9.1.2 第1课时 余弦定理 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝5，b＝8，C＝，则c＝(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：选C.由余弦定理知c2＝a2＋b2－2ab cos C＝25＋64－2×5×8×cos ＝49，得c＝7(负值已舍去). 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，则B＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 解析：选C.由a∶b∶c＝2∶∶(＋1)可设a＝2t，b＝t，c＝(＋1)t(t>0)，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，又0°<B<180°，则B＝60°. 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝7，A＝，5b＝8c，则△ABC的周长为(　　) A．12 B．20 C．16 D．17 解析：选B.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝49，联立解得(b，c均大于0)，所以a＋b＋c＝20. 4．(2025·营口期中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＝－1，则A＝(　　) A．120° B．45° C．60° D．30° 解析：选A.因为＝－1，所以a2－(b＋c)2＝－bc，即a2－b2－c2－2bc＝－bc，所以a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理的推论得cos A＝＝－.因为0°<A<180°，所以A＝120°.故选A. 5．(2025·大连月考)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，D是BC的中点，则AD＝(　　) A． B． C． D． 解析：选C.由题意知，BD＝BC＝2，在△ABC中，由余弦定理的推论得cos B＝＝＝，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD cos B＝32＋22－2×3×2×＝，由AD>0，得AD＝. 6．(多选)(2025·济南期中)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法正确的是(　　) A．若B>C，则b>c B．sin (A＋C)＝sin B C．若b2＋c2>a2，则△ABC是锐角三角形 D．若b2＋c2<a2，则△ABC是钝角三角形 解析：选ABD.对于A，在△ABC中，B>C，则b>c，A正确；对于B，sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，B正确；对于C，由b2＋c2>a2，得cos A＝>0，则A是锐角，但B，C是否都是锐角无法确定，C错误；对于D，由b2＋c2<a2，得cos A＝<0，则A是钝角，△ABC是钝角三角形，D正确． 7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝2，c＝2，A＝，且b<c，则b＝__________． 解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A， 即4＝b2＋12－6b，即有b2－6b＋8＝0， 解得b＝2或b＝4，又b<c，所以b＝2. 答案：2 8．在△ABC中，sin ＝，BC＝2，AC＝5，则AB＝____________． 解析：由已知及二倍角公式可得cos C＝1－2sin2＝－，在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则有a＝2，b＝5，由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab cosC＝22＋52－20×(－)＝41，则c＝，即AB＝. 答案： 9．(2025·日照月考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos C＝a(2－c)，且B＝，则a＝________． 解析：因为2b cos C＝a(2－c)，两边同时乘以a得2ab cos C＝a2(2－c)，由余弦定理可得a2＋b2－c2＝2ab cos C，则a2＋b2－c2＝a2(2－c)，所以有a2＋c2－b2＝a2c，又a2＋c2－b2＝2ac cos B，所以a2c＝2ac cos B，故a＝2cos B，又因为B＝，所以a＝1.　 答案：1 10．(13分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2＋cosA＝0. (1)求A的大小；(6分) (2)若a＝2，b＝2，求c的值. (7分) 解：(1)因为cos A＝2cos2－1，2cos2＋cosA＝0， 所以2cos A＋1＝0，所以cos A＝－， 又0°<A<180°，所以A＝120°. (2)由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bc cos A， 又a＝2，b＝2，cos A＝－， 所以(2)2＝22＋c2－2×2×c×(－)， 化简，得c2＋2c－8＝0，解得c＝2或c＝－4(舍去). 11．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设向量p＝(a＋c，c＋b)，q＝(c－a，b).若p⊥q，则角A的大小为(　　) A． B． C． D． 解析：选A.由p⊥q可得p·q＝0，即(a＋c，c＋b)·(c－a，b)＝c2－a2＋bc＋b2＝0，所以c2＋b2－a2＝－bc，因此cos A＝＝＝－，又A∈(0，π)，所以A＝. 12．(多选)一个锐角三角形的三边长分别为a，b，c，则a，b，c 的值可能为(　　) A．a＝4，b＝5，c＝6 B．a＝log64，b＝log69，c＝21.1 C．a＝3，b＝5，c＝6 D．a＝4，b＝6，c＝5 解析：选AD.锐角三角形的三边长为a，b，c，其充要条件为最大角的余弦值大于零．结合三角形大边对大角可知，较小两边的平方和大于第三边的平方即可判断三角形为锐角三角形．所以对于A，42＋52>62，符合题意；对于B，log64＋log69＝2<21.1，不能构成三角形的三条边，不符合题意；对于C，32＋52<62，不符合题意；对于D，42＋62>(5)2，符合题意．故选AD. 13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝x，b＝2，B＝45°，若符合条件的三角形有两个，则实数x的取值范围是____________．　 解析：在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，由余弦定理得4＝c2＋x2－2cx×，即c2－cx＋x2－4＝0.因为符合条件的三角形有两个，所以关于c的方程有两个正根，所以解得2<x<2. 答案：(2，2) 14．(13分)(2025·大连月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2(－A)＋cosA－＝0. (1)求cos A；(6分) (2)若c－a＝，证明：△ABC是直角三角形．(7分) 解：(1)由cos2(－A)＋cosA－＝0， 可得sin 2A＋cos A－＝0， 即cos 2A－cos A＋＝0， 整理得(cos A－)2＝0， 解得cos A＝. (2)证明：由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，因为c－a＝，所以a＝c－， 代入上式可得c2－bc＋b2＝b2＋c2－bc，化简得c＝b. 又a＝c－＝，则c2＝a2＋b2， 故△ABC是直角三角形． 15．(15分)在△ABC中，BC＝4，AC＝6，cos C＝. (1)求证：B＝2A；(7分) (2)若＝λ，BD＝，求实数λ的值．(8分) 解：(1)证明：在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos C＝36＋16－27＝25，所以AB＝5， 又cos B＝＝＝， cos A＝＝＝， 所以cos 2A＝2cos2A－1＝2×()2－1＝， 所以cosB＝cos 2A， 由题意知0<A<B<π，所以0<A<，0<2A<π，0<B<π，所以B＝2A. (2) 因为＝λ，BD＝<4， 所以点D在AC上，即0<λ<1. 由(1)知cos A＝，设AD＝x， 在△ABD中，由余弦定理知BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD cos A， 化简得2x2－15x＋22＝0，得x＝或x＝2. 当x＝2时，AD＝2，λ＝； 当x＝时，AD＝，λ＝. 综上所述，λ＝或λ＝. 学科网（北京）股份有限公司 $