11.1.6 祖暅原理与几何体的体积 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．若棱台的上、下底面面积分别为4，16，高为3，则该棱台的体积为(　　) A．26 B．28 C．30 D．32 解析：选B.所求棱台的体积V＝×(4＋16＋)×3＝28. 2.如图，ABC­A′B′C′是体积为1的三棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是(　　) A． B． C． D． 解析：选C.因为V三棱锥C­A′B′C′＝V三棱柱ABC­A′B′C′＝，所以V四棱锥C­AA′B′B＝1－＝. 3．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1＝4.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的四等分点处，＝，当底面ABC水平放置时，液面高为(　　) A． B． C． D． 解析：选B.设当底面ABC水平放置时，液面高为h，依题意得，水的体积V＝(S△ABC－S△ABC)×4＝S△ABC×h，解得h＝.故选B. 4．折扇是我国古老文化的延续，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．图1是一个折扇的扇面，它可以看成是一个圆台的侧面展开图(如图2)，若两个圆弧DE，AC所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC＝120°，则该圆台的体积为(　　) A．π B．9π C．7π D．π 解析：选D.设圆台上、下底面的半径分别为r1，r2，由题意可知×2π×3＝2πr1，×2π×6＝2πr2，解得r1＝1，r2＝2.作出圆台的轴截面，如图所示，OD＝r1＝1，O′A＝r2＝2，AD＝6－3＝3.过点D向AO′作垂线，垂足为T，则AT＝r2－r1＝1，所以圆台的高DT＝＝＝2.又圆台上底面面积S1＝π×12＝π，下底面面积S2＝π×22＝4π，所以圆台的体积V＝(S1＋S2＋)·DT＝×7π×2＝. 5.(多选)某公司现为一种球形巧克力设计了一种圆柱形包装盒，每盒可装7个球形巧克力，每盒只装一层，相邻的球形巧克力相切，与包装盒接触的6个球形巧克力与包装盒相切，如图是平行于底面且过圆柱母线中点的截面，设包装盒的底面半径为R，球形巧克力的半径为r，每个球形巧克力的体积为V1，包装盒的体积为V2，则(　　) A．R＝3r B．R＝4r C．V2＝9V1 D．2V2＝27V1 解析：选AD.由题图知R＝3r，故A正确，B错误；易知包装盒的高为2r，故V2＝πR2×2r＝18πr3，又V1＝πr3，所以2V2＝27V1，故C错误，D正确．故选AD. 6．(多选)在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则下列说法正确的是(　　) A．以BC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15π B．以AB所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为 C．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25π D．以AC所在直线为旋转轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π 解析：选ABD.以BC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，其侧面积为π×3×5＝15π，故A正确；以AB所在直线为旋转轴旋转时，所得旋转体是具有同底的两个圆锥体的组合体，其底面半径为，故所得旋转体的体积V＝π××5＝，故B正确；以AC所在直线为轴旋转时，所得旋转体是底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为×π×42×3＝16π，故C错误，D正确．故选ABD. 7．(2025·日照月考)有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别为60 cm和40 cm，则它的深度为________ cm. 解析：设油槽的上、下底面面积分别为S′，S.由V＝(S＋＋S′)h，得h＝＝＝75(cm).　 答案：75 8．母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，则该圆锥的底面圆的半径为________，体积为__________． 解析：设该圆锥的底面圆的半径为r，高为h.因为母线长为5的圆锥的侧面展开图的圆心角等于，所以侧面展开图的弧长为5×＝8π.又弧长＝底面周长，即8π＝2πr，所以r＝4.所以圆锥的高h＝＝3.所以圆锥的体积V＝×π×42×3＝16π. 答案：4　16π 9.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm. 解析：设铁球的半径为r cm，由题意得πr2×8＝πr2×6r－πr3×3，解得r＝4. 答案：4 10．(13分)如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径为8 cm，圆柱筒高为3 cm. (1)求这种“浮球”的体积；(6分) (2)要在这样的3 000个“浮球”的表面涂一层胶质，如果每平方厘米需要涂胶0.1克，共需胶多少克？(7分) 解：(1)由题意得该几何体由两个半球和一个圆柱筒组成，所以体积为一个球体体积和一个圆柱体积之和，设球的半径为R，圆柱筒高为h， 球体体积为V1＝πR3＝π×43＝π(cm3)， 圆柱体积为V2＝πR2·h＝π×42×3＝48 π(cm3)， 所以“浮球”的体积为V＝V1＋V2＝π＋48π＝π(cm3). (2)上、下半球的表面积为S1＝4πR2＝4π×42＝64π(cm2)， 圆柱侧面积为S2＝2πRh＝2π×4×3＝24π(cm2)， 所以1个“浮球”的表面积为S＝64π＋24π＝88π(cm2)，　 则3 000个“浮球”的表面积为3 000×88π＝264 000π(cm2)， 因此3 000个“浮球”共需胶264 000π×0.1＝26 400π(克). 11．酒是一种礼仪与情感文化，情深意长．每当读起王翰的“葡萄美酒夜光杯”，犹如突然间在人们眼前展现出酒香四溢的盛大宴席．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是(　　) A．h2>h1>h4 B．h1>h2>h3 C．h3>h2>h4 D．h2>h4>h1 解析：选A.前面三个酒杯都是上大下小，观察题图可知，饮酒一半即体积减少一半后剩余酒的高度应该都在中点以上，且下方越小，所剩酒的高度就越高，第二个酒杯是圆锥型，饮酒一半后所剩酒的高度应该最大，第四个酒杯是圆柱型，饮酒一半后所剩酒的高度正好在中间． 12.(多选)某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，下列说法正确的有(　　) A．该圆台轴截面ABCD面积为6 cm2 B．该圆台的体积为 cm3 C．该圆台的高为3 cm D．沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm 解析：选BD.由AB＝AD＝BC＝2 cm，且CD＝2AB，可得CD＝4 cm，高O1O2＝＝(cm)，故C错误；圆台轴截面ABCD面积为×(2＋4)×＝3(cm2)，故A错误；圆台的体积为V＝π×(1＋4＋2)×＝(cm3)，故B正确；将圆台补成圆锥OO1，可得大圆锥的母线长为4 cm，底面半径为2 cm，侧面展开图的圆心角为θ＝＝π，如图，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP＝，OC＝4 cm，OP＝2＋1＝3(cm)，则CP＝＝5(cm)，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5 cm，故D正确．故选BD. 13.如图，半球内有一内接正四棱锥S ­ABCD，该四棱锥的体积为，则该半球的体积为__________． 解析：设所给半球的半径为R，则四棱锥的高h＝R， 则AB＝BC＝CD＝DA＝R. 由四棱锥的体积＝··R， 得R＝. 所以该半球的体积为πR3＝π. 答案：π 14.(13分)如图，在几何体ABCFED中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，侧棱AE，CF，BD均垂直于底面ABC，BD＝3，FC＝4，AE＝5，求该几何体的体积． 解：由题意可知，△ABC为直角三角形，且∠BAC为直角．如图，取M，N分别为CF，AE上的点，使CM＝AN＝BD，连接DM，MN，DN. 因为AB＝8，AC＝6，BD＝3， 所以三棱柱ABC­NDM的体积为×8×6×3＝72. 因为CM＝AN＝BD＝3，CF＝4，AE＝5， 所以MF＝1，NE＝2，NM＝AC＝6，DN＝AB＝8， 所以四棱锥D­MFEN的体积为××(1＋2)×6×8＝24，所以所求几何体的体积为72＋24＝96. 15．(15分)为满足市场对球形冰淇淋的需求，某工厂特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的 每一个面都相切(内壁厚度忽略不计)，店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋．已知该模具底面边长均为6 cm. (1)求内壁的面积；(7分) (2)求制作该模具所需材料的体积．(8分) 解：(1)如图，过三条侧棱的中点M，N，G作正三棱柱的截面，则球心O为△MNG的中心． 连接MO并延长交GN于点H. 因为MN＝6，所以△MNG内切圆的半径r＝OH＝MH＝＝(cm)， 即内切球的半径R＝ cm，所以内切球的表面积S球＝4πR2＝12π(cm2)，即内壁的面积为12π cm2. (2)由(1)得正三棱柱的高h＝2R＝2 cm. 因为V棱柱＝S底·h＝×6×6sin 60°×2＝54(cm3)，　 V球＝πR3＝4π(cm3)， 所以V棱柱－V球＝(54－4π)cm3， 即制作该模具所需材料的体积为(54－4π)cm3. 学科网（北京）股份有限公司 $