10.2.2 复数的乘法与除法(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1. (2024·全国甲卷·文)设z＝i，则z·＝(　　 ) A．－2　　　　　　　　 B． C．－ D． 2 解析　依题意得，＝－i，故z·＝－2i2＝2. 答案　D 2. (2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　 ) A．－1－i B．－1＋i C．1－i D． 1＋i 解析　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i. 答案　C 3．(2024·山东聊城高一期中)已知复数z满足(1－i)z＝3＋i，则在复平面内对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由题意知z＝＝＝1＋2i， 所以＝1－2i，所以在复平面内对应的点(1，－2)位于第四象限． 答案　D 4．(2024·浙江杭州期中)若复数z满足(3＋4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　 ) A．－4 B．－ C．－4i D．－i 解析　因为(3＋4i)z＝|4＋3i|＝＝5，所以z＝＝＝－i， 所以z的虚部为－. 答案　B 5．(2024·重庆高一期中)已知复数z满足|z|＝|z－2i|，且是纯虚数，试写出一个满足条件的复数z＝________. 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝|z－2i|， 可得a2＋b2＝a2＋(b－2)2，解得b＝1，又是纯虚数， 设＝ti(t∈R且t≠0)，则a－i＝－2t＋ati，则 解得a＝±，所以z＝＋i或z＝－＋i. 答案　＋i或－＋i(写出其中一个即可，答案不唯一) 6．(2023·天津卷)已知i是虚数单位，化简的结果为________． 解析　由题意可得＝＝＝4＋i. 故答案为4＋i. 答案　4＋i 7．已知m为实数，并且＋的实部与虚部相等，则m＝________. 解析　因为＋＝＋＝＋＝＋i， 由题意可得＝，解得m＝. 答案　 8．已知i是虚数单位，复数z满足z(3＋4i)＝－5＋10i. (1)求复数z的共轭复数； (2)若a∈R，且＝3，求实数a的值． 解析　(1)∵z(3＋4i)＝－5＋10i， ∴z＝＝＝＝1＋2i， ∴复数z的共轭复数 ＝1－2i. (2)＝＝＝i， ∴3＝i3＝－i， 又＝3，即|a－i|＝＝3， ∴a＝±2. [关键能力·综合提升] 9．在如图所示的复平面内，复数z1，z2，z3对应的向量分别是，，，则复数在复平面内对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　由题图，知z1＝3＋2i，z2＝－2＋2i，z3＝1－2i，则＝＝－－i，所以其在复平面内对应的点为，此点位于第三象限．故选C． 答案　C 10．(多选题)已知复数z1＝2＋i，z2＝1－2i，则下列说法正确的是(　　) A．z2的共轭复数不是z1 B．|z1|≠|z2| C．复数z1z2＝4－3i D．复数为纯虚数 解析　复数z1＝2＋i，z2＝1－2i， 对于A，复数z2的共轭复数＝1＋2i，不是z1，A正确； 对于B，|z1|＝＝＝＝|z2|，B错误； 对于C，z1z2＝(2＋i)(1－2i)＝4－3i，C正确； 对于D，＝＝＝＝－i是纯虚数，D正确，故选ACD. 答案　ACD 11．已知a，b∈R，且2＋ai，b＋i(i是虚数单位)是实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，则p，q的值分别是(　　) A．p＝－4，q＝5 B．p＝－4，q＝3 C．p＝4，q＝5 D．p＝4，q＝3 解析　由实系数方程虚根成对，知a＝－1，b＝2， ∴p＝－(x1＋x2)＝－4，q＝x1·x2＝4＋1＝5. 故选A． 答案　A 12．已知复数z1，z2是方程x2＋x＋1＝0的两个根，则＋＝________. 解析　由复数z1，z2是方程x2＋x＋1＝0的两个根，则不妨取z1＝，z2＝， 故＋＝＋＝－1－1＝－2. 答案　－2 13．设虚数z1，z2满足z＝z2，若z1，z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z1＋z2. 解析　因为z1，z2是一个实系数一元二次方程的两个根，z1，z2都是虚数， 所以z1，z2互为共轭虚数，由z＝z2，得z＝1. 设z1＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则(x＋yi)2＝x－yi， 即x2－y2＋2xyi＝x－yi， 所以，解得， 所以z1＋z2＝z1＋1＝2x＝2×＝－1. [核心价值·探索创新] 14．已知复数z1＝i－a，z2＝1－i，其中a是实数． (1)若z＝－2i，求实数a的值； (2)若是纯虚数，求＋2＋3＋…＋2 022的值． 解析　(1)复数z1＝i－a，则z＝(－a＋i)2＝(a2－1)－2ai＝－2i，又a是实数， 因此解得a＝1， 所以实数a的值是1. (2)复数z1＝i－a，z2＝1－i，a∈R，则＝＝＝＝＋i， 因为是纯虚数，于是解得a＝－1，因此＝i，又i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1， 则n∈N*，i4n－3＝i，i4n－2＝－1，i4n－1＝－i，i4n＝1，即有n∈N*，i4n－3＋i4n－2＋i4n－1＋i4n＝0， 所以＋2＋3＋…＋2 022＝505(i＋i2＋i3＋i4)＋i＋i2＝－1＋i. 15．已知复数z＝1＋mi(i是虚数单位，m∈R)，且·(3＋i)为纯虚数(是z的共轭复数)． (1)求实数m及|z|； (2)设复数z1＝，且复数z1对应的点在第二象限，求实数a的取值范围． 解析　(1)∵z＝1＋mi，∴＝1－mi， ∴(3＋i)＝(1－mi)(3＋i)＝(3＋m)＋(1－3m)i， ∵·(3＋i)为纯虚数，∴ 解得m＝－3， 故z＝1－3i，则|z|＝＝. (2)∵i2 027＝i4×506＋3＝i3＝－i， ∴z1＝＝＝＝＋i， ∵复数z1所对应的点在第二象限， ∴解得－<a<3， 故实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$