专题6.3 共面向量定理（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

本讲义聚焦共面向量定理核心知识点，系统梳理共面向量定义、定理及推论，从概念引入到定理推导，再到推论应用，通过分层题型构建知识支架，助力学生形成完整知识体系。 资料以核心素养为导向，用类比思想引导定理发现培养数学眼光，设计多题型强化逻辑推理（如线面平行证明）与数学运算（参数求解），课中辅助分层教学，课后例题变式助学生查漏补缺，提升数学思维与表达能力。

专题6.3 共面向量定理 教学目标 1.了解共面向量的定义，理解共面向量定理． 2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题． 3.利用类比的思想，经历共面向量定理的发现、归纳及证明的过程，完善共面向量定理的知识建构． 4.通过对空间向量“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程，提升逻辑推理素养；通过对共面向量定理的运用，提升数学运算素养． 教学重难点 1.重点 空间向量共面定理的应用． 2.难点 空间向量共面定理的证明及其应用. 知识点01 共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【即学即练】 1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是（　　） A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 2．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（　　） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 知识点02 共面向量定理的推论 共面向量定理的推论： 在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 注：证明点在平面内 证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足x+y+z=1. 【即学即练】 1．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（　　） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 2．(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 题型01 共面向量的概念 【典例1】已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（　　） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 抓住共面向量的定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 【变式1】下面关于空间向量的说法正确的是（　　） A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面 C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 【变式2】（多选）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线不一定平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 题型02 空间向量共面的判断 【典例1】已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（　　） A． B． C． D． 判断空间向量共面： 判断三个向量共面一般用：；也可以用：；(其中x+y+z=1). 【变式1】若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式2】（多选）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（　　） A.＝3－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 【变式3】如图，在长方体中，向量，，是 向量(填“共面”或“不共面”)． 【变式4】给出下列四个命题： ①若存在实数x，y，使，则与，共面； ②若与，共面，则存在实数x，y，使； ③若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； ④若点P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使． 其中______是真命题.（填序号） 题型03 利用共面向量定理证明向量共面 【典例1】已知A, B, C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋. (1) 判断， ， 三个向量是否共面； (2) 判断点M是否在平面ABC内． 解决向量共面的策略： (1) 若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2) 证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量表示. 【变式1】已知，，三点不共线，平面外一点，满足，证明，，共面． 【变式2】在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：共面； 题型04 利用共面向量定理证明线面平行 【典例1】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 利用共面向量定理解决线面平行的策略： 证明线面平行，可转化为证明线所在方向向量与平面内某一向量平行或两个不共线向量共面，且线不在该平面内． 【变式1】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面． (2)BD∥平面EFGH. 【变式2】如图，四棱锥的底面是平行四边形，M是的中点，求证：平面． 【变式3】如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点． 求证：AB1∥平面C1BD. 题型05 四点共面的判断与证明 【典例1】如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 将判断四点是否共面转化为空间向量是否共面．即要判断四点是否共面，可考察三个共起点的向量，， 是否共面． 【变式1】已知两个非零向量e1, e2不共线，如果＝e1＋e2, ＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A, B, C, D四点共面． 【变式2】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 【变式3】已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 题型06 利用空间向量共面求参数 【典例1】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 【变式1】已知，，，若，，三向量共面，则（　　） A．18 B． C． D．6 【变式2】设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（　　） A． B． C． D． 【变式3】如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（　　） A． B． C． D． 题型07 共面向量定理的推论及应用 【典例1】已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【变式1】已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A．2 B．0 C． D．1 【变式2】已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 【变式3】如图，在正四棱台中， .直线与平面EFG交于点，则__________ 【变式4】如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 1．知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．在下列条件中，使与一定共面的是（　　） A． B． C． D． 3．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于（　　） A. B. C. D. 4．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（　　） A．16 B．-13 C．3 D．-3 5．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 6．已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（　　） A． B． C． D．4 7．（多选）已知不共面，则下列向量共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．（多选）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 9.（多选）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（　　） A．，，，四点共面 B．在方向上的投影向量为 C． D．直线与所成角的余弦值为 10．已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为________----- 11．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 . 12．在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 13．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 14．如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体中，M，N分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题6.3 共面向量定理 教学目标 1.了解共面向量的定义，理解共面向量定理． 2.能运用共面向量定理证明有关线面平行和点共面的简单问题． 3.利用类比的思想，经历共面向量定理的发现、归纳及证明的过程，完善共面向量定理的知识建构． 4.通过对空间向量“由此及彼，由浅入深”的认识发展过程，提升逻辑推理素养；通过对共面向量定理的运用，提升数学运算素养． 教学重难点 1.重点 空间向量共面定理的应用． 2.难点 空间向量共面定理的证明及其应用. 知识点01 共面向量定理 (1)共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． (2)共面向量定理 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【即学即练】 1．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是（　　） A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 【答案】C 【分析】利用空间共面向量的定义即可求解. 【解析】如图所示．向量，，不是有相同起点的向量，故A错误；三个向量的模不一定相等，故B错误；又在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，∵＝，而线段D1A，D1C，AC构成△D1AC的三个边，故向量，，是共面向量， 故选：C. 2．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（　　） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【解析】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 知识点02 共面向量定理的推论 共面向量定理的推论： 在空间中P,A,B,C四点共面(其中x+y+z=1)，O为空间中任意一点. 注：证明点在平面内 证明点P在平面ABC内，可以用，也可以用，若用，则必须满足x+y+z=1. 【即学即练】 1．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（　　） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【解析】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 2．(多选)对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是（　　） A.＝＋＋ B.＝＋＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 【答案】　BC 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【解析】A选项，＝＋＋，不能转化成＝x＋y的形式，所以A不正确； B选项，∵＝＋＋，∴3＝＋＋，∴－＝(－)＋(－)， ∴＝＋，∴＝－－，∴P，A，B，C共面．故B正确； C选项，＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋. ∴－＝＋， ∴＝＋， 由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面，故C选项正确； D选项，＝2－－，无法转化成＝x＋y的形式，所以D项不正确． 故选：BC． 题型01 共面向量的概念 【典例1】已知空间非零向量，则下列命题中正确的是（　　） A．