11.3.3 平面与平面平行 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．若平面α∥平面β，l⊂α，则l与β的位置关系是　(　　) A．l与β相交 B．l与β平行 C．l在β内 D．无法判定 解析：选B.因为α∥β，所以α与β无公共点． 因为l⊂α，所以l与β无公共点，所以l∥β. 2.如图，D，E，F分别为三棱锥S-ABC的棱SA，SB，SC的中点，则下列说法错误的是(　　) A．DE∥平面ABC B．EF∥平面ABC C．平面DEF∥平面ABC D．SA∥BC 解析：选D.对于A，DE∥AB，DE⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，则DE∥平面ABC，A正确；同理B也正确；对于C，由A，B选项及DE∩EF＝E，DE，EF⊂平面DEF，得平面DEF∥平面ABC，C正确；对于D，由三棱锥的结构知SA与BC为异面直线，不平行，D错误． 3．若平面α∥平面β，点A，C∈α，B，D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是(　　) A．AB∥CD B．AD∥CB C．AB与CD相交 D．A，B，C，D四点共面 解析：选D.当A，B，C，D四点共面时，由平面与平面平行的性质知AC∥BD，充分性成立；当AC∥BD时，由推论3可知，A，B，C，D四点共面，必要性成立．故选D. 4．(2025·大连月考)已知P为△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，且α交线段PA，PB，PC分别于点A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝(　　) A.2∶3 B．2∶5 C．4∶9 D．4∶25 解析：选D.因为平面α∥平面ABC，平面PAB∩平面α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB， 所以A′B′∥AB，同理可得A′C′∥AC，B′C′∥BC， 又PA′∶AA′＝2∶3，所以PA′∶PA＝2∶5， 所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25. 5.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为(　　) A．1 B．1.5 C．2 D．3 解析：选A.平面α∥平面BC1E，平面α∩平面AA1B1B＝A1F，平面BC1E∩平面AA1B1B＝BE，所以A1F∥BE，又A1E∥FB， 所以四边形A1FBE为平行四边形， 所以FB＝A1E＝3－1＝2，所以AF＝1. 6．(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有(　　) A．F为AA1的中点 B．F为BB1的中点 C．F为CC1的中点 D．F为A1D1的中点 解析：选ACD.如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，C1D1，A1D1，AA1的中点，易证E与M，G，H，I，J共面．因为EM∥AC，AC⊂平面ACD1，EM⊄平面ACD1，所以EM∥平面ACD1.同理可得EJ∥平面ACD1.而EM，EJ是平面EMGHIJ内的相交直线，则平面EMGHIJ∥平面ACD1，所以要使EF∥平面ACD1，则F∈平面EMGHIJ，观察各选项，A，C，D满足题意． 7．点P是平面α外一点，过点P且平行于平面α的平面有________ 个． 解析：假设过点P且平行于平面α的平面有两个，分别为β，γ， 则由面面平行的性质知β∥γ，又β，γ都过P点，故β，γ重合， 所以过点P且平行于平面α的平面只有一个． 答案：1 8．如图，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1是一个平行四边形，则四边形ABCD的形状一定是______________． 解析：由于平面ABCD∥平面α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB， 所以AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1， 又A1B1∥C1D1，所以AB∥CD，同理可证AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形． 答案：平行四边形 9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M，交BC于点N，则＝__________． 解析：由平面MNE∥平面ACB1，及面面平行的性质定理可得EN∥B1C，EM∥B1A，又因为E为BB1的中点，所以M，N分别为AB，BC的中点，所以MN＝AC，即＝. 答案： 10．(13分)(2025·日照期末)已知，点P是△ABC所在平面外一点，点A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心． (1)求证：平面A′B′C′∥平面ABC；(6分) (2)求A′B′∶AB的值．(7分) 解：(1)证明：如图，连接PA′并延长交BC于点M，连接PB′并延长交AC于点N， 连接PC′并延长交AB于点Q，连接MN，NQ. 因为A′，B′，C′分别是△PBC，△PAC，△PAB的重心，所以M，N，Q分别是△ABC的边BC，AC，AB的中点， 且＝＝＝2， 所以A′B′∥MN，B′C′ ∥NQ. 又MN⊂平面ABC，A′B′⊄平面ABC， 所以A′B′∥平面ABC. 同理B′C′∥平面ABC. 又因为A′B′∩B′C′＝B′，A′B′，B′C′⊂平面A′B′C′，所以平面A′B′C′∥平面ABC. (2)由(1)知A′B′∥MN，且＝＝，即A′B′＝MN. 因为M，N分别是BC，AC的中点，所以MN＝AB. 所以A′B′＝MN＝×AB＝AB， 所以＝，即A′B′∶AB的值为. 11．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是(　　) A．n是直线且n⊂α，n∥β B．n，m是异面直线且n∥β C．n，m是相交直线且n⊂α，n∥β D．n，m是平行直线且n⊂α，n∥β 解析：选C.要使α∥β成立，需要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n⊂α，n∥β，m⊂α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C. 12．(多选)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知点G，H分别在A1B1，A1C1上，且GH经过△A1B1C1的重心，点E，F分别是AB，AC的中点，且平面A1EF∥平面BCHG，则下列结论正确的是(　　) A．EF∥GH　 　 B．GH∥平面A1EF C．＝ D．平面A1EF∥平面BCC1B1 解析：选ABC.由E，F分别是AB，AC的中点可知EF∥BC，＝.在三棱柱ABC-A1B1C1中，平面A1B1C1∥平面ABC，由两个平面平行的性质定理可得GH∥BC，因为BC綉B1C1，所以GH∥B1C1，又GH经过△A1B1C1的重心，所以＝，所以＝，且EF∥GH，GH⊄平面A1EF，EF⊂平面A1EF，所以GH∥平面A1EF.因为A1B1∥BE且BE＜A1B1，所以直线A1E与BB1有交点，所以平面A1EF与平面BCC1B1相交．故A，B，C正确，D错误． 13.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，则该截面的面积为________． 解析：如图所示，取AB的中点M，取C1D1的中点N，连接A1M，A1N，CM，CN. 由于A1N∥PC1∥MC，A1N＝PC1＝MC，且A1M＝A1N，所以四边形A1MCN是菱形． 又因为A1N∥PC1，A1N⊄平面PBC1，PC1⊂平面PBC1，则A1N∥平面PBC1. 同理A1M∥平面PBC1，又A1M∩A1N＝A1，A1M，A1N⊂平面A1MCN，所以平面A1MCN∥平面PBC1.而过A1有且只有一个平面与平面PBC1平行，故过点A1作与截面PBC1平行的截面是菱形A1MCN.又因为菱形A1MCN的两条对角线的长分别为2，2，所以该截面的面积是×2×2＝2. 答案：2 14．(13分)如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱A1B1，A1D1 的中点，在图中画出过底面ABCD的中心O且与平面AMN平行的平面在正方体中的截面，并求出截面多边形的周长． 解：如图，分别取E，F为棱B1C1，C1D1的中点，连接EF，B1D1，DE，BE，DF，EN，则EF∥B1D1∥MN， 又BD∥B1D1， 所以EF∥BD，则E，F，B，D四点共面． 又EF＝B1D1＝BD，所以四边形DBEF为梯形． 又AB綉A1B1，则EN綉AB，所以四边形ABEN是平行四边形，所以AN∥BE. 因为AN⊂平面AMN，BE⊄平面AMN，所以BE∥平面AMN.同理，EF∥平面AMN. 因为BE，EF⊂平面DBEF，EF∩BE＝E，所以平面DBEF∥平面AMN. 所以平面DBEF即为所求截面． 由题意知，BD＝2，EF＝，EB＝＝，同理，DF＝，所以截面四边形DBEF的周长为3＋2. 15．(15分)(2025·东营期末)如图1，在梯形PBCD中，BC∥PD，PD＝2BC，A是PD的中点，现将△ABP沿AB折起得图2，点M是PD的中点，点N是BC的中点，连接MN. (1)求证：MN∥平面PAB；(6分) (2)在线段PC上是否存在一点E，使得平面EMN∥平面PAB？若存在，请指出点E的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．(9分) 解：(1)证明：取PA的中点Q，连接MQ，BQ， 因为M，Q分别为PD，PA的中点， 所以MQ∥AD，MQ＝AD， 又因为N为BC的中点， 所以BN∥AD，BN＝AD. 所以MQ∥BN，MQ＝BN， 所以四边形MNBQ为平行四边形，所以MN∥BQ， 又因为MN⊄平面PAB，BQ⊂平面PAB， 所以MN∥平面PAB. (2)存在点E，当E为PC的中点时，平面EMN∥平面PAB. 证明如下：在题图1中，因为A是PD的中点，BC∥PD，PD＝2BC， 所以BC∥AD且BC＝AD， 所以四边形ABCD是平行四边形，所以AB∥CD. 因为E，M分别为PC，PD的中点，所以EM∥CD， 所以EM∥AB， 因为AB⊂平面PAB，EM⊄平面PAB，所以EM∥平面PAB， 同理可知EN∥平面PAB，又因为EM∩EN＝E，EM，EN⊂平面EMN，所以平面EMN∥平面PAB. 学科网（北京）股份有限公司 $