9.2 正弦定理与余弦定理的应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．已知两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的(　　) A．北偏东10°方向上 B．北偏西10°方向上 C．南偏东80°方向上 D．南偏西80°方向上 解析： 选D.作出图形，由条件及图可知，△ABC为等腰三角形，所以∠BAC＝∠ABC＝40°，又∠BCD＝60°， 所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°， 因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上．故选D. 2．如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据(　　) A．α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b 解析：选C.根据实际情况α，β都是不易测量的数据，在△ABC中，a，b可以测得，角γ也可测得，利用余弦定理AB2＝a2＋b2－2ab cos γ，可求解AB的长度． 3．如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若无人机的高度AD为15(＋1)，则峡谷的宽度BC为(　　) A．60 B．60(＋1) C．30 D．30(＋1) 解析：选A.由已知得∠ACB＝30°，∠ABD＝75°，所以CD＝＝15(3＋)，BD＝＝15(－1)，所以BC＝CD－BD＝60.故选A. 4．某条江的岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(　　) A．20 m B． m C．30 m D．30 m 解析：选C. 如图，过炮台顶部A作水平面的垂线，垂足为B， 设A处观测小船C的俯角为45°， A处观测小船D的俯角为30°， 连接BC，BD，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，可得BC＝AB＝30 m， 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，可得BD＝AB＝30 m， 在△BCD中，BC＝30 m，BD＝30 m，∠CBD＝30°，由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900. 所以CD＝30 m，即两船相距30 m．故选C. 5．(2025·南京月考)沪苏通长江公铁大桥(如图1)是中国自主设计建造、世界上首座跨度超千米的公铁两用斜拉桥．已知主塔AB垂直于桥面，一辆小汽车在行驶过程中，车内乘客两次仰望塔顶A的仰角分别为∠ADE＝30°，∠ACE＝45°(如图2)，设乘客眼睛离地面的距离为DM＝CN＝h，CD＝a(h>0，a>0).若D，C，E在同一水平高度，且AD，AC，AB在同一竖直平面内，则根据以上数据可计算主塔AB高为(　　) A．a＋h B．a＋h C．(＋1)a＋h D．(－1)a＋h 解析：选A.在Rt△ADE中，AE＝DE tan 30°＝DE，则DE＝AE，在Rt△ACE中，AE＝CEtan 45°＝CE，CD＝DE－CE＝AE－AE＝(－1)AE＝a，解得AE＝＝a，所以主塔AB＝AE＋BE＝a＋h. 6．(多选)(2025·济南月考)如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2 km，在某天10：00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC＝30°，5 min后该船行驶至B处，此时测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，则(　　) A．当天10：00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向 B．当天10：00时，该船距离观测点C的距离为 km C．当船行驶至B处时，该船距观测点C的距离为 km D．该船在由A行驶至B的这5 min内行驶了 km 解析：选ABD.对于A选项，∠ACD＝∠ACB＋∠BCD＝60°＋45°＝105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正确； 对于B选项，在△ACD中，∠ACD＝105°，∠ADC＝30°，则∠CAD＝45°. 由正弦定理，得AC＝＝，故B正确； 对于C选项，在△BCD中，∠BCD＝45°，∠CDB＝∠ADC＋∠ADB＝30°＋60°＝90°，则∠CBD＝45°，则BD＝CD＝2，于是BC＝2，故C不正确； 对于D选项，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos ∠ACB＝2＋8－2××2×＝6，即AB＝，故D正确．故选ABD. 7．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________km. 解析：在△ABC中，易得A＝30°， 由正弦定理＝， 得AB＝＝＝(km). 答案： 8．如图，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°方向，且与它相距4 n mile，则此船的航行速度是__________n mile/h. 解析：因为在△ABS中，∠BAS＝30°，BS＝4， 所以∠ASB＝75°－30°＝45°， 由正弦定理，得＝， 即AB＝＝＝8， 又因为从A到B处匀速航行的时间为 h，所以速度为＝16 n mile/h. 答案：16 9．如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山脚A处测得AC＝60 m，天文台最高处B的仰角为45°，天文台底部C的仰角为15°，则天文台BC的高为__________m. 解析：由题图可得B＝45°，∠BAC＝30°， 故BC＝＝＝30(m). 答案：30 10．(13分)如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图△ABC，其中∠ACB为直角，由于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据： ①BD＝1；②∠BDC＝；③∠BCD＝ .请根据以上数据求出△ABC的面积． 解：在△BCD中，由正弦定理得 ＝， 所以BC＝×，故BC＝， 因为tan ∠ABC＝tan (＋)＝＝2＋， ∠ACB＝， 所以AC＝BC·tan ∠ABC＝＋， 故S△ABC＝AC·BC＝＋. 11．如图，在山脚A处测得山顶P的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走a m到B，在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高h＝(　　) A．a m B． m C．a m D．a m 解析：选A.由题意知，∠PAQ＝30°，∠BAQ＝15°，∠PBC＝60°，AB＝a m，在△PAB中，∠PAB＝15°，∠BPA＝30°， 所以＝，所以PB＝a m， 所以h＝PC＋CQ＝a×sin 60°＋a sin 15°＝a(m)，故选A. 12．(2025·潍坊期中)如图，曲柄连杆机构中，曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞做直线往复运动．当曲柄在CB0位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在A0处．设连杆AB长100 mm，曲柄CB长35 mm，则曲柄自CB0按顺时针方向旋转53.2°时，活塞移动的距离(即连杆的端点A移动的距离A0A)约为(参考数据：sin 53.2°≈0.8，结果保留整数)(　　) A．17 mm B．18 mm C．19 mm D．20 mm 解析：选B.在△ABC中，AB＝100，CB＝35，∠ACB＝53.2°，因为sin 53.2°≈0.8， 所以cos 53.2°≈0.6.由余弦定理得 AB2＝CB2＋CA2－2CA·CB·cos 53.2°， 所以1002＝352＋CA2－2CA×35×0.6，整理得CA2－42CA－8 775＝0，解得CA＝117或CA＝－75(舍去). 所以A0A＝AB＋CB－CA＝100＋35－117＝18，即A0A约为18 mm. 13．如图，某直径为5海里的圆形海域上有四个小岛，已知小岛B与小岛C相距为5海里，cos A＝－.则小岛B与小岛D之间的距离为____________海里；小岛B，C，D所形成的三角形海域BCD的面积为__________平方海里． 解析：因为圆的内接四边形对角互补，所以cos C＝cos (π－A)＝－cos A＝>0，C为锐角，sin C＝＝，在△BCD中，由正弦定理得＝＝5，故BD＝3.在△BCD中，由余弦定理得(3)2＝CD2＋52－2CD·5×，整理得CD2－8CD－20＝0， (CD＋2)(CD－10)＝0，CD＝10(负值已舍去). 所以S△BCD＝CD·BC·sin C＝×10×5×＝15(平方海里). 答案：3　15 14．(15分)(2025·北京月考)如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4 m， 于是选择沿A→B→C路线清扫．已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2 m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处转向所用时间，10 s完成了清扫任务． (1)求B，C两处垃圾之间的距离；(精确到0.1 m)(8分) (2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值．(7分) 解：(1)由题意得AB＋BC＝0.2×10＝2， 设BC＝x，0<x<2， 则AB＝2－x，AC＝2－x＋0.4＝2.4－x， 由题意得A＝90°＋30°＝120°. 在△ABC中，由余弦定理的推论得cos A＝＝＝－， 解得x＝1.4或x＝5.2(舍去)，所以BC＝1.4，即B，C两处垃圾之间的距离为1.4 m.　 (2)由(1)知AB＝2－1.4＝0.6，AC＝2.4－1.4＝1，BC＝1.4， 所以cos B＝＝＝. 15．(15分)如图，已知两条公路AB，AC的交汇点A处有一所学校，现拟在两条公路之间的区域内建一个工厂P，在两公路旁M，N(异于点A)处设两个销售点，且满足∠BAC＝∠PMN＝75°，MN＝(＋)km，MP＝2 km，设∠AMN＝θ. (1)试用θ表示AM，并写出θ的取值范围；(7分) (2)当θ为多大时，工厂产生的噪声对学校的影响最小(即工厂与学校的距离最远).(8分) 解：(1)在△AMN中，由正弦定理得 ＝， 则AM＝4sin (75°＋θ)(0°<θ<105°). (2)连接AP(图略).在△APM中，由余弦定理得AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP cos ∠AMP＝16sin2(75°＋θ)＋12－16sin(75°＋θ)cos (75°＋θ)＝8[1－cos (2θ＋150°)]－8sin (2θ＋150°)＋12＝20－8[sin (2θ＋150°)＋cos (2θ＋150°)]＝20－16sin (2θ＋180°)＝20＋16sin 2θ(0°<θ<105°)， 当且仅当2θ＝90°，即θ＝45°，AP2取得最大值36，即AP取得最大值6. 所以当θ＝45°时，工厂产生的噪声对学校的影响最小． 学科网（北京）股份有限公司 $