11.1.5 旋转体(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．关于下列几何体说法正确的是(　　) A．旋转体3个，台体(棱台或圆台)2个 B．旋转体3个，柱体(棱柱或圆柱)5个 C．柱体3个，锥体(棱锥或圆锥)4个 D．旋转体3个，多面体4个 解析　(6)(7)(8)为旋转体，(5)(7)为台体． 答案　A 2．下列关于空间几何体结构特征的描述错误的是(　　) A．棱柱的侧棱互相平行 B．以直角三角形的一边为轴旋转一周得到的几何体不一定是圆锥 C．正三棱锥的各个面都是正三角形 D．棱台各侧棱所在直线会交于一点 解析　根据棱柱的性质可知A正确；当以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴时，所得几何体为两个圆锥的组合体，故B正确；正三棱锥的底面是正三角形，其余侧面是全等的等腰三角形，故C错误； 棱台是用平行于底面的平面截棱锥而得，故侧棱所在直线必交于一点，D正确． 答案　C 3．下列说法正确的是(　　) A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥 B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体 C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台 D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线 解析　A．因为直角三角形绕斜边旋转得到的旋转体不是圆锥，是两个圆锥的组合体，故错误；B.夹在圆柱的两个截面间的几何体不一定是一个旋转体，故错误；C．正确；D.通过圆台侧面上一点，有且仅有一条母线，故错误． 答案　C 4．(2024·河北张家口高一期末)石碾子是我国传统粮食加工工具，如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成．碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为(　　 ) A．3∶2　　　　　　　 B．5∶4 C．5∶3 D．4∶3 解析　由题意知，2×2πh＝5×2πr，∴＝，∴＝，故选B. 答案　B 5．如图是一个几何体的表面展开图形，则这个几何体是________． 解析　一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱． 答案　圆柱 6．如图，已知圆锥的底面圆心为O，半径r＝2，表面积为10π，设母线PB中点为M，从A点沿圆锥表面到M的最近路线长为____________． 解析　设圆锥的母线长为l， 由题知4π＋2πl＝10π，解得l＝3，PM＝，将圆锥侧面展开如图，因为＝，所以∠APB＝， 所以AM2＝PA2＋PM2－2PA·PMcos＝9＋－2×3××＝，所以AM＝. 答案　 7．某学生为制作圆台形容器，利用如图所示的半圆环(其中小圆和大圆的半径分别是2 cm和4 cm)铁皮材料，通过卷曲使得AB边与DC边对接制成圆台形容器的侧面，则该圆台的高为____________． 解析　设圆台的上底面半径为r cm，下底面半径为R cm，母线长为l cm，高为h cm， 由题意可得解得所以该圆台的高为h＝＝(cm)． 答案　 cm 8．在球心同侧有相距9 cm的两个平行圆面，它们的面积分别是49 π cm2和400 π cm2，求球的半径． 解析　如图为球的一个轴截面，O1，O2分别为两个平行圆面的圆心，易知AO1∥BO2，OO1⊥AO1，OO2⊥BO2. 设球的半径为R cm. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7 cm. 同理可知O1A＝20 cm. 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9)cm. 又在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202， 在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝(x＋9)2＋72，∴x＝15， ∴R2＝x2＋202＝252，∴R＝25， 即球的半径为25 cm. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)下列关于球体的说法正确的是(　　) A．球体是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 B．球面是空间中到定点的距离等于定长的点的集合 C．一个圆绕其直径所在直线旋转一周形成的几何体是球体 D．球的对称轴只有1条 解析　空间中到定点的距离等于定长的点的集合是球面，所以A错误，B正确；由球体的定义，知C正确；球的每一条直径所在的直线均为它的对称轴，所以D错误． 答案　BC 10．(2024·山东济宁高一期中)如图，将一个圆柱4等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积是____________． 解析　设原圆柱的底面圆半径为r，高为h，则原圆柱的表面积为2πr2＋2πrh， 新几何体的表面积2πr2＋2πrh＋2rh，故2rh＝10，故圆柱的侧面积为2πrh＝10π. 答案　10π 11.如图所示的平面中阴影部分绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体为(　　) A．一个球 B．一个球挖去一个圆柱 C．一个圆柱 D．一个球挖去一个长方体 解析　由题意知形成的几何体为一个球挖去一个圆柱． 答案　B 12．湖面上浮着一个球(水下部分不超过一半)，湖水结冰后，将球取出，冰上留下一个直径为24 cm，深为8 cm的空穴，则球的半径为_______ cm，球的表面积为_______ cm2. 解析　设球的半径为R cm， 由题意知，截面圆的半径r＝12 cm，设球心到截面的距离为d，则d＝(R－8) cm， 由R2＝r2＋d2，得R2＝144＋(R－8)2，即208－16R＝0，解得R＝13 cm， 故S球＝4πR2＝676π (cm2)． 答案　13　676π 13．一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积． 解析　如图，轴截面SAB，圆锥SO的底面直径为AB，SO为高，SA为母线，则∠ASO＝30°. 在Rt△SOA中， AO＝SO·tan 30°＝ (cm)． SA＝＝＝ (cm)． 所以S△ASB＝SO·2AO＝ (cm2)． 所以圆锥的母线长为 cm，圆锥的轴截面的面积为 cm2. [核心价值·探索创新] 14．若圆锥的轴截面是一个面积为9 cm2的正三角形，则其内切球的半径是(　　) A．4π cm B．6 cm C． cm D．π cm 解析　轴截面如图所示，正△SAB的边长为a cm，内切球的半径为R cm， 则×a·a＝a2＝9，所以a＝6. 又S△SO′B＋S△SO′A＋S△AO′B＝9， 所以3××6·R＝9，所以R＝(cm)． 答案　C 15．如图所示，一个圆锥的底面半径为1，高为3，在圆锥中有一个底面半径为x的内接圆柱． (1)试用x表示圆柱的高； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是多少？ 解析　(1)圆锥的轴截面如图所示， BO＝1，PO＝3，设圆柱的高为h， 由题图，得＝，即h＝3－3x(0<x<1)． (2)∵S圆柱侧＝2πxh＝2πx(3－3x)＝6π(x－x2)＝6π， 当x＝时，圆柱的侧面积取得最大值为. ∴当x＝时，圆柱的侧面积最大，最大侧面积是. 学科网（北京）股份有限公司 $$