11.1.4 棱锥与棱台 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．如图所示的空间图形中，不是棱锥的为(　　) 解析：选A.结合棱锥的定义可知，只有A不符合其定义． 2．棱锥的侧面和底面可以都是(　　) A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 解析：选A.三棱锥的侧面和底面均是三角形． 3．下列说法正确的是(　　) A．棱台的两个底面相似 B．棱台的侧棱长都相等 C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台 D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 解析：选A.由棱台的定义知A正确，B，C不正确；棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D不正确． 4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是(　　) A．1∶2 B．1∶4 C．2∶1 D．4∶1 解析：选B.由棱台的结构特征知，棱台的上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方． 5．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台上、下底面的距离为(　　) A．12 B．9 C．6 D．3 解析：选D.设原棱锥顶点到底面的距离为h，由题意得()2＝，则h＝6(负值已舍去)， 所以棱台上、下底面的距离为6－3＝3. 6.(多选)在如图所示的几何体中，关于其结构特征，下列说法正确的是(　　) A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的 B．该几何体有12条棱，6个顶点 C．该几何体有8个面，并且各个面均为三角形 D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形 解析：选ABC.根据几何体的形状，得该几何体是由两个同底的四棱锥组成的，且有12条棱，6个顶点，8个面，且每个面都是三角形，所以选项A，B，C正确，选项D错误．故选ABC. 7．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱． 解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱． 答案：5　6　9 8．若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，对角面上的对角线长为9，则该棱台的高为_____________________________________________________． 解析：由题意，得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为5，下底长为7，对角线长为9，则高为＝3. 答案：3 9．已知正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为3，则此四棱锥的表面积为____________． 解析：该正四棱锥的四个侧面都是腰长为3，底边长为4的等腰三角形，底面是边长为4的正方形，所以该四棱锥的表面积为4××4×＋4×4＝16＋8. 答案：16＋8 10．(13分)试从如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1的八个顶点中取若干个顶点，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号将其表示出来． (1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(4分) (2)四个面都是等边三角形的棱锥；(4分) (3)三棱柱．(5分) 解：(1)如图1所示，三棱锥A1­AB1D1.(答案不唯一) (2)如图2所示，三棱锥B1­ACD1.(答案不唯一) (3)如图3所示，三棱柱ABD­A1B1D1.(答案不唯一) 11.(多选)如图，长方体ABCD­A1B1C1D1被一个平面截成两个几何体，其中EF∥B1C1∥BC，则(　　) A.几何体ABCD­A1EFD1是一个六面体 B．几何体ABCD­A1EFD1是一个四棱台 C．几何体AA1EB­DD1FC是一个四棱柱 D．几何体BB1E­CC1F是一个三棱柱 解析：选ACD.在长方体ABCD­A1B1C1D1中，EF∥B1C1∥BC，EB1∥FC1，故四边形EB1C1F为平行四边形，所以EF＝B1C1.因为几何体ABCD­A1EFD1有六个面，所以几何体ABCD­A1EFD1是一个六面体，故A正确；因为AA1∥DD1，所以侧棱的延长线不能交于一点，故几何体ABCD­A1EFD1不是四棱台，故B错误；因为几何体AA1EB­DD1FC的侧棱平行且相等，四边形AA1EB与四边形DD1FC是平行且全等的四边形，所以几何体AA1EB­DD1FC为四棱柱，同理几何体BB1E­CC1F是一个三棱柱，故C，D正确． 12.已知正四棱锥P­ABCD的底面边长为4 cm，高PO与斜高PE之间的夹角为30°，如图所示，则正四棱锥的侧面积为________，表面积为____________． 解析：正四棱锥的高PO，斜高PE，与底面边心距OE组成Rt△POE.因为OE＝2 cm，∠OPE＝30°，所以斜高PE＝＝4(cm)， 因此S侧＝4×BC·PE＝4××4×4＝32(cm2)， S表面积＝S侧＋S底＝32＋16＝48(cm2). 答案：32 cm2　48 cm2 13．(2025·辽阳月考)已知正三棱锥P­ABC的侧棱长为2，∠APB＝∠APC＝∠BPC＝30°.E，F分别是BP，CP上的点，则△AEF周长的最小值为________． 解析：△AEF的周长即为AE，EF，FA三条线段的和，作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示．当A，E，F，A′四点共线时，△AEF的周长取得最小值，由题意得∠APB＝∠BPC＝∠CPA′＝30°，所以∠APA′＝90°，AA′＝＝2.所以△AEF周长的最小值为2. 答案：2 14．(13分)已知正四棱台上、下底面边长分别为3和9.若侧棱所在直线与上、下底面的中心的连线所成的角为45°，求棱台的侧面积． 解：如图正四棱台ABCD­A1B1C1D1，设O1，O分别为上、下底面的中心，连接O1O，AC，A1C1，过点C1作C1E⊥AC于点E，过点E作EF⊥BC于点F，连接C1F，则C1F为正四棱台ABCD­A1B1C1D1的斜高．由题意知∠CC1E＝45°， CE＝CO－EO＝CO－C1O1＝×(9－3)＝3. 所以在Rt△C1EC中，C1E＝CE＝3，又EF＝CE×sin 45°＝3×＝3，所以C1F＝＝＝3.所以棱台的侧面积S侧＝×(3＋9)×3×4＝72. 15．(15分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问： (1)折起后形成的几何体是什么几何体？(5分)　 (2)这个几何体共有几个面？每个面的三角形有何特点？(5分) (3)每个面的三角形面积为多少？(5分) 解：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥． (2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形． (3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝×a× ＝a2. 学科网（北京）股份有限公司 $