空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义-2025-2026学年高二数学苏教版选择性必修第二册

空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 讲义 考点目录 用基底表示向量 空间向量的数量积 空间向量的坐标运算 考点一 用基底表示向量 【知识点解析】 1. 用基底表示向量解题步骤 （1）选定基底 （2）把目标向量从 “中点、分点、交点” 拆开（原则：永远往已知的边、已知基底上拆。） （3）全部换成基底表示 （4）合并同类项，写成标准形式 【例题分析】 例1．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二上·山东泰安·期末）已知在三棱锥中，，点在线段上，且，点为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·四川南充·期末）如图，在平行六面体中，与交于点．设，则等于（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·四川达州·期末）在正四棱锥中，E为的中点，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高二上·安徽·月考）在三棱柱中，，分别是线段，上靠近，的三等分点，则（   ） A． B． C． D． 考点二 空间向量的数量积 【知识点解析】 1. 平面向量的数量积 考点 知识点 定义 （为与的夹角，夹角必须有公共起点） 计算 ①若已知、和，则直接用定义计算. ②若、和存在未知量，则需利用线性运算进行替换. ③建立空间直角坐标系，用坐标进行计算 性质 ①若，则. ②，即. 夹角问题 . 投影与投影向量 ①在上的投影为. ②在上的投影向量为. 锐角与钝角问题 ①若与所成之角为锐角，则且与不共线 ②若与所成之角为钝角，则且与不共线. 【例题分析】 例1．（25-26高二上·广东·期末）在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 例2．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二上·四川遂宁·期中）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱.若二面角的平面角为，且，则 . 例4．（25-26高二上·广东中山·月考）在平行六面体中，，则    例5．（25-26高二上·河北石家庄·月考）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·河北唐山·期末）三棱锥的所有棱长都为分别是的中点，则（　　） A．-1 B．1 C．-2 D．2 变式2．（25-26高二上·北京朝阳·期末）如图，在正三棱柱中，，，则（   ） A． B． C．0 D．1 变式3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）如图所示，平面与平面相互垂直，，，，，.向量与夹角的余弦值为 .    变式4．（25-26高二上·广东深圳·月考）如图在平行六面体中，，，，则的长是 ．    变式5．（25-26高二上·新疆·月考）如图，在平行六面体中，，，，，是的中点，设，，． (1)试用，，表示向量，并求向量的长度； (2)求； (3)求异面直线与所成角的余弦值． 考点三 空间向量的坐标运算 【知识点解析】 1. 平面向量的坐标运算 考点 知识点 向量的坐标表示 在平面直角坐标系中，已知点，， 则. 向量的坐标运算 设，. ①向量加法：. ②向量减法：. ③向量数乘：. ④向量数量积：. ⑤向量平行：. ⑥向量垂直：. ⑦向量的模：. ⑧夹角问题： 投影与投影向量 ①在上的投影为. ②在上的投影向量为. 注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系． 【例题分析】 例1．（25-26高二上·陕西渭南·期末·多选）在空间直角坐标系中，．则下列结论正确的是（   ） A． B．与向量平行且长度为1的单位向量为或 C．向量在向量上的投影向量的坐标为 D．与的夹角的余弦值为 例2．（25-26高二上·湖南邵阳·期末·多选）已知空间向量，，则（   ） A． B．在上的投影向量为 C．若向量，则点E在平面ABC内 D．向量是与平行的一个单位向量 例3．（25-26高二上·贵州毕节·月考·多选）已知向量，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 例4．（25-26高二上·安徽·期末·多选）已知空间向量，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·福建三明·期末·多选）已知向量，，，则（   ） A． B． C．向量，的夹角为 D．向量在向量上的投影向量为 变式2．