11.1.5 旋转体 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为(　　) A．一个球体 B．一个球体中间挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球体中间挖去一个长方体 解析：选B.圆面绕着直径所在的轴旋转一周形成球，矩形绕着中间轴旋转一周形成圆柱．故选B. 2．过圆柱的上、下底面圆的圆心的平面截圆柱所得的截面是面积为16的正方形，则圆柱的侧面积是(　　) A．12π B．16π C．8π D．10π 解析：选B.由题意分析知底面圆的直径d＝4，圆柱的母线长l＝4，所以圆柱的侧面积S＝πdl＝16π. 3.(2025·德州期末)如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的半径为(　　) A．2 B．4 C． D． 解析：选A.根据题意，如图，O′A＝，OO′＝1，故在Rt△OO′A中，OA＝＝＝2，所以球O的半径为2.故选A. 4．如图所示，四等分切割圆柱，再将其重新组合成一个新的几何体，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了100 m2，则圆柱的侧面积是(　　) A．100π m2 B．200π m2 C．100 m2 D．200 m2 解析：选A.设圆柱的底面半径为r，高为h，依题意可得2rh＝100， 所以圆柱的侧面积S侧＝2πrh＝100π(m2). 5．(2025·沈阳月考)若底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点且平行于底面的平面所截，则截面圆的面积为(　　) A．π　　　　　　　 B．2π C．3π D．4π 解析：选A.如图所示，设截面圆的半径为r，底面圆半径为R，易知△SA1O1∽△SAO，故＝＝＝，可得r＝R＝1，所以截面圆的面积为S＝π×12＝π.故选A. 6．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是(　　) A．圆柱的侧面积为4πR2 B．圆锥的侧面积为πR2 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小 解析：选ABC.依题意知球的表面积为4πR2，圆柱的侧面积为2π×R×2R＝4πR2，所以A，C选项正确；圆锥的侧面积为π×R×＝πR2，所以B选项正确；圆锥的表面积为πR2＋πR2＝(1＋)πR2<4πR2，所以D选项错误．故选ABC. 7．将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周所得到的几何体为______________________． 解析：如图，过平行四边形的顶点作垂线，可以得到一个直角三角形和一个矩形，绕5 cm边所在直线旋转一周，得到一个圆锥和挖去一个圆锥的圆柱． 答案：一个圆锥和挖去一个圆锥的圆柱 8．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为5，圆台的表面积为80π，则圆台较小的底面半径为__________． 解析：设圆台较小的底面半径为r，那么较大的底面半径为3r，由已知得π(r＋3r)×5＋πr2＋9πr2＝80π，解得r＝2(负值已舍去). 答案：2 9.如图所示，把底面半径为8 cm的圆锥放倒，使圆锥在水平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为__________cm，表面积为________cm2. 解析：设圆锥的母线长为l，以S为圆心，SA为半径的圆的面积为S＝πl2.又圆锥的侧面积S1＝8πl，根据圆锥在平面内转回到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，得πl2＝2.5×8πl，所以l＝20 cm.故圆锥的表面积为S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2).　 答案：20　224π 10．(13分)一个圆台的母线长为13 cm，两底面面积分别为16π cm2和81π cm2.求： (1)圆台的高；(6分) (2)截得此圆台的圆锥的母线长．(7分) 解：(1)圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，如图所示，由已知可得上底面半径O1A＝4 cm，下底面半径OB＝9 cm，又腰长AB＝13 cm, 所以圆台的高为 AM＝＝12(cm). (2)如图所示，延长BA，OO1，CD交于点S， 设截得此圆台的圆锥母线长为l， 则由△SAO1∽△SBO，可得＝， 解得l＝cm， 所以截得此圆台的圆锥的母线长为cm. 11．(多选)已知圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为π，则圆台的(　　) A．母线长是20 B．表面积是1 100π C．高是10 D．轴截面为等腰梯形 解析：选ABD.圆台的轴截面是等腰梯形，故D正确；设圆台母线长为l，所以l＝＝20，故A正确；表面积为S＝π×102＋π×202＋π(10＋20)×20＝1 100π，故B正确；高h＝＝10，故C错误．故选ABD. 12.(2025·威海期末)如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面．圆柱的母线长为6，底面半径为2，则该组合体的表面积为____________． 解析：挖去的圆锥的母线长为＝2，则圆锥的侧面积为4π，圆柱的侧面积为2π×2×6＝24π， 圆柱的一个底面面积为π×22＝4π，所以该组合体的表面积为4π＋24π＋4π＝(4＋28)π. 答案：(4＋28)π 13．已知球O的半径为5，球内一点M到球心O的距离为4，过点M的平面截球的截面面积为S，则S的最小值为____________． 解析：设球的半径为R，截面面积最小的半径为r，由题意可得r2≥R2－OM2，所以当OM垂直于截面时，截面的半径最小，即截面的面积最小，由r2＝R2－OM2＝25－16＝9，得截面面积的最小值为S＝πr2＝9π. 答案：9π 14.(15分)(2025·日照月考)如图一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱． (1)求此圆锥的表面积；(5分) (2)试用x表示圆柱的高h′；(5分) (3)当x为何值时，圆柱的表面积最大，最大表面积为多少？(5分) 解：(1)由r＝1，h＝3，得l＝， 所以S侧＝πrl＝π，S底＝πr2＝π， 故S表＝π. (2)由相似可得＝，得h′＝3. (3)记圆柱的表面积为S， 则S＝2πx·h′＋2πx2＝2πx·3＋2πx2＝2π＝－4π＋， 因为0<x<1，所以当x＝时，Smax＝. 15.(15分)如图，“中国天眼”反射面的形状为球冠，球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圆为球冠的底，与截面垂直的球体直径被截得的部分为球冠的高，设球冠底的半径为r，球冠的高为h，球冠底面圆周长为C. (1)求球冠所在球的半径R(结果用h，r表示)；(6分) (2)已知球冠的表面积公式为S＝2πRh，当S＝65 000π，C＝500π时，求的值及球冠所在球的表面积．(9分) 解：(1)如图，点O是球冠所在球面的球心，点O1是球冠底面圆圆心，点A是球冠底面圆周上的一点，线段O1B是球冠的高，依题意，OB垂直于球冠底面，显然O1B＝h，OO1＝R－h，O1A＝r， 在Rt△OO1A中，OA2＝OO＋O1A2， 即R2＝(R－h)2＋r2， 整理化简得R＝， 所以球冠所在球的半径R＝. (2)因为球冠底面圆周长C＝500π，则r＝＝250，又S＝2πRh，且S＝65 000π，则h＝＝，由(1)知R＝，即65 000＝＋2502，解得R＝650， 于是得＝＝，球O的表面积为4πR2＝4π×6502＝1 690 000π，所以的值是，球冠所在球的表面积是1 690 000π.　 学科网（北京）股份有限公司 $