以点P为△B1C1D的重心,所以=0, 即+2+3=0, 所以()+2()+3()=0, 所以.故选C. 17.证明 设=a,=c,=b,则a·b=0,a·c=0,b·c=0. 则)=)=)=(-a+b+c), ∵=a+b, ∴(-a+b+c)·(a+b)=(|b|2-|a|2)=0. ∴,即EF⊥AB1.同理EF⊥B1C. ∵AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC. 学科网（北京）股份有限公司 $