11.1.3 多面体与棱柱 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．下列关于棱柱的说法错误的是(　　) A．三棱柱的底面为三角形 B．一个棱柱至少有五个面 C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等 D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 解析：选C.显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；由棱柱的定义知，D正确． 2．正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积扩大到原来的(　　) A．2倍 B．12倍 C．18倍 D．36倍 解析：选D.设正方体棱长为a，则其表面积为6a2，故正方体的棱长扩大到原来的6倍，则其表面积为6×36a2，扩大到原来的36倍． 3．如图，八面体的每个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一平面内，若四边形ABCD是边长为2的正方形，则这个八面体的表面积为(　　) A．8 B．16 C．8 D．16 解析：选C.每个面的面积为×22＝，所以该图形的表面积为8. 4．用一个过正四棱柱底面一边的平面去截正四棱柱，截面形状是(　　) A．矩形 B．三角形 C．梯形 D．菱形 解析：选A.过底面一边的平面与上底面或所对侧面有一条交线，必定构成四边形．在正四棱柱中，底面一边与侧面垂直，故截面形状为矩形． 5．(2025·阜新月考)五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的体对角线，那么一个五棱柱的体对角线的条数为(　　) A．20 B．15 C．12 D．10 解析：选D. 如图，在五棱柱ABCDE­A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的体对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的体对角线均有两条，则一个五棱柱共有2×5＝10条体对角线． 6．(多选)如图是一个正方体的表面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是(　　) A.A与B B．D与E C．B与D D．C与F 解析：选ABD.表平面展开图还原为正方体如图所示． 所以互相重合的点是A与B，D与E，C与F.故选ABD. 7．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1的长、宽、高分别为2，2，1，则长方体的表面积为__________，面对角线有________条，体对角线有________条． 解析：由表面积的定义，可得长方体的表面积为4×1×2＋2×2×2＝16，面对角线有2×6＝12(条)，体对角线有4条． 答案：16　12　4 8．已知正六棱柱的高为5 cm，最长的体对角线为13 cm，则它的侧面积为__________cm2. 解析：设正六棱柱的底面边长为a cm， 则底面上最长对角线长为2a cm， 所以由＝13，解得a＝6， 所以侧面积为5×6×6＝180(cm2). 答案：180 9．已知正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为__________． 解析：由题意，知侧面积为6×6×4＝144，两底面积之和为2××42×6＝48，所以表面积S＝48(3＋). 答案：48(3＋) 10．(13分)若正六棱柱ABCDEF­A1B1C1D1E1F1的底面边长为2 cm，最长的对角线长为5 cm，求正六棱柱的侧棱长． 解： 由正六棱柱的特点可知，它最长的对角线有6条，分别为AD1，BE1，CF1，DA1，EB1，FC1，故它们的长度都是5 cm.因为正六棱柱的侧棱DD1垂直于底面，连接AD，AD1，如图所示，所以∠D1DA＝90°.又易知AD＝4 cm， 所以DD1＝＝3(cm)， 即正六棱柱的侧棱长为3 cm. 11．长方体的六个面的面积之和为11，12条棱的长度之和为24，则这个长方体的体对角线长为(　　) A．2 B． C．5 D．6 解析：选C.设长方体共顶点的三条棱的长分别为a，b，c，则有由②得a＋b＋c＝6.两边平方，整理得a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ac)＝36，故a2＋b2＋c2＝25.所以这个长方体的体对角线长为＝5. 12．用一个平面去截一个正方体，截面边数最多是________． 解析：如图，所得截面分别为六边形、五边形、四边形、三角形． 答案：6 13．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝BC＝，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F分别为AA1，C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F的最短路径的长度为__________． 解析：由题意得，直三棱柱底面为等腰直角三角形． ①若把面ABB1A1和面BCC1B1展开在同一个平面内(图略)，则线段EF在Rt△A1EF中，由勾股定理得 EF＝＝＝. ②若把面ABB1A1和面A1B1C1展开在同一个平面内，设BB1的中点为G(图略)，在Rt△EFG中，由勾股定理得EF＝＝＝. ③若把平面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过点F作与CC1平行的直线，过点E作与AC平行的直线，所作两线交于点H(图略)，则EF在Rt△EFH中，由勾股定理得EF＝＝＝. 综上可得从E到F的最短路径的长度为. 答案： 14．(13分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路线长为.设这条最短路线与CC1的交点为N，求该三棱柱的侧面展开图的对角线的长及PC的长． 解： 正三棱柱ABC－A1B1C1的侧面展开图是一个长为9，宽为4的矩形，其对角线长为＝.将正三棱柱的面BCC1B1和面CAA1C1展开，如图所示，设PC＝x，则PA＝3＋x，因为M为AA1中点，所以AM＝2，在Rt△MAP中，PM2＝AM2＋AP2，即()2＝22＋(3＋x)2，解得x＝2(负值已舍去)，所以PC＝2. 15．(13分)如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值． 解：把长方体的部分面分别按A1B1，B1B，BC展开，如图所示． 对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为，，， 由此可见乙是最短路线，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为. 学科网（北京）股份有限公司 $