若共面，那么中至少存在一对向量共线 B．若（不共线）共面，那么存在一组实数对，使得 C．若不共面，那么所在直线中至少存在两条直线异面 D．若不共面，那么所在直线中不可能存在两条直线异面 【答案】B 【分析】 根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可. 【解析】A：当共面时，这时相当于这个平面内的三个平面向量，因此这三个平面向量可以都不共线，所以本选项命题是假命题； B：根据共面向量定理可以知道本选项命题是真命题； C：设，若彼此两两互相垂直时，显然所在直线中没有直线异面，因此本选项命题是假命题； D：如下图所示： 若，显然异面， 所以本选项命题是假命题， 故选：B 抓住共面向量的定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 【变式1】下面关于空间向量的说法正确的是（　　） A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行 B．若向量a，b所在直线是异面直线，则a，b不共面 C．若A，B，C，D四点不共面，则向量，不共面 D．若A，B，C，D四点不共面，则向量，，不共面 【答案】　D 【分析】根据共面向量的定义，结合异面直线的定义逐一判断即可. 【解析】我们可以通过平移将空间中任意两个向量平移到一个平面内，因此空间任意两个向量都是共面的，故B，C错误；由向量平行与直线平行的区别，可知A错误；因为AB，AC，AD是空间中有公共端点A但不共面的三条线段，所以向量，，不共面． 故选：D. 【变式2】（多选）下列命题中正确的是（　　） A．若，，则与所在直线不一定平行 B．向量、、共面即它们所在直线共面 C．空间任意两个向量共面 D．若，则存在唯一的实数λ，使 【答案】AC 【分析】根据空间向量之间的平行、共面逐项判断即可. 【解析】若，，当，则与所在直线不一定平行，故A正确； 向量、、共面即它们所在直线共面或不共面，故B错误； 根据共面向量基本定理可知：空间任意两个向量共面，故C正确； 若，当时，则不存在实数，使使或，故D不正确． 故选：AC. 题型02 空间向量共面的判断 【典例1】已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【解析】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 判断空间向量共面： 判断三个向量共面一般用：；也可以用：；(其中x+y+z=1). 【变式1】若，，是空间一组不共面的向量，则不共面的一组向量为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】根据空间向量共面定理依次判断各选项即可得到答案． 【解析】A选项：，所以，，是共面向量； B选项：，所以，，是共面向量； C选项：， 所以，，是共面向量； D选项：令，即， 则，显然方程组无解，故，，不是共面向量． 故选：D． 【变式2】（多选）下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（　　） A.＝3－－ B.＝＋＋ C.＋＋＝0 D.＋＋＋＝0 【答案】　AC 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【解析】　A选项中，3－1－1＝1，四点共面， C选项中，＝－－，∴点M，A，B，C共面． 故选：AC 【变式3】如图，在长方体中，向量，，是 向量(填“共面”或“不共面”)． 【答案】共面 【分析】根据空间向量的运算法则化简得到，即可得到是共面向量. 【解析】由空间向量的运算法则，可得， 又由，可得， 所以是共面向量. 故答案为：共面 【变式4】给出下列四个命题： ①若存在实数x，y，使，则与，共面； ②若与，共面，则存在实数x，y，使； ③若存在实数x，y，使，则点P，M，A，B共面； ④若点P，M，A，B共面，则存在实数x，y，使． 其中______是真命题.（填序号） 【答案】①③． 【分析】由空间向量共面定理判断即可； 【解析】①由共面向量定理知，①正确； ②若，共线，则不与，共线，则不存在实数x，y，使，故②错误； ③由共面向量定理知，③正确； ④若共线，不与共线，则不存在实数x，y，使，故④错误． 故答案为①③． 题型03 利用共面向量定理证明向量共面 【典例1】已知A, B, C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝＋＋. (1) 判断， ， 三个向量是否共面； (2) 判断点M是否在平面ABC内． 【答案】（1）共面；（2）点M在平面ABC内 【分析】根据共面向量定理，只需证明存在实数x, y，使得＝x＋y. 【解析】(1) 因为＋＋＝3， 所以－＝(－)＋(－)， 所以＝＋＝－－， 所以向量， ， 共面． (2) 由(1)知向量， ， 共面，而它们有共同的起点M，且A, B, C三点不共线，所以点M, A, B, C共面，即点M在平面ABC内． 解决向量共面的策略： (1) 若已知点P在平面ABC内，则有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数． (2) 证明三个向量共面(或四点共面)，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将其中一个向量用另外两个向量表示. 【变式1】已知，，三点不共线，平面外一点，满足，证明，，共面． 【答案】证明见解析 【分析】根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理即可说明． 【解析】，，三个向量共面． 因为， 所以， 化简得，， 即， 即， 故，，三个向量共面． 【变式2】在四棱柱中，，．    (1)当时，试用表示； (2)证明：共面； 【答案】(1)；(2)证明见解析 【分析】（1）根据空间向量线性运算进行求解； （2）设（不为0），推导出，进而证明共面 【解析】（1）四棱柱中，， 因为， 所以 ； （2）设（不为0）， ， 则共面 题型04 利用共面向量定理证明线面平行 【典例1】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且，. 用向量方法证明：平面. 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，求得，，再结合向量的共面定理，得到共面，又平面，得平面. 【解析】因为在上，且， 所以. 同理. 所以 ， 又与不共线，则共面， 又平面，得平面. 利用共面向量定理解决线面平行的策略： 证明线面平行，可转化为证明线所在方向向量与平面内某一向量平行或两个不共线向量共面，且线不在该平面内． 【变式1】已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证： (1)E，F，G，H四点共面． (2)BD∥平面EFGH. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【分析】（1）根据题意，求得＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，再结合向量的共面定理，得到E，F，G，H四点共面，（2）＝－＝－＝，又BD⊄平面EFGH，易得BD∥平面EFGH. 