10.3 复数的三角形式及其运算 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．在下列各数中，已表示成三角形式的复数是(　　) A.4 B.4 C.4 D.－4 解析：选B.复数的三角形式为z＝r(cos θ＋isin θ)，r≥0，结合选项知B满足．故选B. 2．若复数z＝(a＋i)2的辐角的主值是，则实数a的值为(　　) A.1 B．－1 C.－ D．－ 解析：选B.z＝(a＋i)2＝a2－1＋2ai，arg z＝，所以 所以a＝－1. 3．2(cos 75°＋isin 75°)×＝(　　) A.－＋i B．＋i C.－i D．＋i 解析：选B.因为－i＝(－i)＝(cos 315°＋isin 315°)，所以2(cos 75°＋isin 75°)×＝2(cos 75°＋isin 75°)×(cos 315°＋isin 315°)＝(cos 390°＋isin 390°)＝＋i.故选B. 4．设A，B，C是△ABC的内角，z＝(cos A＋isin A)÷(cos B＋isin B)·(cos C＋isin C)是一个实数，则△ABC是(　　) A.不等边的锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析：选C.由题意知arg z＝A－B＋C＝π－2B＝0，则B＝. 5．已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z为(　　) A.1＋i B．2 C.－1－i D．－1＋i 解析：选D.设复数z＝x＋yi(x，y∈R)，因为向量与实轴正向的夹角为120°且复数z的模为2， 所以x＝||cos 120°＝2×＝－1， y＝||sin 120°＝2×＝， 所以z＝－1＋i.故选D. 6．(多选)已知单位向量，分别对应复数z1，z2，且·＝0，则可能为(　　) A.i B．1 C．－1 D．－i 解析：选AD.因为单位向量，分别对应复数z1，z2，设复数z1＝cos θ1＋isin θ1，z2＝cos θ2＋isin θ2，因为·＝0，所以⊥，即θ1－θ2＝±，所以＝＝cos (θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)＝cos ＋isin＝±i.故选AD. 7．复数的三角形式为_______________________________． 解析：＝＝－－i＝(－－i)＝(cos ＋isin ). 答案：(cos ＋isin ) 8．已知复数z满足等式||＝，且arg z＝，则z＝________．(用代数形式表示) 解析：设z＝r(cos ＋isin )＝r＋ri(r>0)， 则＝||＝＝.　 即3r2－4r＋4＝0， 所以r＝，所以z＝1＋i. 答案：1＋i 9．如图，向量对应的复数为－1＋i，把绕点O按逆时针方向旋转150°，得到，则向量对应的复数为__________．(用代数形式表示) 解析：向量对应的复数为(－1＋i)·(cos 150°＋isin 150°)＝(－1＋i)·(－＋i)＝－i. 答案：－i 10．(13分)计算： (1)3×2；(4分) (2)(－＋i)×；(4分) (3)(1－i)÷.(5分) 解：(1)3×2(cos －isin ) ＝6(cos ＋isin )× ＝6＝3－3i. (2)× ＝×[cos ＋isin] ＝cos ＋isin ＝i. (3)(1－i)÷ ＝[cos (－)＋isin(－)]÷(cos ＋isin ) ＝[cos (－－)＋isin]＝[(×－×)－i]＝－i. 11．已知z＝(1－i)×，则arg z＝(　　) A． B． C． D． 解析：选B.z＝(1－i)×(－cos ＋isin )＝(1－i)×＝－＋i＋×i－i2＝2i＝2， 所以arg z＝.故选B. 12．(多选)已知在正方形OABC中，O是坐标原点，且点B在x轴的上方，向量对应的复数为2＋i，则(　　) A.点B对应的复数为1＋3i B.向量对应的复数为－1＋2i C.向量对应的复数为1＋2i D.||＝ 解析：选ABD.把绕点O按逆时针方向旋转45°，再把模变为原来的倍即得，故向量对应的复数为(2＋i)·(cos 45°＋isin 45°)＝(2＋i)(1＋i)＝1＋3i，即点B对应的复数为1＋3i，选项A正确； 把向量绕点O按逆时针方向旋转90°即得向量，故对应的复数为(2＋i)·(cos 90°＋isin 90°)＝(2＋i)i＝－1＋2i，选项B正确； 对应的复数为对应的复数减去对应的复数， 即(－1＋2i)－(1＋3i)＝－2－i，选项C不正确； ||＝||＝，选项D正确． 13．在复平面上，一个正方形的四个顶点按逆时针方向依次为Z1，Z2，Z3，O(其中O是原点)，已知Z1对应复数z1＝1＋i.若Z3对应的复数为z3，则Z1和Z3对应的复数的乘积z1z3＝__________． 解析： 由题意得|z3|＝|z1|＝2， 复平面上线段OZ1与x轴正半轴的夹角为，则线段OZ3与x轴正半轴的夹角为， 所以z3＝2＝－＋i， 所以z1z3＝(1＋i)(－＋i)＝－2－2i. 答案：－2－2i 14．(13分)如图，若与分别表示复数z1＝1＋2i，z2＝7＋i，求∠Z2OZ1，并判断△OZ1Z2的形状． 解：欲求∠Z2OZ1，可计算. 因为＝＝＝ ＝(cos ＋isin )， 所以∠Z2OZ1＝且＝. 设|OZ1|＝k，|OZ2|＝2k(k>0)， 由余弦定理，得|Z1Z2|2＝k2＋(2k)2－2k·2k·cos ＝3k2， 所以|Z1Z2|＝k，又k2＋(k)2＝(2k)2， 所以△OZ1Z2为有一锐角为的直角三角形． 15．(13分)设复数z1＝＋i，复数z2满足|z2|＝2，且z1·z在复平面内对应的点在虚轴的负半轴上，且arg z2∈(0，π)，求z2的代数形式． 解：因为z1＝＋i＝2(cos ＋isin )， 设z2＝2(cos α＋isin α)，α∈(0，π)， 所以z1·z＝2(cos ＋isin )×4(cos 2α＋isin 2α)＝8[cos (2α＋)＋isin (2α＋)]. 由题设知2α＋＝2kπ＋(k∈Z)， 所以α＝kπ＋(k∈Z). 又α∈(0，π)，所以α＝， 所以z2＝2(cos ＋isin )＝－1＋i. 学科网（北京）股份有限公司 $