6.1.2 空间向量的数量积（学用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间向量的数量积核心知识点，通过类比必修第二册平面向量数量积，系统构建空间向量夹角（定义、范围、特殊角）、数量积（定义、运算律、性质）及投影向量的知识体系，形成从平面到空间的学习支架。 该资料以问题导入激发思考，结合正四面体、正方体等模型设计例题与跟踪训练，培养数学抽象、数学运算和逻辑推理素养。课中助力教师引导学生实践应用，课后通过判断、选择等练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

6.1.2　空间向量的数量积 课标要求 1.了解空间向量的夹角，掌握空间向量的数量积（数学抽象、数学运算）. 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义（直观想象）. 3.能利用空间向量数量积解决简单的立体几何问题（数学运算、逻辑推理）. 　　我们在必修第二册“平面向量”中已经学习了两个平面向量a和b的数量积的定义、性质及运算. 【问题】　（1）平面向量的数量积a·b是如何定义的？满足哪些运算律？ （2）类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量的夹角 定义 a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作＝a，＝b，　　　＝θ（0≤θ≤π）叫作向量a与向量b的夹角，记作　　　 范围 ＜a，b＞∈　　　 特殊 夹角 ①如果＜a，b＞＝0，a与b　　　　； ②如果＜a，b＞＝π，a与b　　　　； ③如果＜a，b＞＝　　　，a与b互相垂直，记作a　　b 知识点二　空间向量的数量积 1.定义：设a，b是空间两个非零向量，我们把数量　　　　　　叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝　　　　　　. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. 2.数量积的运算律 交换律 a·b＝　　　 数乘结合律 （λa）·b＝　　　　（λ∈R） 分配律 （a＋b）·c＝a·c＋b·c 3.数量积的性质 两个向量 数量积的 性质 ①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔　　　 ②若a与b同向，则a·b＝　　　　； 若反向，则a·b＝　　　　. 特别地，a·a＝　　　或｜a｜＝　　　　 ③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝　　　 【想一想】 1.若a·b＝0，则一定有a⊥b吗？为什么？ 2.对于向量a，b，若a·b＝k，能否写成a＝？ 知识点三　空间向量的投影向量 1.空间投影向量的定义 （1）如图，对于空间任意两个非零向量a，b，设向量＝a，＝b，过点A作AA1⊥OB，垂足为A1. 由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量； （2）如图，设向量m＝，过C，D分别作平面α的垂线，垂足分别为C1，D1，得向量.向量　　　　称为向量m在平面α上的投影向量. 2.空间向量数量积的几何意义 空间向量m，n（n在平面α内）的数量积就是向量m在平面α上的　　　　　　与向量n的数量积. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）对于任意向量a，b，c，都有（a·b）c＝a（b·c）.（　　） （2）若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.（　　） （3）两个非零向量a，b的夹角满足＜－a，b＞＝＜a，－b＞＝π－＜a，b＞.（　　） （4）向量a在平面β上的投影是一个向量.（　　） 2.在正四面体ABCD中，与的夹角等于（　　） A.30° B.60° C.150° D.120° 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则·＝　　　　. 4.已知正方体ABCD-A'B'C'D'，则向量在平面ABCD上的投影向量为　　　　. 题型一｜空间向量数量积的运算 【例1】　（链接教科书第12页练习5题）已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示，求： （1）·； （2）（＋）·（＋）. 通性通法 求空间向量数量积的步骤 （1）将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角厘清； （2）利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； （3）代入a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞求解. 【跟踪训练】 1.如图，在棱长为的正方体ABCD-A1B1C1D1中，·＝（　　） A.2　　　　　　　　 B.1 C.2 D. 2.如图所示，空间四边形ABCD每条边和对角线长都为a，点E，F分别是AB，AD的中点，则·＝　　　　. 题型二｜空间向量的投影向量 【例2】　（链接教科书第11页例4）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点. （1）确定向量在平面BCC1B1上的投影向量，并求·； （2）确定向量在直线B1C1上的投影向量，并求·. 通性通法 　　利用空间向量的数量积的几何意义求两个向量的数量积时，准确探寻某一向量在平面（或直线）上的投影向量是解题的关键. 【跟踪训练】 　已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·＝（　　） A.－1　　　 B.0　　　 C.1　　　 D.2 题型三｜空间向量数量积的应用 角度1　利用空间向量数量积求夹角 【例3】　如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成角的大小是　　　　. 通性通法 利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 提醒　注意两向量的夹角与两异面直线所成角的区别. 角度2　利用空间向量数量积求线段长度（模） 【例4】　已知正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长. 通性通法 利用数量积求线段长度的步骤 （1）将线段用向量表示； （2）用其他已知夹角和模的向量表示该向量； （3）利用｜a｜＝得所求长度. 角度3　利用空间向量数量积证明位置关系 【例5】　如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝4，AA1＝5，∠DAB＝∠BAA1＝∠DAA1＝60°，M，N分别为D1C1，C1B1的中点. （1）求AC1的长； （2）求证：⊥. 