10.3复数的三角形式及其运算 同步练习-2024-2025学年高一下学期人教B版数学必修第四册

10.3　复数的三角形式及其运算 基础过关练 考点一　复数的三角形式与辐角主值 1.复数z=-sin+icos的辐角主值为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 2.下列复数中与复数z=相等的是(　　) A.cos+isin　　　　B.cos+isin C.sin+icos　　　　D.cos+isin 3.复数z=-1+的辐角主值为　　　　.  4.下列各复数是不是三角形式?若不是,化为三角形式. (1)z1=-2(cos θ+isin θ);(2)z2=cos θ-isin θ; (3)z3=-sin θ+icos θ;(4)z4=-sin θ-icos θ; (5)z5=cos 60°+isin 30°. 考点二　复数三角形式的乘、除运算 5.复数z=2÷的三角形式是(　　) A. B. C. D. 6.任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ) (r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:[r(cos θ+isin θ)]n=rn[cos(nθ)+isin(nθ)](n∈Z),我们称这个结论为棣莫弗定理.则=(　　) A.1　　　　B.22 025　　　　C.-22 025　　　　D.i 7.复数cos+isin经过n次乘方后,所得的复数等于它的共轭复数,则n的值等于(　　) A.3 B.12 C.6k-1(k∈Z) D.6k+1(k∈Z) 8.设复数2-i和3-i的辐角主值分别为α和β,则α+β等于(　　) A.135°　　　　B.315° 　　　　C.675°　　　　D.585° 9.计算:=　　　　.  考点三　复数乘除法的几何意义及应用 10.设复数z1,z2对应的向量分别为,,O为坐标原点,且z1=-+i,若把绕原点顺时针旋转,把绕原点逆时针旋转,所得两向量的终点重合,则z2=(　　) A.1-i　　　　B.-1+i　　　　C.-i　　　　D.-+i 11.在平面直角坐标系中,设O是坐标原点,向量=,将绕O点顺时针旋转得到向量,则点B的坐标是　　　　.  答案 基础过关练 1.C　因为-sin<0,cos>0,所以z=-sin+icos的辐角主值为arctan+π=-+π=. 2.B　z===-+i=cos+isin. 3.答案　 解析　因为=i,所以=i2 025=i, 所以z=-1+i=, 所以复数z的辐角主值为. 4.解析　(1)由“模非负”知,不是三角形式. z1=-2(cos θ+isin θ)=2(-cos θ-isin θ)=2[cos(π+θ)+ isin(π+θ)]. (2)由“加号连”知,不是三角形式. z2=cos θ-isin θ=cos(-θ)+isin(-θ)或z2=cos θ-isin θ= cos(2π-θ)+isin(2π-θ). (3)由“余弦前”知,不是三角形式. z3=-sin θ+icos θ=cos+isin. (4)不是三角形式. z4=-sin θ-icos θ=cos+isin. (5)不是三角形式. z5=cos 60°+isin 30°=+i=(1+i)=. 5.C　z=2÷= ==. 6.C　1-i=2=2, ∴=22 025[cos(-675π)+isin(-675π)]=-22 025. 7.C　由题意得=cos+isin=cos-isin.由复数相等的充要条件,得解得=2kπ-(k∈Z),所以n=6k-1(k∈Z). 8.C　(2-i)(3-i)=(cos α+isin α)×(cos β+isin β)= 5[cos(α+β)+isin(α+β)].(2-i)(3-i)=5-5i=5[cos(315°+ k·360°)+isin(315°+k·360°)](k∈Z), 故α+β=315°+k·360°(k∈Z). ∵α,β分别为复数2-i和3-i的辐角主值, ∴270°<α<360°,270°<β<360°, ∴540°<α+β<720°,∴α+β=675°. 9.答案　-i 解析　原式==× ===-i. 10.B　z1=-+i=2=2, 所以绕原点顺时针旋转后所得向量对应的复数为2=2(cos 0+isin 0)=2. 又绕原点逆时针旋转,所得两向量的终点重合, 所以z2=2, 所以z2==2=-1+i. 11.答案　 解析　设向量对应的复数是z,则z=-3cos+3isin=3,所以对应的复数是z·= 3·=3= -+i,所以点B的坐标是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $