10.2.2 复数的乘法与除法 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．化简：(1－i)2·i＝(　　) A．2－2i B．2＋2i C．－2 D．2 解析：选D.(1－i)2·i＝－2i2＝2. 2．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6，8)，位于第一象限． 3．(2023·全国乙卷)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 解析：选B.z＝＝＝＝1－2i，所以＝1＋2i. 4．已知z是纯虚数，是实数，则z＝(　　) A．2i B．i C．－i D．－2i 解析：选D.设z＝bi(b∈R，且b≠0)，则＝＝＝[(2－b)＋(2＋b)i]. 因为∈R，所以2＋b＝0， 解得b＝－2，所以z＝－2i. 5．在复数范围内，方程x2－4x＋5＝0的根是(　　) A．2＋i B．2－i C．2±i D．无解 解析：选C.因为Δ＝16－20＝－4，所以x＝＝2±i. 6．(多选)(2025·北京期中)若复数z＝，则(　　) A．z的共轭复数＝ B．＝ C．复数z的实部与虚部相等 D．复数z在复平面内对应的点在第四象限 解析：选ABD. z＝＝＝＝＝－. 对于A，＝＋＝，故A正确； 对于B，＝＝，故B正确； 对于C，z＝－，实部为，虚部为－，故C错误； 对于D，z＝－在复平面对应点的坐标为在第四象限，故D正确． 7．(2025·营口月考)已知z(1＋2i)＝4＋3i，则|z|＝________． 解析：方法一：由题意得z＝＝＝＝2－i，所以|z|＝. 方法二：由z(1＋2i)＝4＋3i，得|z|·|1＋2i|＝|4＋3i|，即|z|＝5，所以|z|＝. 答案： 8．在复平面内，复数z对应的点的坐标为(2，－1)，则z(＋i)＝__________． 解析：因为复数z对应的点的坐标为(2，－1)， 所以z＝2－i，则＝2＋i， 所以z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝4＋4i－2i－2i2＝6＋2i. 答案：6＋2i 9．(2024·上海卷)已知虚数z，其实部为1，且z＋＝m(m∈R)，则实数m为________． 解析：设z＝1＋bi，b∈R且b≠0. 则z＋＝1＋bi＋＝＋i＝m， 因为m∈R，所以解得m＝2. 答案：2 10．(13分)已知复数z＝. (1)求复数z；(6分) (2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．(7分)　 解：(1)z＝＝＝＝1＋i. (2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i， 得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i， 整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i， 所以解得 11．已知z＝()2 024＋()2 025，则在复平面内，复数所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A.因为z＝()2 024＋()2 025＝i2 024＋(－i)2 025＝i4－i5＝1－i，所以＝1＋i， 所以复数对应的点(1，1)在第一象限． 故选A. 12．(多选)若复数z在复平面内对应的点位于第一象限，则(　　) A．z2可能为实数 B．z2在复平面内对应的点可能位于第一象限 C．z2可能为纯虚数 D．z2在复平面内对应的点可能位于第二象限 解析：选BCD.由题设z＝a＋bi(a，b>0)， 所以z2＝(a2－b2)＋2abi， 因为a>0，b>0，所以ab>0，所以A不正确； 当a2>b2时，z2在复平面内对应的点位于第一象限，所以B正确； 当a2＝b2时，z2＝2abi为纯虚数，所以C正确； 当a2<b2时，z2在复平面内对应的点位于第二象限，所以D正确．故选BCD. 13．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________． 解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0， 即解得所以m＝4i. 答案：4i 14．(13分)已知复数z满足z(1＋i)＝4i. (1)求；(6分) (2)若z是方程x2＋ax＋b＝0(a∈R，b∈R)的一个根，求a＋b的值．(7分) 解：(1)由z(1＋i)＝4i得z＝＝＝2i(1－i)＝2＋2i，则＝2－2i. (2)由(1)知＝2－2i， 所以 解得 所以a＋b＝4. 15．(15分)在①z2＝10(a＞0)；②复平面上表示的点在一次函数x＋2y＝0的图象上；③z1(a－i)＞0.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 已知复数z1＝1＋i，z2＝a＋3i，i为虚数单位，满足________． (1)若z＝＋，求复数z以及|z|；(10分)　 (2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，求实数m的值．(5分) 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解：选条件①，因为z2＝a＋3i，所以z2＝a2＋9＝10， 解得a2＝1，又a＞0，所以a＝1. 选条件②，因为z1＝1＋i，z2＝a＋3i， 所以＝＝＋i，其在复平面内对应的点的坐标为(，)， 根据题中条件，有＋2×＝0，解得a＝1. 选条件③，因为z1＝1＋i， 所以z1(a－i)＝(1＋i)(a－i)＝(a＋1)＋(a－1)i＞0， 所以解得a＝1. (1)z＝＋＝＋＝－i， |z|＝＝1. (2)若z2是实系数一元二次方程x2＋mx＋4－3m＝0的根，则也是该方程的根，所以m＝－(z2＋)＝－(1＋3i＋1－3i)＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $