9.1.2 第1课时 余弦定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

9.1.2 第1课时 余弦定理 [课时跟踪检测] 1.在△ABC中，已知B=120°，AC=，AB=2，则BC= (　　) A.1 B. C. D.3 解析:选D　由余弦定理，得cos 120°=.化简，得BC2+2BC-15=0，解得BC=3或BC=-5(舍去).故选D. 2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=，b=4，c=3，则B+C等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　在△ABC中，由余弦定理得cos A===，而0<A<π，则A=，所以B+C=π-A=. 3.(多选)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=2，c=2，cos A=，且b<c，则 (　　) A.b=2 B.b=2 C.B=60° D.B=30° 解析:选AD　由a2=b2+c2-2bccos A，得4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒(b-2)(b-4)=0，由b<c，得b=2.又a=2，cos A=，所以B=A=30°，故选A、D. 4.在△ABC中，A=60°，a2=bc，则△ABC一定是 (　　) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形 解析:选D　在△ABC中，因为A=60°，a2=bc，所以由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc，所以bc=b2+c2-bc，即(b-c)2=0，所以b=c，结合A=60°可得△ABC一定是等边三角形.故选D. 5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A+acos B=c2，a=b=2，则△ABC的周长为 (　　) A.7.5 B.7 C.6 D.5 解析:选D　∵bcos A+acos B=c2，∴由余弦定理可得b·+a·=c2.整理可得2c2=2c3，解得c=1.则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5. 6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=6，b=4，C=2B，则△ABC的面积为 (　　) A. B. C.3 D.2 解析:选C　∵=，sin C=sin 2B=2sin Bcos B，∴c===2bcos B，即cos B=.cos B==，解得c=2，∴cos B=.∵B∈(0，π)，∴sin B===，∴S△ABC=×6×2×=3. 7.(多选)△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列命题正确的是 (　　) A.若a2+b2<c2，则△ABC是钝角三角形 B.若a2+b2>c2，则△ABC是锐角三角形 C.若sin A=cos B，则△ABC是等腰三角形 D.若cos2=，则△ABC是直角三角形　 解析:选AD　对于A，由余弦定理，得cos C=<0，因为0<C<π，故角C为钝角，则△ABC是钝角三角形，故A正确；对于B，若a=4，b=5，c=3，显然满足a2+b2>c2，但此时△ABC是直角三角形，故B错误；对于C，若A=30°，B=60°，显然满足sin A=cos B，但此时△ABC是直角三角形，故C错误；对于D，由cos2=，可得=，即b=c·cos A，由余弦定理，得b=c·，整理得a2+b2=c2，△ABC是直角三角形，故D正确. 8.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若A=，a=4，则bc的最大值为 (　　) A.　　　 B.16　　　 C. 　　　 D.32 解析:选B　由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccos A，因为A=，a=4，所以16=b2+c2-bc.因为b2+c2≥2bc，所以16+bc≥2bc，即bc≤16，当且仅当b=c=4时等号成立. 9.(5分)在△ABC中，a=8，c=7，cos A=，则b=　　　　，∠C=　　　　.  解析:由余弦定理可得64=b2+49-2×b×7×=b2-2b+49，故b2-2b-15=0，故b=-3(舍去)或b=5，故cos∠C==，而∠C为三角形内角，故∠C=. 答案:5　 10.(5分)在△ABC中，若a2-b2=bc，sin C=2sin B，则A=　　　　.  解析:由sin C=2sin B，根据正弦定理，得c=2b，代入a2-b2=bc，得a2-b2=6b2，即a2=7b2.由余弦定理得cos A====.又∵0°<A<180°，∴A=30°. 答案:30° 11.(5分)已知2，4，a是一个锐角三角形的三边长，请写出一个a的值　　　.  解析:因为2，4，a是一个锐角三角形的三边长， 所以解得2<a<2，任取一个a的值4. 答案:4(答案不唯一) 12.(10分)在△ABC中，已知a-b=4，a+c=2b，且最大角为120°，求三边长. 解:由得∴a>b>c. ∴A=120°.∴a2=b2+c2-2bccos 120°. 即(b+4)2=b2+(b-4)2-2b(b-4)×， 即b2-10b=0，解得b=0(舍去)或b=10. 当b=10时，a=14，c=6. 13.(10分)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且asin A+bsin B=-bsin A+csin C. (1)求C；(5分) (2)若D为线段BC上一点，CD=，且△ACD的面积为，求线段AD的长.(5分) 解:(1)在△ABC中，由asin A+bsin B=-bsin A+csin C及正弦定理，得a2+b2-c2=-ab.由余弦定理得cos C==-.因为0<C<π，所以C=. (2)由(1)知，∠ACD=，由CD=，△ACD的面积为，得AC·sin=，解得AC=4. 由余弦定理得AD===. 14.(10分)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且=-. (1)求B的大小；(5分) (2)若b=，a+c=4，求a的值.(5分) 解:(1)由余弦定理，得cos B=， cos C=， ∴原式化为·=-， 整理，得a2+c2-b2+ac=0， ∴cos B===-. 又0<B<π，∴B=. (2)将b=，a+c=4，B=， 代入b2=a2+c2-2accos B，得 13=a2+(4-a)2-2a(4-a)cos， 即a2-4a+3=0.解得a=1或a=3. 15.(15分)已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=5，b=7. (1)若B=，求c；(6分) (2)设点M是边AB的中点，若CM=3，求△ABC的面积.(9分) 解:(1)在△ABC中，由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，得49=25+c2-2×5ccos， 整理得c2-5c-24=0，而c>0，所以c=8. (2)在△ACM中，由余弦定理得CA2=CM2+AM2-2CM·AMcos∠AMC， 在△BCM中，由余弦定理得CB2=CM2+BM2-2CM·BMcos∠BMC， 又AM=BM，∠AMC+∠BMC=π，两式相加得a2+b2=2(CM2+AM2)，即49+25=2(9+AM2)，解得AM=2，即c=2AM=4， 则cos C===-， sin C==，所以△ABC的面积S△ABC=absin C=×5×7×=6. 学科网（北京）股份有限公司 $