通性通法 利用数量积判断（证明）位置关系 （1）若证明两条直线（或向量）垂直，只需要证明两条直线对应的向量的数量积为0； （2）若证明直线与平面垂直，只需要证明直线对应向量与平面内两条相交直线对应向量的数量积分别为0； （3）若证明两条直线平行，只需要证明直线对应的向量共线，同时说明它们不是同一条直线. 【跟踪训练】 1.在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，向量与向量的夹角为（　　） A.60° B.150° C.90° D.120° 2.已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k＝　　　　. 3.已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则｜a－b＋2c｜＝　　　　. 1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是（　　） A.与 B.与 C.与 D.与 2.已知｜a｜＝1，且a－b与a垂直，且a与b的夹角为45°，则｜b｜＝（　　） A.1 B. C.2 D.2 3.已知两条异面直线的方向向量分别为a，b，且｜a｜＝｜b｜＝1，a·b＝－，则a在b上的投影向量为　　　　. 4.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，＜a，b＞＝135°，m⊥n，则λ＝　　　　. 提示：完成课后作业　第六章　6.1　6.1.2 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.1.2空间向量的数量积 【基础落实】 知识点一 ∠AOB<a,b>[0,元]①同向 ②反向③z⊥ 知识点二 1.al b cos<a,b>alb l cos<a,b> 2.ba入(ab)3.①ab=0 ②|alIb1-|a1Ib11al2 ③，wwT 想一想 1.提示：若b=0,则不-定有a⊥b,也可能a=0或b=0 2.提示：不能.向量没有除法运算。 知识点三 1.(2).2.投影向量 自我诊断 1.(1)×(2)×(3)V(4)V 2.D <元，°>=180°-<，>=180°-60°=120°. 3.2解析：如图，严口=口心=1口||心1cos<,,心 >=a"V厂acos45°=a2. 4.解析：因为AA⊥平面ABCD,因此云在平面ABCD上的投影向量是 【典例研析】 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 【例1】解：在正四面体OABC中，1|=11=1元|=1. <A,v>=<n,元>=<元，元>=60°. (1).D=|a|1D|cos∠AOB=1X1Xcos60°=2 (2)(a+)·(a+D) =(a+元)·(a_元+°-元) =(a+)·(+元-2元) =ua+2av0-2n.元+m-2m. =12+2×1×1×cos60°-2×1×1Xc0s60°+12-2×1×1×c0s609 =1+1-1+1-1=1. 跟踪训练 1.A在正方体ABCD-A1B1CD1中，AB⊥平面AA1D1D,所以AB⊥AD1,所以 avnvnv=(nm)nv.n.nv:tn.nv=0x2Xc0s 45 =2.故选A. 2.一a2解析：因为点E,F分别是AB,AD的中点，所以EF∥BD,所以F, 可的夹)角为120°，所以⑦-1F1·1可|cos120°=-a2. 【例2】解：(1)因为A1B1⊥平面BCCB1,PC1⊥平面BCCB, 所以向量“·在平面BCCB上的投影向量为”.. 所以n-“"=V严X1Xcos45°=1. (2)因为AB1⊥B1C1,PC1⊥B1C1, 所以向量口在直线BC1上的投影向量为”，故心n=DD心=1 跟踪训练 C法-a心-nm+n-nn+左(0"+n)=nn十(a0+aD), 元=严+0，则a心元=：(1|2十1严12)=1，故选C. 独家授权侵权必究· 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 法二设下底面ABCD的中心为O,则向量aU在底面ABCD上的投影向量为 a心，故心心-心心=0=1，故选C 【例3】90° 解析：不妨设正三棱柱的棱长为2，a“=u-,m= 十，.cos<u,m>= √“V°=0，故异 面直线AB1和BM所成角的大小是90°. 【例4】解：如图所示，设巴=a,=b,=c, 由题意知|a|=|b|=|c|=2, 且<a,b>=60°，<a,c>=<b,c>=90°. 因为=a十十 =-a0+nn十0 =-za十b十c, 所以|12=a2+-b2+c2+2(-mb十-bc-ac)=-X22+-×22+22+2X (-=)×2X2×c0s60°=1+1十4-1=5， 所以EF=√厂 【例5】解：(1)设严=，严=b,=c,则1a|=1b1=4,|c1= 5,ab=8,ac=bc=10, m-心十-a-b,a心=0+元+心=4十b十c. 因为a四=a+b+c)2=++c2+2(ab+bc+ca =42+42+52+2×(8+10+10)=113, 所以AC1=|n心|=V⊙， 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 (2)证明：因为mau=(a-b)·(a十b十c)》 =2+zac--b2-bc=2X42+2X10-z×42-z×10=0, 所以示⊥au. 跟踪训练 1.D如图，n-+m,1um|=Fa,心-m+0,1C1=Fa. nmm4mm4mm4mm--d2.c心<m,m之 =-,<,元>=120°. 2.6解析：由题意可得ab=0,e1e2=0,|e1|=1e2|=1,所以(2e1+ 3e2)·（ke1-4e2)=0,所以2k-12=0,所以k=6. 3.√解析：|a|=|b|=|c|=1,<a,b>=<b,c>=<c,a>= 60°，∴.b=bc=c=z,a2=b2=c2=1, |a-b十2cl=√八w"1=√e1uwu1wuwU =V心±=VF. 随堂检测 1.A严与0的夹角为45°，严与.的夹角为135°，严与n"的夹角为 90°，严与”口的夹角为180°，故选A. 2.B.a-b与a垂直，∴.(a-b)a=0,∴.aa-ab=|a|2-|a||b|cos< 4,b>=0.1-1b1X=0,解得1b1=F 3.-b解析：设a与b的夹角为0，|a|=|b|=1,且ab=-z,cos 0=wT=一，∴a在b上的投影向量为cos8b=一zb. 独家授权侵权必究 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 4.-z解析：mLn,mn=0,mn=（a十b)·(a十b)=a2十ab十 入ab+入b2=(3W)2+(1+λ)×3×4cos135°+入×42=18+(1+入) ×12F×(-)+161=6+41=0,.1=-=. 独家授权侵权必究·