10.1.1 复数的概念 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．已知i为虚数单位，那么下列n的取值中，能使in＝1成立的是(　　) A.3 B．4 C.5 D．6 解析：选B.由i2＝－1，得i4＝i2×i2＝1. 2．下列各数－2－i，i，i2，0，(1－)i中，虚数共有(　　) A.5个 B．4个 C.3个 D．2个 解析：选C.复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时为虚数，故有3个虚数． 3．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是(　　) A.1－i B．1＋i C.－3＋3i D．3＋3i 解析：选A.因为－3＋i的虚部是1，3i＋i2＝－1＋3i，其实部为－1，所以所求复数是1－i. 4．已知a，b∈R，且a－1＋ai＝3＋2bi，则b＝(　　) A.1 B． C.2 D．4 解析：选C.由于a－1＋ai＝3＋2bi，所以解得 故选C. 5．若(2k2－3k－2)＋(k2－2k)i是纯虚数，则实数k＝(　　) A.0或2 B．2或－ C.－ D．2 解析：选C. 因为(2k2－3k－2)＋(k2－2k)i是纯虚数，所以解得k＝－. 6．(多选)(2025·大连期中)下列命题中错误的是(　　) A.若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数 B.若z∈C，则z2≥0 C.若a∈R，则ai为纯虚数 D.复数z＝a2－b2＋(a＋)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0 解析：选ABC. 对于A，当a＝0且b≠0时，z为纯虚数，故A错误； 对于B，当z＝i时，z2＝i2＝－1<0，故B错误； 对于C，当a≠0时，ai为纯虚数，故C错误； 对于D，z∈R，则a＋＝0，所以a≤0，故D正确． 7．若复数z＝(m2－16)＋(m2－3m－4)i为实数零，则实数m的值为__________． 解析：由题意得解得m＝4. 答案：4 8．若复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z＜0，则m＝__________． 解析：由复数z＝m＋(m2－1)i＜0，得解得m＝－1. 答案：－1 9．若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝__________． 解析：由题意知sin 2α＝0，1－cos 2α≠0， 所以2α＝2kπ＋π(k∈Z)，所以α＝kπ＋(k∈Z). 答案：kπ＋(k∈Z) 10．(13分)已知复数z＝a2－a－2＋(a2－3a－4)i(其中i为虚数单位，a∈R). (1)若复数z为纯虚数，求a的值；(6分) (2)若复数z>0，求a的值．(7分) 解：(1)由于z为纯虚数， 所以解得a＝2. (2)由于z与0可以比较大小，所以z为实数，且z>0，所以解得a＝4. 11．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则(　　) A.a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C.a≠－1 D．a≠2 解析：选C.根据题意，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1. 12．欧拉恒等式eiπ＋1＝0(其中i为虚数单位，e为欧拉常数)是欧拉公式eix＝cos x＋isin x的特例，即当x＝π时，eiπ＝cos π＋isin π＝－1，得eiπ＋1＝0.根据欧拉公式，ei表示的复数是(　　) A.＋i B．－＋i C.－－i D．－i 解析：选A.由题意，ei＝cos ＋isin＝＋i. 13．已知z1＝m－3＋(m2＋m－2)i，z2＝2m－4＋(m2＋m－2)i，且z1>z2，则实数m＝__________． 解析：由题意知z1，z2均为实数，则m2＋m－2＝0，即m＝1或m＝－2.又z1>z2，则m－3>2m－4，则m<1，故m＝－2. 答案：－2 14．(13分)已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i，8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}满足M∩N≠∅，求整数a，b. 解：依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，① 或8＝(a2－1)＋(b＋2)i，② 或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i.③ 由①得a＝－3，b＝±2， 由②得a＝±3，b＝－2. ③中，a，b无整数解不符合题意． 综上所述得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2或a＝－3，b＝－2. 15．(15分)(1)设x，y，a∈R，z1＝(x2－ax)＋5i，z2＝(x－4)－(ay2＋4y－1)i，若对所有x，y，都有z1≠z2，求实数a的取值范围；(7分)　 (2)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．(8分) 解：(1)若存在x，y，使得z1＝z2，则 即 故解得a≤－5， 故若对所有x，y，都有z1≠z2，则实数a的取值范围为(－5，＋∞). (2)设方程的实根为x＝m，则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， 所以解得 或所以a＝11或a＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $