6.1.1 空间向量的线性运算（教用word）-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦空间向量的线性运算核心知识点，系统梳理从平面向量到空间向量的推广过程，涵盖空间向量的概念（定义、几何表示及零向量等特殊向量）、线性运算（加减与数乘及运算律）、共线向量定理及应用，构建循序渐进的学习支架。 以滑翔伞运动受力情境引入，通过概念辨析、线性运算、共线定理应用等题型设计，结合例题解析与跟踪训练，培养数学抽象、逻辑推理和数学运算素养。课中助力教师高效授课，课后学生可通过练习巩固知识，查漏补缺，提升空间向量应用能力。

6.1.1　空间向量的线性运算 课标要求 1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念（数学抽象、直观想象）. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程（逻辑推理）. 3.掌握共线向量定理及其应用（数学抽象、数学运算）. 　　滑翔伞运动是一项极具观赏性、竞技性、娱乐性和刺激性的运动，而且是一种休闲娱乐型比赛项目，它风靡了世界各地.在滑翔过程中，飞行员会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等.显然，这些力不在同一个平面内. 【问题】　联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　空间向量的概念 1.定义：在空间，把像位移、力、速度、加速度这样既有　大小　又有　方向　的量，叫作空间向量. 2.几何表示法：空间向量用　有向线段　表示. 3.几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 规定长度为0的向量称为零向量记作0 单位向量 长度等于1个单位长度的向量，叫作单位向量 相反向量 与向量a长度相等，方向相反的向量，叫作a的相反向量，记作－a 相同的向量 　方向　相同，　长度　相等 知识点二　空间向量的线性运算 1.空间向量的线性运算 已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，＝c，与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为： ＝＋＝　a＋c　； ＝－＝　a－b　＝　－c　. 若P在直线OA上，则＝　λa　（λ∈R）. 2.空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律 （1）a＋b＝　b＋a　； （2）（a＋b）＋c＝　a＋（b＋c）　； （3）λ（a＋b）＝　λa＋λb　（λ∈R）. 【想一想】 1.由数乘λa＝0，可否得出λ＝0？ 提示：不能.λa＝0⇔λ＝0或a＝0. 2.λa的长度是a的长度的λ倍吗？ 提示：不是，应是｜λ｜倍. 知识点三　共线向量与共线向量定理 1.共线向量（平行向量）：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相　平行　或　重合　，那么这些向量叫作共线向量或平行向量.向量a与b平行，记作　a∥b　.规定零向量与　任意　向量共线. 2.共线向量定理：对空间任意两个向量a，b（a≠0），b与a共线的充要条件是存在实数λ，使　b＝λa　. 　　提醒：在共线向量定理中，要特别注意a≠0，若不加a≠0，则该充要性不一定成立.例如，若b≠0，a＝0，则a∥b，但λ不存在，该充要性也就不成立了. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）向量的长度与向量的长度相等.（　√　） （2）若A，B，C三点共线，则与共线.（　√　） （3）对于空间向量a，b，c，若a∥b且b∥c，则a∥c.（　×　） 2.化简－＋所得的结果是（　　） A. B. C.0 D. 解析：C　－＋＝＋－＝－＝0，故选C. 3.已知非零空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是（　　） A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D 解析：A　∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线. 题型一｜空间向量的概念辨析 【例1】　〔多选〕下列命题为真命题的是（　　） A.若空间向量a，b满足｜a｜＝｜b｜，则a＝b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，必有＝ C.若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p D.空间中任意两个单位向量必相等 解析：BC　A为假命题，根据相等向量的定义知，两向量相等，不仅模要相等，而且还要方向相同，而A中向量a与b的方向不一定相同；B为真命题，与的方向相同，模也相等，故＝；C为真命题，向量的相等满足传递性；D为假命题，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等.故选B、C. 通性通法 空间向量的概念辨析 　　在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等.两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反. 【跟踪训练】 如图所示，以长方体ABCD-A1B1C1D1的八个顶点中的两点为始点和终点的向量中： （1）试写出与是相等向量的所有向量； （2）试写出的相反向量. 解：（1）与向量是相等向量（除它自身之外）的有，，，共3个. （2）向量的相反向量为，，，. 题型二｜空间向量的线性运算 【例2】　（链接教科书第6页例1）已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量： （1）＋＋； （2）－＋； （3）＋＋（－）. 解：（1）＋＋＝＋＋＝. （2）－＋＝－（－）＝－＝. （3）＋＋（－） ＝＋（＋） ＝＋. 设M是线段CB'的中点， 则＋＋（－） ＝＋＝. 向量，，如图所示. 通性通法 解决空间向量线性运算问题的方法 　　进行向量的线性运算，实质上是在正确运用向量的数乘运算及运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和.运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中. 【跟踪训练】 1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱CC1的中点.若＝a，＝b，＝c，则＝（　　） A.a＋b＋c B.a－b＋c C.a＋b＋c D.a－b＋c 解析：A　由题意得＝，＝，所以＝＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.故选A. 2.已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，点P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心，Q是边CD的中点，若＝＋x＋y，则x＝－，y＝－. 解析：画出如图所示图形，∵＝－＝－（＋）＝－－，∴x＝y＝－. 题型三｜共线向量定理 【例3】　（链接教科书第7页例2）如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，求证：CE∥MN. 证明：法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝＋＋ ＝＋＋.　① 又∵＝＋＋＋ ＝－＋－－，　② ①＋②得2＝，∴∥. 又直线CE与MN不重合，∴CE∥MN. 法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴＝－ ＝（＋）－ ＝（＋）－（＋） ＝（－）＝（－）＝. ∴∥. 又直线CE与MN不重合，∴CE∥MN. 通性通法 1.判断两个非零向量共线的方法 判断或证明两向量a，b（b≠0）共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达. 2.证明空间三点P，A，B共线的方法 （1）＝λ（λ∈R）； （2）对空间任一点O，＝＋t（t∈R）； （3）对空间任一点O，＝x＋y（x＋y＝1）. 【跟踪训练】 1.若空间非零向量e1，e2不共线，则使2ke1－e2与e1＋2（k＋1）e2共线的k的值为－. 解析：由题意知，存在实数λ使得2ke1－e2＝λ[e1＋2（k＋1）e2]，又e1与e2不共线，所以 解得 2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线. 证明：设＝a，＝b，＝c， 因为＝2，＝， 所以＝，＝， 所以＝＝b， ＝（－）＝（＋－） ＝a＋b－c， 所以＝－＝a－b－c ＝. 又＝＋＋＝－b－c＋a ＝a－b－c， 所以＝，又EF，EB有公共点E，所以E，F，B三点共线. 1.空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　＋－＝＋＝－＝. 2.〔多选〕下列说法正确的是（　　） A.若｜a｜＜｜b｜，则a＜b B.若a，b为相反向量，则a＋b＝0 C.对于空间内任意一个向量a，存在λ∈R，使得λa＝0 D.在四边形ABCD中，－＝ 解析：CD　向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；对于任意一个向量a，存在实数λ＝0，使得0·a＝0，C正确；由向量的减法法则，D正确. 3.设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k的值是（　　） A.1　　　　B.2 C.3　　　　D.4 解析：A　∵＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，∴＝＋＝（5e1＋4e2）＋（e1＋2e2）＝6e1＋6e2. ∵A，B，D三点共线，∴＝λ，∴e1＋ke2＝λ（6e1＋6e2）.∵e1，e2是不共线向量，∴∴k＝1. 4.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD.若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为0. 解析：如图，取BC的中点F，连接DF，则＝.故＋－－＝＋－＋＝＋＋＋＝0. 1.化简（－）－（－）的结果是（　　） A.0　　　 B. C.　　　 D. 