（25-26高二上·山东淄博·期中·多选）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A、B两点间距离为 变式3．（25-26高二上·吉林四平·期末·多选）已知向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高二上·福建厦门·月考·多选）已知空间向量，，则（   ） A． B． C．在上的投影向量为 D．向量是与平行的一个单位向量 2 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算 讲义 考点目录 用基底表示向量 空间向量的数量积 空间向量的坐标运算 考点一 用基底表示向量 【知识点解析】 1.用基底表示向量解题步骤 (1)选定基底 (2)把目标向量从“中点、分点、交点”拆开（原则：永远往已知的边、已知基底上拆。） (3)全部换成基底表示 (4)合并同类项，写成标准形式 【例题分析】 例1.(25-26高二上湖北黄冈期末)在四面体0-ABC中，设O1=口，0丽=五，0C=C,M为4B的中点，则 MC=() A.ag.++d 2 2 C.a+b+c D.a-b-c 【答案】A 【详解】由已知， Mc=M0+0c=M+a0+0c-)+A0+0c-80+0-Oi+0c =--0B+0c=-a 1 故选：A 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 0 例2.(2526商二上山东素安期未)已知在三棱锥P-48C中，PA=āPB=6,PC=C,点D在线段P1上，且 P历Pi,点E为线段C的中点，则D正=《） a+6+ A.4 -3a++ 2 2 B. 4 2 2 1 1÷1 C.-4a+2b-2 D.-4a-2b-2 【答案】B 【详解】因为点E为线段BC的中点，所以P所-历+C-6+ 因此D正=PE-PD=b+c-3a 3 1 2 2-4 = 2 故选：B 例3.(25-26商二上广东羯阳期末)如图，在平行六面体16CD-A8CD中，M为4C和BD的交点，若 B=a,D=i,M=c,则M而等于() D B 1_1b+c A.-22 .a la+1B-c B.2 2 C.-za+zb+c D.- 1-1b+c -a- 2 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 【答案】C 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：MD=MD+DD=BD+DD 而-丽+0m=号丽+而+=++ 故选：C 【变式训练】 变式1.(25-26高二上·四川南充期末)如图，在平行六面体 BCD-ABCD中，AC与BD交于点M.设 4A=a,48=i4d=c,则BM 等于() D B D -11- A.-a-2b+29 n.- 2 11b+c 1.1- c.20-2 D.4-26+zc 【答案】D 【详解】在平行六面体1BCD-4BCD中，Ad=a,48=五，A0=C 由ABCD为平行四边形，AC与BD交于点M, 所以M为AC与BD的中点， 所以8M=AB+BW=BB+BD =8+而-丽=44+40-4到 =a+-列-a-+5, 1- 22 故选：D. 变式2.(25-26高二上四川达州期末)在正四棱锥P-ABCD中，E为PC的中点，则1E=() 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 A B4 A丽+而兮严 B.方孤50+0 C.AB+AD+AP AB+AD+AP列 D.21 【答案】D 【详解】征=c+P丽+而例+亚丽+而+例。 2 故选：D 变式3.(25-26高二上安徽月考)在三棱柱1 BC-ABC中，M,N分别是线段BB,AC上整近8,4的三 等分点，则4A=() B. 2 c.西c N-34B+14C 2 3 D.2 2 【答案】A 【详解】 C A B M 分别是线段，上靠近， 的三等分点， B·MN BB AC :丽=8-号，-C MB+BN=MN .BN =MN-MB 又：B+m=,BN=N-AB=4C-B, 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 号C-丽=瓜-师，即丽=瓜C+丽 和-项c弧+丽-不，我A 故选：A. 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 考点二 空间向量的数量积 【知识点解析】 1.