9.1.1 第1课时 正弦定理的概念 课后达标检测(Word练习)-【学霸笔记·同步精讲】2024-2025学年高中数学选择性必修第四册（人教B版）

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，B＝45°，b＝2，则a的值为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选C.由正弦定理＝得a＝＝＝2. 2．在△ABC中，a＝，b＝，B＝，则A＝(　　) A． B． C． D．或 解析：选B.由正弦定理＝得sin A＝＝，因为b>a，所以A＝. 3．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a sin A sin B＋b cos2A＝a，则＝(　　) A． B． C．2 D．2 解析：选B.由正弦定理得a sin B＝b sin A，化简得b sin2A＋b cos2A＝b＝a，则＝.故选B. 4．(2024·沈阳期中)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，a＝，则＝(　　) A. B． C． D．2 解析：选D.由正弦定理得2R＝＝2(R为△ABC外接圆半径)，所以a＝2R sin A＝2sin A，b＝2R sin B＝2sin B，所以＝＝2. 5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，c＝2，A＝，sin B＝2sin C，则△ABC的面积为(　　) A． B．2 C．2 D．4 解析：选B.由正弦定理得b＝2c＝4，由三角形面积公式得S＝bc sin A＝×4×2×＝2.故选B. 6．(多选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列说法正确的有(　　) A．A∶B∶C＝ a∶b∶c B．＝ C．若A>B，则a>b D．若sin A>sin B，则a>b 解析：选BCD.由正弦定理得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，所以A错误． 因为＝＝＝2R(R为△ABC外接圆半径)， 所以 ＝＝2R＝，所以B正确． 在三角形中，大角对大边，所以C正确． 若sin A>sin B，由正弦定理可得＝>1，所以a>b，所以D正确．故选BCD. 7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A∶B∶C＝1∶1∶4，则a∶b∶c＝__________． 解析：在△ABC中，因为A∶B∶C＝1∶1∶4，所以内角A，B，C分别为30°，30°，120°，所以a∶b∶c＝sin 30°∶sin 30°∶sin 120°＝1∶1∶. 答案：1∶1∶ 8．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝，B＝，则A＝___________________________. 解析：由正弦定理， 得sin A＝＝＝， 又A∈(0，π)，a>b， 所以A>B， 所以A＝或. 答案：或 9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝30°，C＝45°，c＝，则 a＝________，b＝________． 解析：在△ABC中，A＝30°，C＝45°， 所以B＝180°－30°－45°＝105°， 在△ABC中，由正弦定理可得 ＝＝＝2， 所以a＝2sin 30°＝1， b＝2sin 105°＝2sin (45°＋60°)＝2×(×＋×)＝， 所以a＝1，b＝. 答案：1　 10．(2023·天津卷节选)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知a＝，b＝2，A＝120°. (1)求sin B的值； (2)求c的值． 解：(1)在△ABC中，由正弦定理得＝，则sin B＝＝＝. (2)由(1)知sin B＝.因为A为钝角，所以B为锐角，所以cos B＝，所以sin C＝sin (180°－120°－B)＝sin (60°－B)＝×－×＝.在△ABC中，由正弦定理得＝，所以c＝＝＝5. 11．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A 解析：选A.由已知可得sin B＋2sin B cos C＝sin A·cos C＋(sin A cos C＋cos A sin C)＝sin A cos C＋sin (A＋C)＝sin A cos C＋sin B，所以2sin B cos C＝sin A cos C，因为0<C<π，所以C＝或sin A＝2sin B，即C＝或a＝2b.又△ABC为锐角三角形，所以a＝2b.故选A. 12．(多选)(2024·日照月考)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.sin C＋sin (A－B)＝3sin 2B，C＝，则＝(　　) A． B． C．2 D．3 解析：选BD.因为A＋B＝π－C， 所以sin C＝sin (π－C)＝sin (A＋B)＝sin Acos B＋cos A sinB． 又sin C＋sin (A－B)＝3sin 2B， 所以2sin A cos B＝6sin B cos B， 即2cos B(sin A－3sin B)＝0， 解得cos B＝0或sin A＝3sinB． 当cos B＝0时，因为B∈(0，π)， 所以B＝.又C＝， 所以A＝， 则sin A＝，sin B＝1， 所以由正弦定理得＝＝； 当sin A＝3sin B时， 由正弦定理得a＝3b， 所以＝3. 综上所述，＝3或＝. 13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆的面积为________．　 解析：在△ABC中，A＝75°，B＝45°，所以C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆的半径为R，则由正弦定理，可得2R＝＝＝2，解得R＝1，故△ABC的外接圆的面积S＝πR2＝π. 答案：π 14．在△ABC中，已知tan A＝，tan B＝.若 △ABC最长边的长为，求最短边的长． 解：因为在△ABC中，tan A＝，tan B＝， 所以tan C＝－tan (A＋B)＝－ ＝－＝－1，因为C∈(0，π)， 所以C＝，即C为最大角，c为最长边，A与B都为锐角，因为tan A<tan B，所以A<B， 即A为最小角，a为最短边，所以cos2A＝＝，sinA＝＝. 由正弦定理＝，得＝， 解得 a＝. 15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B<，c＝b sin C，则cos (A－C)的取值范围是(　　) A．(－，1] B．(－，] C．(0，] D．(0，1] 解析：选A.因为在△ABC中，c＝b sin C，所以sin C＝sin B sin C，因为sin C≠0，所以sin B＝.因为0<B<，所以B＝，即A＋C＝.所以A－C＝A－(－A)＝2A－.根据条件得0<A<，所以－<2A－<.所以－<cos (2A－)≤1，即－<cos (A－C)≤1.故选A. 16．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tan C＝，sin (B－A)＝cosC． (1)求A，B，C； (2)若S△ABC＝3＋，求a，c. 解：(1)因为tan C＝， 即＝， 所以sin C cos A＋sin C cos B ＝cos C sin A＋cos C sin B， 所以sin C cos A－cos C sin A ＝cos C sin B－sin C cos B， 得sin (C－A)＝sin (B－C)， 所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不符合题意，舍去). 所以2C＝A＋B， 所以C＝， 所以B＋A＝. 因为sin (B－A)＝cos C＝， 所以B－A＝或B－A＝(不符合题意，舍去). 所以A＝，B＝，C＝. (2)S△ABC＝ac sin B＝ac＝3＋， 又＝， 即＝，两式联立得a＝2，c＝2. 学科网（北京）股份有限公司 $