10.1.1 复数的概念(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第四册（人教B版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(2024·安徽芜湖高一期中)若复数(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，则a等于(　　 ) A．1　　　　　　　 B．－1 C．±1 D．不存在 解析　因为(a2－1)＋(a－1)i(a∈R)是实数，所以a－1＝0，解得a＝1，故选A． 答案　A 2．若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数z＝a＋bi的虚部为(　　 ) A．－i B．－1 C．2i D．2 解析　因为2＋ai＝b－i，故b＝2，故复数z＝a＋bi的虚部为2，故选D. 答案　D 3．(多选题)已知复数z＝x＋yi，(x，y∈R)，则下列结论正确的是(　　) A．z的实部是x B．z的虚部是yi C．若z＝1＋2i，则x＝1，y＝2 D．当x＝0且y≠0时，z是纯虚数 解析　复数z＝x＋yi，(x，y∈R)， 则z的实部是x，虚部为y，故A正确，B错误； 若z＝x＋yi＝1＋2i，则x＝1，y＝2，故C正确； 当x＝0且y≠0时，z＝yi是纯虚数，故D正确． 答案　ACD 4．复数z＝m(m－1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为(　　) A．1 B．0 C．－1 D．0或1 解析　因为z为纯虚数，所以⇒m＝0，故选B. 答案　B 5．若x2－3x－2＋(x2＋2x)i>2，则实数x的集合是________． 解析　由题意得∴x＝－2. 答案　{－2} 6．已知i是虚数单位，给出下列命题： ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②两个虚数不能比较大小； ③若a，b∈R，且a>b，则bi2>ai2. 其中，正确命题的序号是________． 解析　对于复数a＋bi(a，b∈R)， 当a＝0且b≠0时为纯虚数． 在①中，若a＝－1， 则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误； 显然②正确．因为i2＝－1，且a>b， 所以bi2>ai2，故③正确． 答案　②③ 7．如果(m2－1)＋(m2－2m)i>1，则实数m的值为________． 解析　由题意得解得m＝2. 答案　2 8．关于x的方程x2＋(2a－i)x－ai＋1＝0有实根，求实数a的值． 解析　设x0为方程的实根，则x＋(2a－i)x0－ai＋1＝0， 所以x＋2ax0＋1－(x0＋a)i＝0， 所以 所以(－a)2－2a2＋1＝0，得a2＝1，所以a＝±1. [关键能力·综合提升] 9．(多选题)若关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，则实数a可以等于(　　) A．11 B．－ C． D．－ 解析　设方程的实根为x＝m， 则3m2－m－1＝(10－m－2m2)i， ∴ 解得a＝11或a＝－.故选A，B. 答案　AB 10．复数4－3a－a2i与a2＋4ai相等，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4 解析　由题意知解得a＝－4. 答案　C 11．已知m，n∈R，z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则m＝________，n＝________. 解析　∵z1＝z2，∴ 解得或即m＝2，n＝±2. 答案　2　±2 12．已知x2－y2＋2xyi＝2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为________． 解析　∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴解得(舍)或 答案　1,1 13．已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R)． (1)若z1为纯虚数，求实数m的值； (2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围． 解析　(1)∵z1为纯虚数，则 解得m＝－2. (2)由z1＝z2，得 ∴λ＝4－cos2θ－2sin θ＝sin2θ－2sin θ＋3 ＝(sin θ－1)2＋2. ∵－1≤sin θ≤1， ∴当sin θ＝1时，λmin＝2； 当sin θ＝－1时，λmax＝6. ∴实数λ的取值范围是[2,6]． [核心价值·探索创新] 14．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于(　　) A．3＋i B．3－i C．－3－i D．－3＋i 解析　由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0， 所以解得 所以z＝3－i. 答案　B 15．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}，且M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b的值． 解析　若M∩N＝{3i}，则(a＋3)＋(b2－1)i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，得a＝－3，b＝±2. 当a＝－3，b＝－2时， M＝{3i,8}，N＝{3i,8}，M∩N＝M，不合题意； 当a＝－3，b＝2时，M＝{3i,8}，N＝{3i,8＋4i}， 符合题意． ∴a＝－3，b＝2. 若M∩N＝{8}，则8＝(a2－1)＋(b＋2)i， 即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2. 当a＝－3，b＝－2时，不合题意； 当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i,8}，N＝{3i,8}，符合题意． ∴a＝3，b＝－2.若M∩N＝{(a＋3)＋(b2－1)i}＝{(a2－1)＋(b＋2)i}， 则，即， 此方程组无整数解． 综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$