11.1.3 多面体与棱柱(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列关于棱柱的说法正确的是(　　) A．所有的面都是平行四边形 B．每一个面都不会是三角形 C．两底面平行，并且各侧棱也平行 D．被平面截成的两部分可以都是棱柱 解析　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形． B错误，棱柱的底面可以是三角形． C正确，由棱柱的定义易知． D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱． 答案　CD 2．下列说法中，正确的是(　　) A．棱柱的侧面可以是三角形 B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形 C．正方体的所有棱长都相等 D．棱柱的所有棱长都相等 解析　棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱长与底面边长并不一定相等，选项D错误． 答案　C 3．如图所示的图形中，是正方体表面展开图的是(　　) 解析　由正方体表面展开图的特点知A是正方体的表面展开图；B折叠后第一行两个面无法折起来，故不能折成正方体；C缺少一个正方形；D折叠后有两个面重合，另外还少一个面，故不能折成正方体． 答案　A 4．将一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了(　　) A．6a2　　　　　　　 B．12a2 C．18a2 D．24a2 解析　原来正方体的表面积为S1＝6a2，切割成27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为a，表面积为6×2＝a2，总表面积S2＝27×a2＝18a2，所以增加的表面积为S2－S1＝12a2. 答案　B 5．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长相等且和为60 cm，则每条侧棱长为________cm. 解析　该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，所以每条侧棱长为12 cm. 答案　12 6．如图所示，关于该几何体的说法正确的有____．(填序号) ①这是一个六面体； ②这是一个四棱柱； ③此几何体可由三棱柱截去一个三棱柱得到； ④此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱得到． 解析　①正确，因为有六个面，属于六面体的范畴；②正确，若把几何体放倒就会发现是一个四棱柱；③④都正确，如图所示． 答案　①②③④ 7．如图所示，已知一个直四棱柱的侧棱长为6，底面是对角线长分别是9和13的菱形，则这个四棱柱的侧面积是________． 解析　如图，连接AC，BD，交点为O， 则对角线AC＝13，BD＝9，所以AO＝AC＝，BO＝BD＝， 因为直四棱柱的底面是菱形，所以AC⊥BD， 所以AB＝＝＝， 所以直四棱柱的侧面积S＝4××6＝60. 答案　60 8.如图所示，三棱柱ABCA1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由． 解析　截面以上的几何体是三棱柱AEFA1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFCB1HGC1. [关键能力·综合提升] 9．下列说法中正确的是(　　) A．四棱柱是平行六面体 B．六个面都是矩形的六面体是长方体 C．直平行六面体是长方体 D．底面是矩形的四棱柱是长方体 解析　由棱柱的定义可以知道，所有棱柱的侧面都是平行四边形，但底面多边形可以是任意凸多边形，即四棱柱的底面只要是一个四边形就可以，而平行六面体则要求底面是一个平行四边形，故A不正确；直平行六面体是在平行六面体的基础上，对侧棱与底面有了垂直的要求，但底面仍可以是平行四边形，故C不正确；底面是矩形的四棱柱的侧棱不一定垂直底面，故D不正确，故选B. 答案　B 10．如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 解析　沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′(如图)． 由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过点M到达C1的路线最短． 所以最短路线长为BC1＝＝2. 答案　B 11．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与BD1既不相交又不平行的棱有(　　) A．3条 B．4条 C．6条 D．8条 解析　在平面A1B1C1D1上的四条棱中有A1B1，B1C1，在平面ABCD上的四条棱中有AD，CD，上下两底面之间的四条棱中，有AA1，CC1，故与BD1既不相交又不平行的棱共有6条． 答案　C 12．在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，∠BB1C1＝90°，侧棱长为b，则其侧面积为(　　) A．ab B．ab C．(＋)ab D．ab 解析　如图，由已知条件可知，侧面AA1B1B和侧面AA1C1C为平行四边形，侧面BB1C1C为矩形． 在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝a， ∴BC＝a， ∴S矩形BCC1B1＝a·b＝ab. ∵∠AA1B1＝∠AA1C1＝60°，AB＝AC＝a， ∴点B到直线AA1的距离为asin 60°＝a. ∴S四边形AA1C1C＝S四边形AA1B1B＝ab，∴S侧＝2×ab＋ab＝(＋)ab. 答案　C 13.如图是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为所在棱的中点，D为正方体的顶点．若正方体的棱长为2，求封闭折线ABCDA的长． 解析　根据展开图，折叠得到正方体，如图所示， AB＋BC＋CD＋DA＝＋＋＋＝＋2＋， 即折线ABCDA的长为＋2＋. [核心价值·探索创新] 14．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共为(　　) A．20 B．15 C．12 D．10 解析　正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的2条对角线，五个平面共可得到10条对角线，故选D. 答案　D 15．有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的边长分别为3a,4a,5a(a>0)，且它们拼成一个三棱柱或四棱柱，若在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求实数a的取值范围． 解析　若拼成一个四棱柱，有以下三种情况：以含3a边的侧面相接，新四棱柱底面如图①；以含4a边的侧面相接，新四棱柱底面如图②；以含5a边的侧面相接，新四棱柱的底面如图③④. 相接的面积不在表面积中，故相接面的面积越大，得到的表面积越小， 所以上述三种情况中以含5a边的侧面相接时得到的四棱柱的表面积最小，此时表面积为S2＝4a×3a×2＋2×·(4a＋3a)＝24a2＋28. 若拼成一个三棱柱，则可将原三棱柱的底面相接，此时表面积为S1＝2××3a×4a＋2×(3a＋4a＋5a)＝12a2＋48.也可拼成底面形状如图⑤⑥的三棱柱．由拼成四棱柱情况知，图⑤⑥时的表面积不是最小的． 为使S2<S1，需24a2＋28<12a2＋48， 解得0<a<. 即a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$