解析：A　原式＝＋＋＋＝＋＋＝＋＝0. 2.向量a，b互为相反向量，已知｜b｜＝3，则下列结论正确的是（　　） A.a＝b B.a＋b为实数0 C.a与b方向相同 D.｜a｜＝3 解析：D　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D. 3.如图，在四面体ABCD中，设E，F分别是BC，CD的中点，则＋（－）＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　因为－＝，（－）＝＝，所以＋（－）＝＋＝.故选C. 4.如果向量，，满足｜｜＝｜｜＋｜｜，那么下列判断正确的是（　　） A.＝＋ B.＝－－ C.与同向 D.与同向 解析：D　∵｜｜＝｜｜＋｜｜，∴A，B，C共线且点C在AB之间，即与同向.故选D. 5.〔多选〕下列命题是真命题的是（　　） A.若点A，B，C，D在一条直线上，则与是共线向量 B.若点A，B，C，D不在一条直线上，则与一定不是共线向量 C.若与是共线向量，则点A，B，C，D一定在一条直线上 D.若与是共线向量，则点A，B，C一定在一条直线上 解析：AD　对选项A，由点A，B，C，D在一条直线上，可得，的方向相同或相反，所以与一定是共线向量，故A为真命题；对选项B，由点A，B，C，D不在一条直线上，则，的方向不确定，所以不能判断与是否为共线向量，故B为假命题；对选项C，，两向量所在的直线是否有公共点不确定，所以四点不一定在同一条直线上，故C为假命题；对选项D，由，两向量所在的直线至少有一个公共点A，且与是共线向量，所以三点一定共线，故D为真命题.故选A、D. 6.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的是（　　） A.（－）－ B.（＋）－ C.（－）＋ D.（－）－ 解析：ABC　对于选项A，（－）－＝－＝；对于选项B，（＋）－＝＋＝；对于选项C，（－）＋＝＋＝；对于选项D，（－）－＝（－）－＝＋＝，故选A、B、C. 7.如图所示，在三棱柱ABC-A'B'C'中，与是相等向量，与是相反向量.（用相等、相反填空） 解析：由相等向量与相反向量的定义知：与是相等向量，与是相反向量. 8.设e1，e2是不共线的空间向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为－8. 解析：因为＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，且e1与e2不共线，故由向量共线的充要条件得＝，所以k＝－8. 9.已知四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD的形状是平行四边形. 解析：由已知可得＝，由相等向量的定义可知，四边形ABCD的一组对边平行且相等，所以四边形ABCD是平行四边形. 10.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点.化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量. （1）＋； （2）＋＋； （3）－－. 解：（1）＋＝. （2）因为M是BB1的中点， 所以＝＝. 所以＋＋＝＋＝. （3）－－＝－＝. 向量，，如图所示. 11.在四面体O-ABC中，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点.若＝＋＋，则使G，M，N三点共线的x的值是（　　） A.1　　 　B.2 C.　　 　D. 解析：A　由题意得＝（＋），＝，所以＝·＋·2＝＋.因为G，M，N三点共线，所以设＝λ，即－＝λ（－），即＝（1＋λ）·－λ，所以解得 12.〔多选〕如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点，若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与共线的向量是（　　） A.－a＋b＋c B.a＋b＋c C.a－b－c D.－a－b＋c 解析：AC　因为＝＋＝＋（＋）＝c＋（－a＋b）＝－a＋b＋c，a－b－c＝－（－a＋b＋c），所以与共线的向量是－a＋b＋c和a－b－c. 13.设G为△ABC的重心，O为△ABC所在平面外一点，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示＝（a＋b＋c）. 解析：如图所示.∵＝＋（D为BC边的中点），＝（＋）＝（b＋c），＝＝＝－[（b－a）＋（c－a）]＝－（b＋c）＋a，∴＝（b＋c）－（b＋c）＋a＝（a＋b＋c）. 14.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M是对角线AC1的中点，化简下列表达式： （1）＋＋； （2）＋－. 解：（1）＋＋＝＋＝. （2）＋－＝（＋）－＝－＝＋＝＋＝＝. 15.如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且＝，＝.求证：四边形EFGH是梯形. 证明：∵E，H分别是AB，AD的中点， ∴＝，＝， 则＝－＝－＝ ＝（－）＝ ＝（－）＝， ∴∥且｜｜＝｜｜≠｜｜. 又点F不在直线EH上， ∴四边形EFGH是梯形. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $