9.1.1 第2课时 正弦定理的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

9.1.1 第2课时 正弦定理的应用 [课时跟踪检测]) 1.在△ABC中，a=bsin A，则△ABC一定是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析:选B　由题意有=b=，则sin B=1，即角B为直角，故△ABC是直角三角形.故选B. 2.已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C的对边，若△ABC的周长为4(+1)，且sin B+sin C=sin A，则a= (　　) A. B.2 C.4 D.2 解析:选C　由题知△ABC的周长为a+b+c=4(+1)　①，∵sin B+sin C=sin A，由正弦定理得b+c=a　②，∴由①②，可得a=4. 3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若<cos A，则△ABC为 (　　) A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 解析:选B　因为<cos A，由正弦定理可得<cos A，即sin C<cos Asin B.又因为sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B，所以sin Acos B+cos Asin B<cos Asin B，即sin Acos B<0.因为A，B∈(0，π)，所以sin A>0，cos B<0，所以B∈.所以△ABC为钝角三角形. 4.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin C=，c=4，B=，则△ABC的面积为 (　　) A.1 B.2 C.1或7 D.2或14 解析:选C　由=可得b=.∵sin C=，∴cos C=-或cos C=，∴sin A=sin(B+C)=sincos C+cossin C=或sin A=，∴S△ABC=bcsin A=×4××=1或S△ABC=bcsin A=×4××=7. 5.在△ABC中，AC=，BC=3，cos A=，则B= (　　) A. B. C. D.或 解析:选A　∵在△ABC中，cos A=， ∴sin A==，∵AC=，BC=3，∴由正弦定理=，得sin B===.∵BC>AC，可得B为锐角， ∴B=.故选A. 6.(多选)已知△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题正确的是 (　　) A.若A>B，则cos A>cos B B.若A=，a=4，则△ABC外接圆半径为4 C.若a=2bcos C，则△ABC为直角三角形 D.若b=1，c=3，A=，则S△ABC= 解析:选BD　当A=，B=，此时cos A<cos B，A错误；由正弦定理=2R可得2R=8，R=4，B正确；因为a=2bcos C，所以sin A=2sin Bcos C，即sin(B+C)=2sin Bcos C，整理可得sin Bcos C-cos Bsin C=0，即sin(B-C)=0.因为B，C为三角形的内角，所以B=C，即△ABC为等腰三角形，C错误；因为b=1，c=3，A=，所以S△ABC=bcsin A=×1×3×=，D正确. 7.(2025·全国Ⅰ卷)(多选)已知△ABC的面积为，若cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=，则 (　　) A.sin C=sin2A+sin2B 　B.AB= C.sin A+sin B= 　D.AC2+BC2=3 解析:选ABC　cos 2A+cos 2B+2sin C=2⇒2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B⇒2sin C=2sin2A+2sin2B， ∴sin C=sin2A+sin2B，故A正确； ∵cos Acos Bsin C=>0，∴A，B为锐角. 由===2R，得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2，则C为锐角，即△ABC为锐角三角形， ∴由A+B>⇒A>-B，则sin A>sin，即sin A>cos B，代入sin C=sin2A+sin2B， 有sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，矛盾，故a2+b2=c2， 即cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0⇒cos Acos B=sin Asin B=， ∵S=absin C=⇒ab=， ∴=(2R)2=2⇒2R==2R=⇒c=，故B正确； (sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=sin C+=⇒sin A+sin B=，故C正确； AC2+BC2=AB2=c2=2，故D错误.故选A、B、C. 8.(5分)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为，则sin Bsin C的值为　　　　　 .  解析:因为S=bcsin A=，所以bc=.由正弦定理得sin Bsin C==. 答案: 9.(5分)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin A+acos B=0，则B=　　　.  解析:由正弦定理可得，sin Bsin A+sin Acos B=0.∵A∈(0，π)，∴sin A>0. ∴sin B+cos B=0，化简得tan B=-1. ∵B∈(0，π)，∴B=. 答案: 10.(5分)南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是:“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实.一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即S=.现有周长为2+的△ABC满足sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1)，试用“三斜求积术”求得△ABC的面积为　　　　.  解析:由正弦定理可得a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=(-1)∶∶(+1). 设a=(-1)m，b=m，c=(+1)m(m>0)，因为△ABC的周长(-1)m+m+(+1)m=(2+)m=2+，解得m=1， 所以a=-1，b=，c=+1. 所以S== =×=. 答案: 11.(10分)在△ABC中，求证:=(C≠90°). 证明:因为===2R(R为△ABC外接圆半径)，所以左边=====右边，所以等式成立. 12.(15分)设△ABC的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知2cos(π+A)+sin+=0. (1)求角A；(6分) (2)若c-b=a，求证:△ABC是直角三角形.(9分) 解:(1)由2cos(π+A)+sin+=0， 得-2cos A+cos 2A+=2cos2A-2cos A+=0， 即=0，故cos A=. 因为A∈(0，π)，所以A=. (2)证明:由正弦定理及c-b=a， 得sin C-sin B=sin A， 由(1)知A=，故B+C=. 于是sin-sin B=sin， 则cos B-sin B=， 即cos=. 因为0<B<，所以<B+<. 又c-b=a>0，C>B，从而B+=， 所以B=，则C=.因此△ABC是直角三角形.13.(15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c+a=2bcos A. (1)求证:B=2A；(6分) (2)若△ABC是锐角三角形，a=1，求b的取值范围.(9分) 解:(1)证明:由正弦定理及c+a=2bcos A，可得sin C+sin A=2sin Bcos A， 由A+B+C=π，可得sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B， 所以sin A=sin Bcos A-sin Acos B=sin(B-A)， 所以A=B-A或A+B-A=π.因为A，B∈(0，π)，所以A=B-A，即B=2A. (2)由正弦定理=且a=1，B=2A，可得b=2cos A. 因为△ABC为锐角三角形，所以 解得<A<，所以cos A∈， 所以b的取值范围是. 14.(15分)在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，为在上的投影，且满足2csin B=||. (1)求cos C的值；(6分) (2)若b=，a=3ccos B，求△ABC的周长.(9分) 解:(1)由为在上的投影，得||=bcos C. 又2csin B=||，即2csin B=bcos C， 根据正弦定理，得2sin Csin B=sin Bcos C. 在锐角△ABC中，B∈， 则sin B>0，即2sin C=cos C. 由C∈，cos2C+sin2C=1，整理可得cos2C+cos2C=1，解得cos C=(负值舍去). (2)由a=3ccos B，根据正弦定理，可得sin A=3sin Ccos B. 在△ABC中，A+B+C=π， 则sin(B+C)=3sin Ccos B， 所以sin Bcos C+cos Bsin C=3sin Ccos B， 即sin Bcos C=2sin Ccos B. 由(1)可知cos C=，sin C==， 则sin B=cos B. 由sin2B+cos2B=1，则5cos2B+cos2B=1， 解得(负值舍去).根据正弦定理，可得=，则c==，a=c=.故△ABC的周长C=a+b+c=2+. 学科网（北京）股份有限公司 $