11.1.4 棱锥与棱台(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)关于空间几何体的结构特征，下列说法正确的是(　　) A．棱柱的侧棱长都相等 B．四棱锥有五个顶点 C．三棱台的上、下底面是相似的三角形 D．有的棱台的侧棱长都相等 解析　根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点． 答案　ACD 2．下面图形中，为棱锥的是(　　) A．①③　　　　　　　 B．①③④ C．①②④ D．①② 解析　根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C． 答案　C 3．底面边长为10，高为5的正四棱锥的侧面积是(　　) A．100 B．100 C．100 D．25 解析　正四棱锥的斜高为＝5，则其侧面积是4××10×5＝100. 答案　B 4．正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm，那么它的中截面(过各侧棱中点的截面)面积为(　　) A．2 cm2 B．16 cm2 C．25 cm2 D．4 cm2 解析　由上、下底面边长知，中截面边长为＝4 cm， ∴中截面面积为16 cm2. 答案　B 5．将一个边长分别是2 cm和5 cm，两邻边夹角为60°的平行四边形绕其5 cm边所在直线旋转一周形成的几何体的构成为_______________________________________． 解析　如图，过顶点作垂线，可以得到一个直角三角形和一个矩形，绕轴旋转一周，得到一个圆锥和一个圆柱挖去一个圆锥． 答案　一个圆锥和一个圆柱挖去一个圆锥 6．如图，正三棱锥A­BCD中，∠BAD＝20°，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD相交于B1，D1，则△CB1D1的周长的最小值为__________． 解析　将正三棱锥A­BCD沿AC剪开可得如下图形， ∵∠BAD＝20°，即∠CAC′＝60°，又△CB1D1的周长为CD1＋D1B1＋B1C′， ∴要使△CB1D1的周长最小，则C，D1，B1，C′共线，即CD1＋D1B1＋B1C′＝CC′，又正三棱锥A­BCD侧棱长为4，△CAC′是等边三角形，∴(CD1＋D1B1＋B1C′)min＝4. 答案　4 7．一个正三棱台的上、下底面边长分别为3和6，侧棱长为2，则其高为________． A． B．1 C． D． 解析　如图，延长正三棱台的三条棱AA′，BB′，CC′，交于点P，因为AB＝BC＝AC＝6，A′B′＝B′C′＝A′C′＝3，则PA＝PB＝PC＝2AA′＝4，作PO⊥底面ABC于O，连接BO，则BO＝＝2，故PO＝＝2，故正三棱台ABC­A′B′C′的高为＝1. 答案　1 8．如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？ 解析　图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点，把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台． [关键能力·综合提升] 9．一个棱锥的各条棱长都相等，那么这个棱锥必不是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 解析　正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形由6个等边三角形构成．设每个等边三角形的边长为r，正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为l.由正六棱锥的高、底面等边三角形的边、侧棱构成直角三角形得h2＋r2＝l2，故侧棱长l和底面正六边形的边长r不可能相等． 答案　D 10．下列命题中正确的个数是(　　) ①由五个面围成的多面体只能是三棱柱；②用一个平面去截棱锥便可得到棱台；③仅有一组对面平行的五面体是棱台；④有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　①中，由五个面围成的多面体可以是四棱锥，所以不正确；②中，用一个平行于底面的平面截棱锥才能得到一个棱台；③中，仅有一组对面平行的五面体，可以是三棱柱；④中，有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体不一定是棱锥，因此选A． 答案　A 11．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 解析　设正三棱锥的侧棱长为b，由条件知2b2＝a2，所以该三棱锥的表面积为a2＋3×××a2＝a2. 答案　A 12．棱台的上、下底面面积分别为4和9，则这个棱台的高与截得棱台的原棱锥的高的比值是________． 解析　设棱台的高为h，截得棱台的原棱锥的高为H，以四棱台为例，如图所示． 由△SO1C1∽△SOC可得，＝， 所以＝＝，则2＝， 即2＝，解得＝. 答案　 13．如图所示，正六棱锥S­ABCDEF的底面周长为24，H是BC的中点，O是底面的中心，∠SHO＝60°，求： (1)棱锥的高； (2)斜高； (3)侧棱长． 解析　∵正六棱锥的底面周长为24， ∴正六棱锥的底面边长为4. 在正六棱锥S­ABCDEF中， ∵H是BC的中点，∴SH⊥BC． (1)连接OB， 在Rt△BOH中，OH＝BC＝2. 在Rt△SOH中， ∵∠SHO＝60°， ∴棱锥的高SO＝OH·tan 60°＝6. (2)在Rt△SOH中，斜高SH＝2OH＝4. (3)在Rt△SOB中，SO＝6，OB＝BC＝4， ∴侧棱长SB＝＝2. [核心价值·探索创新] 14．如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么(　　) A．2＝＋ B．S0＝ C．2S0＝S＋S′ D．S0＝2S′S 解析　不妨设棱台为三棱台，设棱台的高为2r，上部三棱锥的高为a， 根据相似比的性质可得 可得，消去r，可得2＝＋，故选A． 答案　A 15．如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问： (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？ 解析　(1)如图，折起后形成的几何体是三棱锥． (2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形． (3)S△PEF＝a2， S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2， S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2. 学科网（北京）股份有限公司 $$