11.1.6 祖暅原理与几何体的体积(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·福建龙岩高一期中)“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤两百丈．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷第五“商功”中的问题，意思为“现有城(如图，等腰梯形的直棱柱体)，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长200丈(1丈＝10尺)”，则该问题中“城”的体积等于(　　 ) A．3×105立方尺 B．6×105立方尺 C．6×106立方尺 D．3×106立方尺 解析　依题意，该柱体的体积为×2 000＝3×106(立方尺)． 答案　D 2．(2024·福建泉州高一期末)已知圆柱母线长等于2，过母线作截面，截面的最大周长等于8，则该圆柱的体积等于(　　 ) A．π　　　　　　　 B．2π C．4π D．8π 解析　当过母线作截面，截面的周长最大时，此时截面为轴截面． 设圆柱的底面半径为r， 因为过母线作截面，截面的最大周长等于8， 所以2×(2＋2r)＝8，解得r＝1. 所以该圆柱的体积为π×12×2＝2π. 答案　B 3．已知圆锥的母线长为2，其侧面展开图是半圆，则该圆锥的体积为(　　 ) A．2π B．π C．π D．π 解析　由于圆锥的侧面展开面为半圆，设圆锥的底面半径为r，高为h，故2π＝2πr， 得r＝1，则h＝＝，所以圆锥的体积为π·12·＝π. 答案　D 4．如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AA1＝3，AB＝2，点D是棱CC1的中点，点E在棱AA1上，则三棱锥B1­EBD的体积为(　　 ) A．1 B．2 C． D．2 解析　∵在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1＝3，AB＝2，点D是棱CC1的中点，点E在棱AA1上， ∴S△BDB1＝×BB1×BC＝×3×2＝3， 点E到平面BDB1的距离h＝＝， ∴三棱锥B1­EBD的体积为： VB1­EBD＝VE­BDB1＝×S△BDB1×h＝×3×＝. 答案　C 5．(2024·福建福州高一期中)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为100.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为400.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为________． 解析　由题意，棱台的上、下底面面积为100 km2＝100×106 m2,400 km2＝400×106 m2， 棱台的水面增加的高度为(157.5－148.5)m， 所以增加水量约为×(157.5－148.5)＝×9＝700×106×3＝2 100×106＝2.1×109 (m3)． 答案　2.1×109 m3 6．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是________． 解析　截去的8个棱锥体积相等，正方体的体积为1，截去的8个棱锥的体积为8×××××＝，所以剩余的凸多面体的体积为1－＝. 答案　 7．如图所示，在正四棱台ABCDEFGH中，AB＝4，EF＝9，且四棱锥EABCD的体积为48，则该四棱台的体积为________． 解析　解法一　由题意，设点E到平面ABCD的距离为h，由四边形ABCD面积为S＝(4)2＝48，得四棱锥EABCD的体积为48＝hS＝×48h，得h＝3. 所以棱台体积为V＝h＝×3×(48＋＋243)＝399. 解法二　由题意，设点E到平面ABCD的距离为h，由四边形ABCD面积为S＝(4)2＝48，得四棱锥EABCD的体积为48＝hS＝×48h，得h＝3. 由棱台定义知，延长EA，FB，GC，HD交于一点，设为P，设棱锥PABCD的高为x， 则棱锥PEFGH的高为x＋3，由三角形相似可得＝＝，得x＝， 于是棱台体积V＝(x＋3)S下－xS上＝××243－××48＝399. 答案　399 8．如图所示，已知正四棱台的两底面均为正方形，且边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2，求其表面积和其对应正四棱锥的体积．(V棱锥＝Sh，S为棱锥的底面积，h为棱锥的高) 解析　如图所示，取A1B1的中点M，AB的中点N，连接MN，则MN为棱台的斜高， 因为棱台的侧面积为780 cm2，可得S1＝4××(10＋20)×MN＝780，解得MN＝13， 又由上、下底面的面积分别为S2＝10×10＝100，S3＝20×20＝400， 所以棱台的表面积为S＝S1＋S2＋S3＝780＋100＋400＝1 280 cm2. 