课时测评14 祖暅原理与几何体的体积-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第四册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评14　祖暅原理与几何体的体积 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8每小题5分，共40分) 1．已知圆锥的顶点为S，底面圆心为O，以过SO的平面截该圆锥，所得截面为一个面积为4的等腰直角三角形，则与该圆锥同底等高的圆柱的侧面积为(　　) A．8π B．8π C．4π D．16π 答案：B 解析：由题意可知，底面半径与圆锥的高都为2，S＝2πr×2＝8π.故选B． 2．我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异；这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k；如下图所示，已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以半径1的圆绕直线l旋转一周，得到环体M；以A，B分别为上下底面的圆心，以1为上下底面半径的圆柱体N；过AB且与直线l垂直的平面为β，平面α∥β，且距离为h，若平面α截圆柱体N所得截面面积为S1，平面α截环体M所得截面面积为S2，则下列结论正确的个数是(　　) ①圆柱体N的体积为4π；②S2＝2πS1 ; ③环体M的体积为8π A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：因为圆柱N的底面半径为1，高为4，则圆柱N的体积为V＝π×12×4＝4π，故①正确； 由图可知，S1＝2·4＝8，S2＝πr－πr，其中，r＝(4＋ )2，r＝(4－ )2，故S2＝16·π＝2πS1，故②正确； 环体M的体积为2π·V柱＝2π·4π＝8π2，故③错误. 故正确的有2个．故选C． 3．已知圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在同一个半径为2的球的球面上，则球的体积与圆柱的体积的比值为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：如图所示，圆柱的高为2，它的两个底面的圆周在直径为4的同一个球的球面上，所以该圆柱底面圆周半径为r＝＝，所以该圆柱的体积为：V＝Sh＝π×()2×2＝6π. 又因为球的体积为：πR3＝π×23＝； 所以球的体积与圆柱的体积的比值＝. 故选D． 4．《算数书》于上世纪八十年代在湖北省荆州市江陵县张家山出土，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相承也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为4．那么近似公式V≈L2h中将圆锥体积公式中的π近似取为(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面周长L＝2πr，所以r＝，所以V＝πr2h＝π×＝.若≈L2h，则π≈.故选D． 5．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，动点E，F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积(　　) A．与x，y，z都有关 B．与x有关，与y，z无关 C．与y有关，与x，z无关 D．与z有关，与x，y无关 答案：D 解析：连接B1C，A1D，根据题图分析可知，三角形EFQ的面积不变，为矩形A1B1CD面积的，而当点P变化时，它到平面A1B1CD的距离也是变化的，因此会导致四面体体积的变化．故四面体PEFQ的体积与z有关，与x，y无关．故选D． 6．如图，三棱台ABC-A1B1C1的上、下底边长之比为1∶2 ，记三棱锥C1-A1B1B的体积为V1，三棱台ABC-A1B1C1的体积为V2，则＝________． 答案：1∶7 解析：由三角形的相似性可知，上下底面的面积比值为1∶4，设棱台的高为h，上底面的面积为S，则点B到△A1B1C1的距离也是h，从而＝＝＝. 7．古代将圆台称为“圆亭”，《九章算术》中“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，问积几何？”即一圆台形建筑物，下底周长3丈，上底周长2丈，高1丈，则它的体积为________立方丈． 答案： 解析：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则2πr＝2，2πR＝3，得r＝，R＝. 又圆台的高为1，所以圆台的体积V＝×π×1×＝立方丈. 8．如图①，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图②，这时水面恰好为中截面，则图①中容器内水面的高度是________． 答案： 解析：在图②中，水中部分是四棱柱，四棱柱的底面积为S＝×12×sin 60°－××sin 60°＝，高为2，所以四棱柱的体积为V＝2×＝，设图①中容器内水面高度为h，则V＝×12×sin 60°×h＝，解得h＝.所以图①中容器内水面的高度是. 9．(10分)蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活．蒙古包古代称作穹庐、“毡包”或“毡帐”，如图①所示．一个普通的蒙古包可视为一个圆锥与一个圆柱的组合，如图②所示．已知该圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面直径为6米． (1)求该蒙古包的侧面积；(4分) (2)求该蒙古包的体积．(6分) 解：由题意可知BC＝DE＝3米，AE＝2米，BE＝3米，所以AD＝ ＝(米). (1)圆锥部分的侧面积为S1＝×2π·DE·AD＝×2π×3×＝3 π(平方米). 圆柱部分的侧面积为S2＝2π·BC·BE＝2π×3×3＝18π(平方米). 所以该蒙古包的侧面积为S＝S1＋S2＝3 π＋18π(平方米) . (2)圆锥部分的体积为V1＝Sh＝π·DE2·AE＝π×32×2＝6π(立方米)， 圆柱部分的体积为V2＝π·BC2·BE＝π×32×3＝27π(立方米). 所以该蒙古包的体积为V＝V1＋V2＝6π＋27π＝33π(立方米). 10．(10分)如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一个几何体，求该几何体的表面积(其中∠BAC＝30°)及其体积． 解：如图所示，过点C作CO1⊥AB于点O1，在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R， 所以AC＝R，BC＝R，CO1＝R， 所以S球＝4πR2， S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2， S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2， 所以S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝πR2， 所以旋转所得到的几何体的表面积为πR2． 又V球＝πR3， V圆锥AO1＝AO1·π·CO＝πR2·AO1， V圆锥BO1＝BO1·π·CO＝πR2·BO1， 所以V几何体＝V球－(V圆锥AO1＋V圆锥BO1)＝πR3． 11．(5分)中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代，其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道流到下部容器，如图，某沙漏由上、下两个圆锥容器组成，圆锥的底面圆的直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，则此圆锥形沙堆的高为(　　) A．2 cm B． cm C． cm D． cm 答案：D 解析：由题意可知，开始时，沙漏上部分圆锥中的细沙的高H＝×8＝(cm)，底面圆的半径r＝×4＝(cm)，故细沙的体积V＝πr2H＝π××＝(cm3).当细沙漏入下部后，圆锥形沙堆的底面半径为4 cm，设高为H′，则π×42×H′＝，解得H′＝ cm.故此圆锥形沙堆的高为 cm.故选D． 12．(5分)已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为________． 答案： 解析：设球的半径为R，则球的表面积为4πR2，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的底面面积为πr2．由已知得，πr2＝×4πR2，所以r2＝R2．由几何体的特征知，球心到圆锥底面的距离、球的半径及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形，由此可以求得球心到圆锥底面的距离h＝＝R，所以两个圆锥的高分别为h1＝R－h＝R－R＝R，h2＝R＋h＝R. 所以这两个圆锥中，体积较小者的高为R，体积较大者的高为R，故所求比值为. 13．(13分)如图，某种水箱用的“浮球”是由两个半球和一个圆柱组成的．已知半球的直径是6 cm，圆柱高为2 cm. (1)这种“浮球”的体积约是多少(π≈3.14，结果精确到0.1 cm3)？(5分) (2)要在2 500个这种“浮球”的表面涂一层胶，如果每平方米需要涂胶100克，那么共需胶约多少克(π≈3.14)？(8分) 解：(1)因为半球的直径是6 cm，所以半径R＝3 cm， 所以两个半球的体积之和为 V球＝πR3＝π×27＝36π(cm3). 又圆柱的体积为 V圆柱＝πR2h＝π×9×2＝18π(cm3).所以这种“浮球”的体积是V＝V球＋V圆柱＝36π＋18π＝54π≈169.6(cm3). (2)根据题意，上下两个半球的表面积之和为 S球表＝4πR2＝4×π×9＝36π(cm2)， 又圆柱的侧面积为S圆柱侧＝2πRh＝2×π×3×2＝12π(cm2)， 所以“浮球”的表面积为S＝＝π(m2). 因此2 500个这种“浮球”的表面积的和为2 500S＝2 500×π＝12π(m2). 因为每平方米需要涂胶100克，所以共需胶100×12π＝1 200π≈3 768(克). 14．(17分)如图所示，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计．已知圆柱的底面周长为24π cm，高为30 cm，圆锥的母线长为20 cm. (1)求这种“笼具”的体积；(7分) (2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，已知每平方米该材料的造价为8元，则共需多少元？(10分) 解：(1)设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的母线长为l，高为h1，则h＝30 cm，l＝20 cm.根据题意可知2πr＝24π，解得r＝12 cm，则h1＝＝16(cm)， 所以这种“笼具”的体积为V＝πr2h－πr2h1 ＝π＝3 552π(cm3). (2)圆柱的侧面积S1＝2πrh＝720π(cm2)， 圆柱的底面积S2＝πr2＝144π(cm2)， 圆锥的侧面积S3＝πrl＝240π(cm2)， 所以这种“笼具”的表面积S＝S1＋S2＋S3＝1 104π(cm2)， 故造50个“笼具”共需＝(元). 学科网（北京）股份有限公司 $