9.1.1 第2课时 正弦定理的应用 课后达标检测（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

1．在△ABC中，已知AB＝AC，B＝30°，则C＝(　　)

A.45°　　　　　　　　 B．15°

C．45°或135°    D．15°或105°

解析：选C.因为AB＝AC，由正弦定理得＝，

又因为B＝30°，所以sin C＝，

又因为AB>AC，所以C>B，所以C＝45°或C＝135°.

2．在△ABC中，b cos A＝a cos B，则三角形的形状为(　　)

A．直角三角形    B．等边三角形

C．锐角三角形     D.等腰三角形

解析：选D.由正弦定理得＝，因为b cos A＝a cos B，所以sin B cos A＝sin A cos B，即sin (B－A)＝0，又A，B为三角形内角，得B＝A.故选D.

3．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，B＝60°，则cos C＝(　　)

A．    B．   

C．    D．±

解析：选B.由正弦定理，得＝，

即＝，解得sin C＝，

因为AB<AC，所以C<B，

所以cos C＝＝.

4．在△ABC中，若b＝3，c＝，B＝45°，则此三角形解的情况为(　　)

A．无解    B．两解

C．一解    D．一解或两解

解析：选C.由正弦定理，得＝，得sin C＝＝＝<＝sin B，因为c<b，则C<B，故C为锐角，满足条件的△ABC只有一个．故选C.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则“A＝B”是“sin A＝sin B”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.在△ABC中，若A＝B，则a＝b，由正弦定理＝，得sin A＝sin B，即充分性成立；若sin A＝sin B, 由正弦定理有＝，得a＝b，则A＝B，即必要性成立．综上可得“A＝B”是“sin A＝sin B”的充要条件．

6．(多选)下列条件中可以使△ABC有两个解的是(　　)

A．b＝3，c＝4，B＝30°

B．a＝5，b＝8，A＝30°

C．c＝6，b＝3，B＝60°

D．c＝9，b＝12，C＝60°

解析：选AB.对于A，因为c sin 30°＝2，所以2<b＝3<4，即c sin B<b<c，所以有两解，同理可得B有两解；C有一解；D无解．　

7．在△ABC中，若a＝，b＝2，A＝30°，则钝角B＝________．

解析：因为a＝，b＝2，A＝30°，由正弦定理可得＝，所以sin B＝＝＝，因为B为钝角，所以B＝135°.

答案：135°

8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，b＝4，a＝5，则满足条件的三角形有________个．

解析：因为a>b，所以A>B，

由正弦定理知sin B＝＝，

则角B只能是锐角，只能有一个解．

答案：一

9．在△ABC中，lg (sin A＋sin C)＝2lg sin B－lg (sin C－sin A)，则此三角形的形状是_______________________________________________________________．

解析：由对数运算，得sin2C－sin2A＝sin2B，由正弦定理，得c2－a2＝b2，即a2＋b2＝c2，所以C＝，所以△ABC是直角三角形．

答案：直角三角形

10．(13分)在△ABC中，求证：－＝－.

证明：因为＝，所以＝，

所以＝，所以＝，

所以－＝－.

11．(2025·镇江月考)若满足B＝，AC＝6，BC＝k的△ABC恰有一个，则实数k的取值范围是(　　)

A．(0，6]    B．(0，6]∪{6}

C．[6，6]    D．(6，6)

解析：选B.因为满足B＝，AC＝6，BC＝k的△ABC恰有一个，所以AC＝BC sin B或AC≥BC，