【解析】证明　如图，连接EG，BG. (1)因为＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知向量，，共面，即E，F，G，H四点共面． (2)因为＝－＝－＝， 所以EH∥BD. 又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH， 所以BD∥平面EFGH. 【变式2】如图，四棱锥的底面是平行四边形，M是的中点，求证：平面． 【答案】证明见解析 【分析】连接交于，连接，得，利用线面平行的判定定理即可证得． 【解析】证明, 因为与不共线，所以与，共面， 又平面，所以平面． 【变式3】如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABC－A1B1C1中，D为AC的中点． 求证：AB1∥平面C1BD. 【答案】证明见解析 【解析】证明　记＝a，＝b，＝c， 则＝a＋c，＝－＝a－b，＝＋＝b＋c， 所以＋＝a＋c＝， 又与不共线， 所以，，共面． 又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1∥平面C1BD. 题型05 四点共面的判断与证明 【典例1】如图，已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取，，，由向量的线性运算得与、共面可得答案. 【解析】取，，， 则 所以与共面，又，， 所以与、共面， 所以四点共面． 将判断四点是否共面转化为空间向量是否共面．即要判断四点是否共面，可考察三个共起点的向量，， 是否共面． 【变式1】已知两个非零向量e1, e2不共线，如果＝e1＋e2, ＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A, B, C, D四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】由向量的线性运算＝(＋)，得， ，共面可得答案. 【解析】证明　因为＋＝5(e1＋e2)， 所以＝(＋)， 所以， ，共面且共起点， 即A, B, C, D四点共面． 【变式2】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：A1，B，N，M四点共面． 【答案】证明见解析 【分析】取＝a，＝b，＝c，由向量的线性运算得，，共面可得答案. 【解析】证明　设＝a，＝b，＝c，则＝b－a， ∵M为线段DD1的中点，∴＝c－a， 又∵AN∶NC＝2∶1，∴＝＝(b＋c)， ∴＝－＝(b＋c)－a＝(b－a)＋＝＋， ∴，，为共面向量． 又∵三向量有相同的起点A1， ∴A1，B，N，M四点共面． 【变式3】已知三点不共线，对于平面外的任意一点，判断在下列各条件下的点与点是否共面． (1)； (2)． 【答案】(1)共面；(2)不共面 【分析】（1）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； （2）根据空间向量的共面定理及推论，即可求解； 【解析】（1）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若， 即， 又因为，根据空间向量的共面定理，可得点与共面. （2）解：因为三点不共线，可得三点共面， 对于平面外的任意一点，若，此时， 根据空间向量的共面定理，可得点与不共面． 题型06 利用空间向量共面求参数 【典例1】已知，，不共面，若，，且三点共线，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】由，列出方程求解即可. 【解析】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 【变式1】已知，，，若，，三向量共面，则（　　） A．18 B． C． D．6 【答案】B 【分析】利用空间向量共面的条件建立方程，求解参数即可. 【解析】由题意知，即， 故有，，， 解得，故B正确. 故选：B. 【变式2】设为空间的一个基底，，，，若，，共面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量共面定理列方程，解方程组即可. 【解析】由已知，，共面， 则可设， 即， 即，解得， 故选：D. 【变式3】如图，在正四面体中，E为的中点，，，当时，四点共面，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可得，，运用空间向量的线性运算得到，代入，根据系数对应相等列方程组即可得到答案. 【解析】因为四点共面，所以存在唯一的，使得. 因为，所以， 因为E为的中点，， 所以，， 所以， ， ， 代入，得， 所以，解得. 故选：B． 题型07 共面向量定理的推论及应用 【典例1】已知点D在确定的平面内，是平面外任意一点，满足，且，，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由四点共面可知，结合基本不等式的乘“1”法即可求解. 【解析】, 因为四点共面，所以， 注意到，从而. 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故选：B. 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 【变式1】已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A．2 B．0 C． D．1 【答案】D 【分析】利用空间向量的共面定理的推论计算即可. 【解析】由题意可知四点共面，且， 则，所以实数的值为1. 故选：D 【变式2】已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则 ． 【答案】 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【解析】四点共面且任意三点不共线，， ，． 故答案为： 【变式3】如图，在正四棱台中， .直线与平面EFG交于点，则__________ 【答案】. 【分析】设，通过四点共面，即可求解. 【解析】依题意，，在四棱台中， ， 设，则四点共面， . 故答案为：. 【变式4】如图所示，若为平行四边形所在平面外一点，为棱上的点，且，点在上，且，若，，，四点共面，则实数的值是 . 【答案】 【分析】用表示，根据四点共面的向量表达关系，即可求得参数的值. 【解析】根据题意可得：， 又因为四点共面，故，解得. 故答案为：. 1．知，，是三个不共面的向量，则下列向量组中共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】对于ABCD中的各组向量均先假设其共面，从而依据共面定理得向量的线性组合和等量关系，进而根据向量相等其相应向量系数相等得到方程组，再根据方程组有解还是无解即可判断向量是否共面. 