11.1.1 空间几何体与斜二测画法 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

　 1．矩形的直观图是(　　) A．正方形 B．矩形 C．三角形 D．平行四边形 解析：选D.由直观图定义可知直观图不改变原图形的平行关系，也不改变平行于x轴的线段的长度，直观图会改变原图形的夹角以及平行于y轴的线段的长度，故矩形的直观图是平行四边形． 2．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是(　　) 解析：选C.由直观图的性质得原正方形的横向线段长度不变，纵向线段长度减半，横纵夹角变为，显然C正确．故选C. 3．如图所示是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中(　　) A．最短的是AC B．最短的是AB C．最短的是AD D．最长的是AD 解析： 选C.如图，因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC，又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC的中点，所以AB＝AC>AD.故选C. 4．在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，A(2，0)，B(2，2)，C(0，6).在用斜二测画法画出的直观图中，四边形O′A′B′C′的面积为(　　) A.4 B．4 C．8 D．8 解析：选A.由题意得，直角梯形OABC的面积为S＝×(2＋6)×2＝8，所以直观图中四边形O′A′B′C′的面积S′＝S＝×8＝4.故选A. 5．(2025·葫芦岛月考)如图，一个水平放置的平面图形的直观图A′B′C′D′是边长为2的菱形，且O′D′＝2，则原平面图形的周长为(　　) A．4＋4 B．4＋4 C．8 D．8 解析：选B. 由题可知O′D′＝A′D′＝2，∠A′O′D′＝45°， 所以O′A′＝2，还原直观图可得原平面图形，如图， 则OD＝2O′D′＝4，OA＝O′A′＝2，AB＝DC＝2， 所以AD＝＝＝2， 所以原平面图形的周长为4＋4.故选B. 6．(多选)如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形A′B′C′D′，已知A′B′＝2C′D′＝4，则(　　) A．A′D′＝ B．BC＝2 C．四边形ABCD的周长为6＋2＋2 D．四边形ABCD的面积为6 解析：选ACD. 由已知等腰梯形中，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2C′D′＝4，所以A′D′＝，由斜二测画法得，在原图直角梯形ABCD中，AB＝2CD＝4，AD＝2，∠BAD＝90°，易得BC＝2，所以四边形ABCD的周长为6＋2＋2，面积为×2＝6.故选ACD. 7．在斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4，4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为________． 解析：由直观图画法“横不变，纵折半”可得点M′的坐标为(4，2). 答案：(4，2) 8．已知水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，若A1C1＝2，△ABC的面积为2，则B1C1的长为__________． 解析：由斜二测画法的规则可知在△ABC中，BC⊥AC，AC＝2，则BC·AC＝2，即BC·AC＝4，所以BC＝2，则B1C1＝. 答案： 9．如图，四边形A′B′C′D′是一水平放置的平面图形的直观图，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，C′D′＝4，B′C′＝2，则原平面图形的实际面积是__________． 解析：由题意及斜二测画法的作图规则知，原平面图形是直角梯形，且AB＝A′B′＝6，CD＝C′D′＝4，高BC＝4，故所求面积S＝×(4＋6)×4＝20. 答案：20 10．(13分)如图所示，在△ABC中，AC＝12 cm，AC边上的高DB＝12 cm. (1)画出水平放置的△ABC的直观图；(6分) (2)求直观图的面积．(7分) 解：(1)①以D为原点，AC所在直线为x轴，DB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图1， ②画出对应的x′，y′轴，使∠x′D′y′＝45°， 在x′轴上取点A′，C′，使D′A′＝DA，D′C′＝DC， 在y′轴上取点B′，使D′B′＝DB， 连接A′B′，C′B′，则△A′B′C′即为△ABC的直观图，如图2. (2)在图2中，作B′E⊥A′C′，E为垂足， 因为D′B′＝DB＝6，∠B′D′E＝45°， 所以B′E＝6×＝3， 所以S△A′B′C′＝×A′C′×B′E＝×12×3＝18(cm2). 11．(2025·潍坊期末)已知一个菱形的边长为4 cm，一个内角为60°，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，则此菱形的直观图的面积为(　　) A．8 cm2 B．4 cm2 C．2 cm2 D． cm2 解析：选C.由题意及余弦定理可知，较长的对角线的长度是＝4(cm)，易知较短的对角线的长度是4 cm，则菱形直观图的面积S＝×4×4×＝2 (cm2).故选C. 12．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为(　　) A．下底长为1＋的等腰梯形 B．下底长为1＋2的等腰梯形 C．下底长为1＋的直角梯形 D．下底长为1＋2的直角梯形 解析：选C.因为平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，所以B′C′＝1＋，所以平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底长为1，下底长为1＋，只有C项满足． 13．已知两个底面半径相等的圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为________cm. 解析： 其直观图如图所示，由图可得，直观图中这两个顶点之间的距离为5 cm. 答案：5 14．(13分)画出一个底面边长为1.5 cm，高为2.5 cm的正六棱柱的直观图． 解：(1)画轴．如图1，画x，y，z轴，三轴相交于点O，使得∠xOy＝45°，∠xOz＝90° . (2)画底面．在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC＝3 cm，在y轴上以O为中点取线段GH，使GH＝ cm ，分别过点G，H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G，H为中点截取AB＝1.5 cm，ED＝1.5 cm，连接BC，CD，EF，FA，则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图． (3)画侧棱．在z轴正半轴上取线段OO′，使OO′＝2.5 cm，过A，B，C，D，E，F各点作z轴的平行线， 在这些平行线上分别截取2.5 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′ . (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得到所要求作的正六棱柱的直观图如图2. 15．(15分)有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，∠A′B′C′＝45°，D′C′⊥A′D′，A′B′＝A′D′＝1 m，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(≈1.414，结果精确到1元) 解：在直观图中，过点A′作A′E⊥B′C′，垂足为点E，如图所示． 则在Rt△A′B′E中，A′B′＝1 m， ∠A′B′E＝45°， 所以A′E＝B′E＝ m， 又四边形A′EC′D′为矩形，A′D′＝1 m， 所以EC′＝1 m， 则B′C′＝B′E＋EC′＝(＋1) m， 由此可得S直观图＝(A′D′＋B′C′)·A′E＝×(1＋＋1)×＝(＋) m2， 设这块菜地面积为S，则S∶S直观图＝2∶1， 所以S＝(2＋)m2， 故这块菜地所产生的总经济效益是300×(2＋)≈812(元). 学科网（北京）股份有限公司 $