平面向量的数量积 考点 知识点 定义 a-五--同c0s日0为4与5的夹角，夹角必须有公共起点） #Espres5 ion is fou1y#若已知同、月和0，则直接用定文计算 计算 华Expression is faulty*若园 和日存在未知量，则需利用线性运算进行 *Expression is faulty*建立空间直角坐标系，用坐标进行计算 *Expression is faulty*若a⊥方，则a:b=0 性质 *Expression is faulty* a-a-月问ecos0=问问，即=d 夹角问题 cos(. a-6 网 -c0s0=a-6 投影与投影向量 *Expression is faultv*a在b上的投影为 acos0. ba·bb *Expression is faulty林a在b上的投影向量为 国 *Expression is faulty*若a与b所成之角为锐角，则a~b>0且a与b不共 锐角与钝角问题 *Expression is faulty*若a与b所成之角为钝角，则a-万<0且a与b不共 【例题分析】 创1，(25-26高二上广东期末》在棱长为1的正方体4BCD-4BCD中，孤BC的值为《) A.1 B.-1 C.2 D.-2 6 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 【答案】A 【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系， 个D C B B A1,0,0)B(1,1,0)B,(1,1,1C(0,1,1 .AB=(0,1,1),BC=(-1,0,1 AB·BC=(0,1,1(-1,0,1=1 故选：A. P-ABC E,F BC.PC 例2.(25-26高二上四川成都期末)在正四面体 中，点 分别是线段 的中点，则 cos(PE,AF）=() A 1 B.3 C.6 D.6 【答案】C 【详解】设P-ABC的棱长为2， PM=2a,PB=26,PC=2,E,F分别是BC,PC的中点， B 则同=同=-l,a6.c夹角为行，所以a6=ac=6c=1x1x; 221 PE=B+C.AF=6-2d,PE.AF=(B+d)(c-2a)=6.c-2a.B+22-2a.c=-1 2 > 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 又APBC,A4C为边长为2的等边三角形，P阿=A厅=V3,.cosPE,4F）二PEA而6 故选：C. -1-B A,B 例3.(25-26高二上四川遂宁·期中)如图，二面角 的棱上有两个点1,6，线段BD与1C 分别在这个二 面角两个面内，并且都垂直于棱若二面角a-1-B的平面角为3，且AC=2AB=6,BD=5,则CD= B 【答案】2w10 【详解】由条件知CAB=0,B.8D=0CD=CA+花+BD 又二面角a-1-B的平面角为}，则BD,AC= 3, 所以CD=CA+AE+BD+2Ca.AB+2ABBD+2CA.8D =6+3+52x6x5cos}40，所以lCm=2 故答案为： 210 例4.(25-26高二上广东中山月考)在平行六面体 BCD-4BCD中，AB=4D=3, AA=5,∠BAA=∠DA4=60°，∠BAD=90°，」 D A 【答案】 V85 P 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 【详解】因为 AC=AB+AD+A4 所以4G=B+D+4, =AB+AD+A4+2AB.AD+2AA·AB+2ADAA」 =42+32+52+2×4×3×c0s90°+2×5×4×c0s60°+2×3×5×c0s60°， =85, 所以C8树 V85 故答案为： 例5.(25-26高二上河北石家庄月考)如图，在三棱柱 BC-4B,G中，底面边长和侧棱长都等于2， ∠BM1=∠CM4=60心，M为BC的中点，N为线段48上靠近的三等分点 M B\ C B 0)设B=a,4C=6,=C,试用向量a,6,C表示瓜。 (2)求线段MN的长度 1-1- 【答案】()MN=-a-b+c: 62 5 (2)3 【详解】(1)因为M为8C的中点，N为线段4A上靠近的三等分点， 所以=+，4N-写4-孤， 所以颁=N-A=a4+4N- 9 空间向量与立体几何：用基底表示向量、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算讲义 =瓜+66+40=君0-号4c+=名-6+ ∠BA4=∠CAA=60°， (2)因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以ab=ac=bc=2×2×。=2, 2 V36 +5+e+5-e 6 ×4+二×4+4+二×2-2-二×2 V36 4 6 +1+4 12 25 33. 【变式训练】 变式1.(25-26高二上河北唐山期末)三棱锥 A-BCD 的所有棱长都为 F分别是B,D的中点，则 ,E,F EF.C8=() A.-1 B.1 C.-2 D.2 【答案】A 【详解】 E 分别是 的中点， 且 ,即 E,F EF= EF=-BD AB,AD .EF∥BD 又：三棱锥A-BCD的所有棱长都为2，.任意两条棱的夹角为60°， :F.C6-}D.西-}0ces而.西-x2x2xos120=-, 故选：A 变式2.(25-26高二上北京朝阳期未)如图，在正三棱柱4BC-ABG中，AC=2,44=1,则瓜BC= 10