【解析】对于A，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故A不符合； 对于B，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故B不符合； 对于C，假设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 则，故，所以，，共面，故C符合题意； 对于D，设，，共面，则必有不全为0的实数，， 使得，又，，不共面， 所以，无解，所以，，不共面，故D不符合. 故选：C. 2．在下列条件中，使与一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间四点共面定理和向量共面定理，可以做出各选项的判断. 【解析】对于A，由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故A错误； 对于B，由于也是不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故B错误； 对于C，由于可得：，根据向量共面定理结合三向量又有公共点，可知四点一定共面，故C正确； 对于D，由于可得：，同样由于不满足右边式子的系数和为，所以四点不一定共面，故D错误； 故选：C. 3．平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足＝＋x＋y，＝2x＋＋y，则x＋3y等于（　　） A. B. C. D. 【答案】　B 【分析】利用空间向量的共面定理的推论计算即可. 【解析】　由点A，B，C，D共面得x＋y＝，① 又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝，② 联立①②，解得x＝，y＝， 所以x＋3y＝. 故选：B. 4．已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（　　） A．16 B．-13 C．3 D．-3 【答案】C 【分析】根据，结合，列出方程组，求解即可. 【解析】因为是不共面的空间向量且， 故，则， 解得，所以. 故选：C. 5．在三棱锥中，M是平面内一点，且，则（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【解析】因为， 所以，即， 又点M是平面内一点， 所以，解得. 故选：B 6．已知向量不共面，则使向量共面的实数x的值是（　　） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】利用向量共面得到线性表示，再化简求值即可. 【解析】因为共面，所以存在实数，使得，所以，解得. 故选：A. 7．（多选）已知不共面，则下列向量共面的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ACD 【分析】根据空间向量共面定理进行求解判断即可． 【解析】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意； 对于B，假设，，共面， 则，使得， 故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面； 故B不符合题意； 对于C，，故三个向量共面，故C符合题意； 对于D，，故三个向量共面，故D题意符合． 故选：ACD． 8．（多选）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即可. 【解析】A：，如下图，，    由的关系不定，则不一定在面上，满足； B：，如下图，此时满足上式，      此时，M与A，B，C不共面，满足； C：因为，所以，所以M，A，B，C共面，不满足. D：，如下图，      此时，M与A，B，C不共面，满足； 故选：ABD 9.（多选）如图，平行六面体的所有棱长均为2，，，两两所成夹角均为，点，分别在棱，上，且，，则（　　） A．，，，四点共面 B．在方向上的投影向量为 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】在上取点，使得，可得四边形、四边形为平行四边形，求出，可判断A；对两边平方求出，再由投影向量的定义可判断B；由的线性运算后再平方可判断C；由向量的夹角公式计算可判断D. 【解析】对于A，在上取点，使得，连接， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得， 因为，所以四边形为平行四边形， 可得，所以，可得，，，四点共面，故A正确； 对于B，因为平行六面体棱长均为2，、、两两所成夹角均为， 所以，则 ， 则， ，故B正确； 对于C，， ， 则，故C不正确； 对于D，故 ， 故直线与所成角的余弦值为，D正确. 故选：ABD. 10．已知为空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的值为________----- 【答案】 【分析】借助空间向量的线性运算及四点共面的充要条件即可判断选项. 【解析】因为为空间任意一点，， 又因为A，B，C，P满足任意三点不共线，但四点共面， 所以，解得． 故答案为： 11．已知长方体，，，M是的中点，点P满足，其中，，且平面，则动点P的轨迹所形成的轨迹长度是 . 【答案】 【分析】先构造和平面平行的截面，再根据空间向量共面确定点的轨迹形状，再求其长度. 【解析】如图所示，E，F，G，H，N分别为，，，DA，AB的中点，则，， 由面，面，则面， 同理可证面，，面， 所以面面，    所以动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部，又， 所以点在侧面，故的轨迹为线段， 因为，，所以. 故答案为： 12．在三棱锥中，与中点分别为，点为中点．若在上满足，在上满足，平面交于点，且，则 ． 【答案】 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【解析】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵点四点共面， ∴，解得. 故答案为：. 13．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【解析】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 14．如图，在底面ABCD为菱形的平行六面体中，M，N分别在棱上，且，且. (1)求证：共面； (2)当为何值时，. 【答案】(1)证明见解析；(2)当时， 【分析】（1）根据空间向量线性运算的几何表示可得，进而即得； （2）设，然后利用表示出，再利用向量的数量积为0可得答案. 【解析】（1）在平行六面体中，连接，如图， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面； （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， , 若，则，即， 所以， 即，又， 所以，即，所以， 即时，. 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $