11.3.3 平面与平面平行(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．下列命题中正确的是(　　) ①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③若一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． A．①③　 　 B．②　 　 C．②③　 　 D．③ 解析　①②中两个平面还可以相交，故①②错误；由两个平面平行的定义，知③正确．故选D. 答案　D 2．(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　) A．存在一条直线a，a∥α，a∥β B．存在一条直线a，a⊂α，a∥β C．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γ D．存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α 解析　对于选项A，若存在一条直线a，a∥α，a∥β，则α∥β或α与β相交．若α∥β，则存在一条直线a，使得a∥α，a∥β，所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件；同理，选项B的内容也是α∥β的一个必要条件而不是充分条件；对于选项C，平行于同一个平面的两个平面显然是平行的，故选项C的内容是α∥β的一个充分条件；对于选项D，可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面中，成为相交直线，则有α∥β，所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件．故选CD. 答案　CD 3．(2024·甘肃兰州高一期末)平面α内两条直线m，n都平行于平面β，则α与β的关系是(　　 ) A．平行　　　　　 B．相交 C．重合 D．不确定 解析　若直线m与直线n为相交直线，根据平面与平面平行的判定定理可得α∥β， 若m∥n，如图：可能α∥β，也可能α与β相交． 答案　D 4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(　　) A．矩形 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形 解析　因为平面和左右两个平行侧面分别交于ED1，BF，所以ED1∥BF，同理D1F∥EB，所以四边形D1EBF是平行四边形． 答案　C 5．(2024·福建泉州高一期中)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为3，点M在正方体内部运动(包括表面)，且BM∥平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积为________． 解析　因为平面BA1C1∥平面ACD1， 点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM∥平面AD1C， 所以点M的轨迹是△A1C1B及其内部， 所以△A1BC1的面积为S△A1BC1＝(3)2·sin＝. 答案　 6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______． 解析　因为平面ABFE∥平面CDHG， 又平面EFGH∩平面ABFE＝EF， 平面EFGH∩平面CDHG＝HG， 所以EF∥HG. 同理EH∥FG， 所以四边形EFGH的形状是平行四边形． 答案　平行四边形 7．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于M，交BC与N，则MN＝________AC． 解析　∵平面MNE∥平面ACB1, 平面ABB1A1∩平面MNE＝ME，平面ABB1A1∩平面ACB1＝AB1， 平面CBB1C1∩平面MNE＝NE，平面CBB1C1∩平面ACB1＝CB1， ∴ME∥AB1，NE∥CB1. ∵BE＝EB1，∴AM＝MB，BN＝NC． ∴MN∥AC，MN＝AC． 答案　 8．如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AD∥BC，平面A1DCE与BB1交于点E.求证：EC∥A1D. 证明　由四棱柱ABCDA1B1C1D1可知，BE∥AA1，AA1⊂平面AA1D，BE⊄平面AA1D， 所以BE∥平面AA1D； 又AD∥BC，AD⊂平面AA1D，BC⊄平面AA1D， 所以BC∥平面AA1D； 又BC∩BE＝B，BE⊂平面BCE，BC⊂平面BCE， 所以平面BCE∥平面AA1D， 又平面A1DCE∩平面BCE＝EC，平面A1DCE∩平面AA1D＝A1D， 所以EC∥A1D. [关键能力·综合提升] 9．如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是(　　) A．相似但不全等的三角形 B．全等三角形 C．面积相等的不全等三角形 D．以上结论都不对 解析　由题意知AA′∥BB′∥CC′，α∥β， 所以平面AA′C′C∩α＝AC，平面AA′C′C∩β＝A′C′， 由面面平行的性质定理，得AC∥A′C′， 则四边形ACC′A′为平行四边形，∴AC＝A′C′. 同理BC＝B′C′，AB＝A′B′， ∴△ABC≌△A′B′C′. 答案　B 10．(多选题)如图，棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，A1E＝2EA，设过点D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF，则(　　) A．EF∥D1C B．EF＝a C．CF＝a D．三棱锥AEFC的体积为a3 解析　因为正方体中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，平面ABB1A1∩平面EFCD1＝EF，平面CDD1C1∩平面EFCD1＝CD1，根据面面平行的性质可得EF∥D1C，故A正确；故EF＝A1B＝a，CF＝＝a，故BC错误；VAEFC＝VEAFC＝×a××a×a＝a3，故D正确． 答案　AD 11．已知三棱锥P­ABC，D，E，F分别是棱PA，PB，PC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________． 解析　根据中位线的性质易判定直线与平面的平行关系，进而判定两平面平行． 答案　平行 12．如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1棱长为3，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝1，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________. 解析　因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABCD∩平面PQNM＝PQ， 平面A1B1C1D1∩平面PQNM＝MN， 所以MN∥PQ， 又因为MN∥AC，所以PQ∥AC． 又因为AP＝1，所以＝＝＝， 所以PQ＝AC＝×3＝2. 答案　2 13.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三等分点． (1)若N是PD上的点，MN∥平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明． (2)在PB上是否存在一点Q，使AQ∥平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由． 解析　(1)MN∥BC，理由如下． 因为MN∥平面ABCD，MN⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴MN∥AD. 又因为BC∥AD，∴MN∥BC． (2)当Q是PB的中点时，AQ∥平面BDE成立，理由如下． 取PE的中点F，连接QF，又Q为PB的中点，∴QF∥BE.∵QF⊄平面BDE，BE⊂平面BDE，∴QF∥平面BDE， 连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，又E是PC靠近C的一个三等分点， ∴E为CF的中点，∴OE∥AF， ∵AF⊄平面BDE，OE⊂平面BDE， ∴AF∥平面BDE， 又QF∩AF＝F，∴平面AQF∥平面BDE， ∵AQ⊂平面AQF，∴AQ∥平面BDE. [核心价值·探索创新] 14．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱BC的中点，F是侧面B1BCC1内的动点，若A1F∥平面AD1E，则点F轨迹的长度为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．2 解析　如图所示， 取BB1中点M，B1C1中点N，连接MN， 因为MN∥BC1，BC1∥AD1， 所以MN∥AD1， MN⊄平面AD1E，AD1⊂平面AD1E， 所以MN∥平面AD1E， 同理可证明A1N∥平面AD1E， 又因为MN∩A1N＝N，MN，A1N⊂平面A1MN， 所以平面A1MN∥平面AD1E， 当F的轨迹为线段MN时，此时A1F⊂平面A1MN，则有A1F∥平面AD1E， 此时MN＝BC1＝×2＝. 答案　B 15.如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA＝4，BC＝6，与PA，BC都平行的截面四边形EFGH的周长为l，试确定l的取值范围． 解析　∵PA∥平面EFGH，PA⊂平面PAB，平面PAB∩平面EFGH＝EH，∴AP∥EH， 同理，AP∥FG，BC∥EF，BC∥HG， ∴EH∥FG，EF∥HG， ∴四边形EFGH为平行四边形． ∵EF∥BC，∴＝，∴EF＝， 又FG∥AP，EH∥AP，∴＝，＝. 又FG＝HE，∴FG＝. ∴四边形EFGH的周长l＝2(EF＋FG) ＝ ＝＝＝8＋. ∵0<<1，∴8<l<12. 学科网（北京）股份有限公司 $$