设棱台的四条侧棱延长后交于点P，设上、下底面的中心分别为O1，O， 在直角梯形ONMO1中，O1M＝A1B1＝5，ON＝AB＝10， 所以OO1＝＝＝12， 由△PO1M∽△PON，可得＝＝，解得PO＝24， 所以正四棱锥PABCD的体积为V＝SABCD·PO＝×202×24＝3 200 cm2. [关键能力·综合提升] 9．《九章算术》涉及算术、代数、几何等诸多领域，书中有如下问题：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高二丈，问积几何？”其意思为：“有一个圆台，下底周长为3丈，上底周长为2丈，高为2丈，那么该圆台的体积是多少？”已知1丈等于10尺，圆周率约为3，估算出这个圆台体积约有(　　) A．4立方尺 B．527立方尺 C．427立方尺 D．1 055立方尺 解析　如图所示， 设圆台上底半径为r1，下底半径为r2，则2πr2＝30,2πr1＝20， 解得r2＝5，r1＝， 即下底半径为5尺，上底半径为尺， 设S1，S2分别为上下底面面积， 所以圆台的体积为h＝××20＝1055立方尺． 答案　D 10．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式d≈.人们还用过一些类似的近似公式．根据π＝3.141 59…判断，下列近似公式中最精确的一个是(　　) A．d≈ B．d≈ C．d≈ D．d≈ 解析　∵球的体积V＝π×3， ∴d3＝V＝V. ∵π＝3.141 59…，∴＝1.570 79…. 记d1＝，∴d＝V＝V； d2＝，∴d＝2V＝V； d3＝，∴d＝V； d4＝，∴d＝V. ∵≈1.69，≈1.571，∴，1.5,1.57，中，最接近.∴d4更精确． 答案　D 11．(2023·新课标Ⅱ卷)底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为________． 解析　如图所示，＝＝＝， ∴OO1＝3，V＝(4＋16＋)×3＝28. 答案　28 12．如图所示，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为1，若该几何体的表面积为12π，则其体积为________． 解析　依题意，几何体可视为半径为1的球和底面圆半径为1，高为h的圆柱组合而成，于是几何体的表面积S＝4π×12＋2π×1×h＝4π＋2πh＝12π，解得h＝4， 所以该几何体的体积V＝×13＋π×12×4＝. 答案　 13．一倒置圆锥体的母线长为10 cm，底面半径为6 cm. (1)求圆锥体的高； (2)若有一球刚好放进该圆锥体(球与圆锥的底面相切)中，求这个球的半径以及此时圆锥体剩余空间的体积． 解析　(1)设圆锥的高为h，底面半径为R，母线长为l，则h＝＝＝8 cm，所以圆锥体的高为8 cm. (2)球放入圆锥体后的轴截面如图所示，设球的半径为r. 易得△OCD∽△ACO1， ∴＝， ∴＝，解得r＝3 cm， 圆锥体剩余的空间为圆锥的体积减去球的体积， 即V圆锥－V球＝·π·62×8－π·33 ＝96π－36π＝60π cm3. ∴此时圆锥体剩余空间的体积为60π cm3. [核心价值·探索创新] 14．如图1所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图2所示水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图3所示水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为(　　) A．29 cm B．30 cm C．32 cm D．48 cm 解析　设上、下圆柱的半径分别是r cm，R cm(r<R)，高分别是h cm，H cm.由水的体积不变得πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h)，整理得(R2－r2)(H＋h)＝28R2－20r2，又r＝1，R＝3，故解得H＋h＝29，即这个简单几何体的总高度为29 cm. 答案　A 15．如图所示，底面半径为1，高为1的圆柱OO1中有一内接长方体A1B1C1D1 ­ABCD，设矩形ABCD的面积为S，长方体A1B1C1D1 ­ABCD的体积为V，AB＝x. (1)将S表达为x的函数； (2)求V的最大值． 解析　(1)连接AC(图略)，∵矩形ABCD内接于⊙O， ∴AC为⊙O的直径． ∵AC＝2，AB＝x，∴BC＝， ∴S＝AB·BC＝x(0<x<2)． (2)∵长方体的高AA1＝1， ∴V＝S·AA1＝x ＝＝， ∵0<x<2，∴0<x2<4， ∴当x2＝2，即x＝时，V取得最大值，此时Vmax＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $$