9.1.1 第2课时 正弦定理的应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C＝(　　) A.45°　　　　　　　　 B．15° C．45°或135° D．15°或105° 解析：选C.因为AB＝AC，由正弦定理得＝， 又因为B＝30°，所以sin C＝， 又因为AB>AC，所以C>B，所以C＝45°或C＝135°. 2．在△ABC中，b cos A＝a cos B，则三角形的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．锐角三角形 D.等腰三角形 解析：选D.由正弦定理得＝，因为b cos A＝a cos B，所以sin B cos A＝sin A cos B，即sin (B－A)＝0，又A，B为三角形内角，得B＝A.故选D. 3．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　) A． B． C． D．± 解析：选B.由正弦定理，得＝， 即＝，解得sin C＝， 因为AB<AC，所以C<B， 所以cos C＝＝. 4．在△ABC中，若b＝3，c＝，B＝45°，则此三角形解的情况为(　　) A．无解 B．两解 C．一解 D．一解或两解 解析：选C.由正弦定理，得＝，得sin C＝＝＝<＝sin B，因为c<b，则C<B，故C为锐角，满足条件的△ABC只有一个．故选C. 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“A＝B”是“sin A＝sin B”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.在△ABC中，若A＝B，则a＝b，由正弦定理＝，得sin A＝sin B，即充分性成立；若sin A＝sin B, 由正弦定理有＝，得a＝b，则A＝B，即必要性成立．综上可得“A＝B”是“sin A＝sin B”的充要条件． 6．(多选)下列条件中可以使△ABC有两个解的是(　　) A．b＝3，c＝4，B＝30° B．a＝5，b＝8，A＝30° C．c＝6，b＝3，B＝60° D．c＝9，b＝12，C＝60° 解析：选AB.对于A，因为c sin 30°＝2，所以2<b＝3<4，即c sin B<b<c，所以有两解，同理可得B有两解；C有一解；D无解．　 7．在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则钝角B＝________． 解析：因为a＝，b＝2，A＝30°，由正弦定理可得＝，所以sin B＝＝＝，因为B为钝角，所以B＝135°. 答案：135° 8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，b＝4，a＝5，则满足条件的三角形有________个． 解析：因为a>b，所以A>B， 由正弦定理知sin B＝＝， 则角B只能是锐角，只能有一个解． 答案：一 9．在△ABC中，lg (sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg (sin C－sin A)，则此三角形的形状是_______________________________________________________________． 解析：由对数运算，得sin2C－sin2A＝sin2B，由正弦定理，得c2－a2＝b2，即a2＋b2＝c2，所以C＝，所以△ABC是直角三角形． 答案：直角三角形 10．(13分)在△ABC中，求证：－＝－. 证明：因为＝，所以＝， 所以＝，所以＝， 所以－＝－. 11．(2025·镇江月考)若满足B＝，AC＝6，BC＝k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是(　　) A．(0，6] B．(0，6]∪{6} C．[6，6] D．(6，6) 解析：选B.因为满足B＝，AC＝6，BC＝k的△ABC恰有一个，所以AC＝BC sin B或AC≥BC， 即6＝k，则k＝6，或6≥k， 综上，k∈(0，6]∪{6}． 12．在△ABC中，若B＝30°，AB＝2，AC＝2，则AB边上的高是__________，S△ABC＝____________． 解析：由正弦定理得＝，所以sin C＝＝＝，所以C＝60°或C＝120°，经检验，均符合题意．当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2，S△ABC＝×2×2＝2；当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1，S△ABC＝×2×1＝. 答案：1或2　或2 13．黄金三角形被誉为“最美三角形”，是较短边与较长边之比为黄金比的等腰三角形．已知△ABC，AB＝AC，∠ABC的角平分线与边AC交于M点，线段AB的中垂线过点M，则的比值为________． 解析： 根据题意，作图如图所示： 设∠MBC＝θ， 因为BM为∠ABC的平分线， 所以∠ABM＝θ， 因为AB＝AC，所以C＝2θ， 又因为EM为线段AB的中垂线， 所以AM＝BM，所以A＝θ， 所以∠BMC＝2θ，所以BC＝BM， 由题意，设AB＝AC＝1，BC＝BM＝AM＝x， 则CM＝1－x， 显然△ABC∽△BCM， 所以＝，解得x＝或x＝(舍去)， 因为＝＝＝＝. 答案： 14．(13分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，CD是AB边上的中线． 求证：sin ∠BCD＝2sin ∠ACD. 证明：在△DBC中，由正弦定理得＝，即BC sin ∠BCD＝BD sin ∠CDB，在△ACD中，由正弦定理得＝，　 即AC sin ∠ACD＝AD sin ∠CDA. 因为sin ∠CDA＝sin ∠CDB，AD＝BD 且AC＝2BC，所以sin ∠BCD＝2sin ∠ACD. 15．(15分)已知a，b，c分别为锐角三角形ABC内角A，B，C 的对边，b－2a cos C＝a. (1)证明：C＝2A；(7分) (2)求的取值范围．(8分) 解：(1)证明：因为b－2a cos C＝a， 所以由正弦定理得sin B－2sin A cos C＝sin A， 因为在△ABC中， sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C， 所以cos A sin C－sin A cos C＝sin A， 所以sin (C－A)＝sin A， 所以C－A＝A或C－A＋A＝π(舍去)， 所以C＝2A. (2)由(1)得C＝2A，所以由正弦定理得 ＝＝＝ ＝ ＝＝＝＝， 因为△ABC为锐角三角形，所以A＋C>，C＝2A<， 所以<A<，所以1<4cos2A－1<2， 所以<<1，所以的取值范围为(，1). 学科网（北京）股份有限公司 $