第9章 统计 章末整合提升 体系构建 素养提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件系统梳理了统计单元的核心内容，涵盖线性回归分析（含相关系数、回归模型及最小二乘法）和独立性检验，通过层级结构与公式整合构建知识网络，清晰呈现各知识点的内在逻辑与应用联系。 其亮点在于采用“例题解析-反思感悟-跟踪训练”的复习策略，如通过树木材积量估计例题培养数据意识，结合残差分析题训练逻辑推理能力，分层设计满足不同学生需求，助力教师精准把握学情，有效提升复习效率。

章末整合提升　体系构建 素养提升 1 体系构建 体系构建 数学·选择性必修第二册（SJ） 素养提升 素养提升 一、变量的相关性 　　变量的相关关系与样本相关系数是学习线性回归模型的前提和基础， 前者可借助散点图从直观上分析变量间的相关性，后者从数量上准确刻画 了两个变量的相关程度. 数学·选择性必修第二册（SJ） 并计算得 ＝0.038， ＝1.615 8， xiyi＝0.247 4. 【例1】　某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计 一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根 部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据： 样本号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 根部横截 面积xi 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6 材积量yi 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； 解：估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积 ＝ ＝ ＝0.06， 估计该林区这种树木平均一棵的材积量 ＝ ＝ ＝0.39. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 0.01）. 附：样本相关系数r＝ ， ≈1.377. 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： （xi－ ）（yi－ ）＝ xiyi－10 ＝0.013 4， （xi－ ）2＝ －10（ ）2＝0.002， （yi－ ）2＝ －10（ ）2＝0.094 8， 所以 ＝ ＝ ≈0.01×1.377＝0.013 77， 所以样本相关系数r＝ ≈ ≈0.97. 数学·选择性必修第二册（SJ） 反思感悟 判断变量相关性的两种方法 （1）散点图法：直观形象； （2）公式法：可用公式精确计算，需注意特殊情形的样本相关系数.如点 在一条直线上，｜r｜＝1，且当r＝1时，正相关；r＝－1时，负相关. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 1. 某次考试，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的 数学、物理成绩对应如下表： 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学成绩x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理成绩y 72 77 80 84 88 90 93 95 绘出散点图如下. 数学·选择性必修第二册（SJ） 根据以上信息，判断下列结论： ①根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据此散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系； ③甲同学数学考了80分，那么，他的物理成绩一定比数学只考了60分的乙 同学的物理成绩要高. 其中正确的个数为（　　） A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　对于①②，根据此散点图知，各点都分布在一条直线附近，可 以判断数学成绩与物理成绩具有较强的线性相关关系，不是一次函数关 系，①正确，②错误；对于③，甲同学数学考了80分，他的物理成绩可能 比数学只考了60分的乙同学的物理成绩要高，③错误.综上，正确的命题是 ①，只有1个. 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 相关变量x，y的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分 析，方案一：根据图中所有数据，得到经验回归方程为 ＝ x＋ ，样 本相关系数为r1；方案二：剔除点（10，21），根据剩下数据得到经验回 归方程为 ＝ x＋ ，样本相关系数为r2.则（　　） A. 0＜r1＜r2＜1 B. 0＜r2＜r1＜1 C. －1＜r1＜r2＜0 D. －1＜r2＜r1＜0 解析： 　由散点图得两个变量呈负相关关系，所以r1＜0，r2＜0，因为剔 除点（10，21）后，剩下点的数据的线性相关性更强，｜r｜更接近1，所 以－1＜r2＜r1＜0.故选D. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 二、经验回归方程 　　主要考查两个变量线性相关的判定，以及利用最小二乘法求经验回归 方程，并应用于实际或对因变量进行预测. 【例2】　某项研究发现某地的PM10浓度与车流量之间有线性相关关系.现 采集到该地一周内车流量x与PM10浓度y的数据如下表： 时间 车流量x（单位：万辆） PM10浓度y（单位：μg/m3） 星期一 25.4 35.7 星期二 24.6 34.5 星期三 23.5 35.2 星期四 24.4 33.6 星期五 25.8 36.1 星期六 19.7 30.9 星期日 20.3 29.4 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）在如图所示的坐标系中作出表中数据的散点图； 解： 如图所示. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）根据表中的统计数据，求出经验回归方程 ＝ x＋ （精确到 0.01）. 解： 由表中数据得 ≈23.4， ≈33.6， ＝ ≈ ≈0.97， ＝ － ＝33.6－0.97×23.4≈10.90. 所以y关于x的经验回归方程为 ＝0.97x＋ 10.90. 数学·选择性必修第二册（SJ） 反思感悟 解决回归分析问题的一般步骤 （1）画散点图.根据已知数据画出散点图； （2）判断变量的相关性并求经验回归方程.通过观察散点图，直观感知两 个变量是否具有相关关系；在此基础上，利用最小二乘法求回归系数，然 后写出经验回归方程； （3）实际应用.依据求得的经验回归方程解决实际问题. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 近年来我国外贸企业一手抓质量，一手抓生产，产销形势喜人.自2024 年6月以来，我国外贸进出口连续实现正增长，出口国际市场占世界的 份额不断攀升，外贸发展韧性强劲.某个远洋运输公司出口营业额增长 数据表如下： 月份 2024年6月 2024年7月 2024年8月 2024年9月 月份代码x 1 2 3 4 新增出口营业额y亿元 2.4 2.8 3.6 5.1 月份 2024年10月 2024年11月 2024年12月 2025年1月 月份代码x 5 6 7 8 新增出口营业额y亿元 7.1 9.1 11.7 14.2 数学·选择性必修第二册（SJ） 某位同学分别用两种模型：① ＝ x2＋ ，② ＝ x＋ 进行拟合，得到 相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于yi－ ）： 这位同学在进行拟合时，对数据作了初步处理，得到一些统计量的值： （ti－ ）（yi－ ）＝686.8， （ti－ ）2＝3 570.其中ti＝ ， ＝ ti. 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简 要说明理由； 解： 选择模型①. 理由如下：根据残差图可以看出，模型①的估计值和真实值相对比较接 近，模型②的残差相对较大一些，所以模型①的拟合效果相对较好. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测 该远洋运输公司2025年3月新增出口营业额.（精确到0.01） 附：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（un，υn），经验回归 直线 ＝ ＋ u的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ＝ ， ＝ － . 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：由（1），可知y关于x的回归方程为 ＝ x2＋ ，令t＝x2，则 ＝ t＋ . 由所给数据可得 ＝ ti＝ ×（1＋4＋9＋16＋25＋36＋49＋64）＝25.5， ＝ yi＝ ×（2.4＋2.8＋3.6＋5.1＋7.1＋9.1＋11.7＋14.2）＝7， 所以 ＝ ＝ ≈0.19， 数学·选择性必修第二册（SJ） ＝ － ≈7－0.19×25.5≈2.16， 所以y关于x的回归方程为 ＝0.19x2＋2.16. 预测该远洋运输公司2025年3月新增出口营业额为 ＝0.19×102＋2.16＝ 21.16（亿元）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 三、独立性检验 　　独立性检验研究的主要问题是讨论两个分类变量之间关联性问题.为此 需先列出2×2列联表，从表格中可以直观地得到两个分类变量是否有关系. 独立性检验的思想是先假设二者无关系，求随机变量χ2的值，若χ2大于临界 值，则拒绝假设，否则，接受假设. 【例3】　（2024·全国甲卷理17题）某工厂进行生产线智能化升级改造.升 级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数 据如下： 优级品 合格品 不合格品 总计 甲车间 26 24 0 50 乙车间 70 28 2 100 总计 96 52 2 150 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 乙车间 能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：填写如下列联表： 优级品 非优级品 甲车间 26 24 乙车间 70 30 则完整的2×2列联表如下： 优级品 非优级品 总计 甲车间 26 24 50 乙车间 70 30 100 总计 96 54 150 数学·选择性必修第二册（SJ） K2＝ ＝4.687 5. 因为K2＝4.687 5＞3.841，所以有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优 级品率存在差异； 因为K2＝4.687 5＜6.635，所以没有99%的把握认为甲、乙两车间产品的 优级品率存在差异. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5.设 为升级改造后抽 取的n件产品的优级品率，如果 ＞p＋1.65 ，则认为该工厂产 品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能 化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（ ≈12.247） 附：K2＝ ， P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 由题意可知 ＝ ＝0.64， 又p＋1.65 ＝0.5＋1.65× ≈0.5＋1.65× ≈0.57， 所以 ＞p＋1.65 ， 所以能认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了. 数学·选择性必修第二册（SJ） 反思感悟 解独立性检验应用问题的关注点 （1）两个明确：①明确两类主体；②明确研究的两个问题； （2）两个准确：①准确列出2×2列联表；②准确理解χ2. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对“使 用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及 对“使用微信交流”赞成人数如下表： 年龄/岁 [15， 25） [25， 35） [35， 45） [45， 55） [55， 65） [65， 75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 5 10 12 7 2 1 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表， 并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关； 年龄不低于 45岁的人数 年龄低于 45岁的人数 合计 赞成 不赞成 合计 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 由题中统计数据填写2×2列联表，如下： 年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计 赞成 10 27 37 不赞成 10 3 13 合计 20 30 50 根据公式计算，得χ2＝ ≈9.98＞6.635， 所以有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关. 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2 人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率. 附：χ2＝ . P（χ2≥x0） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 设年龄在[55，65）中不赞成“使用微信交流”的人分别为A， B，C，赞成“使用微信交流”的人分别为a，b， 则从5人中随机选取2人有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca， Cb，ab，共10个结果. 其中2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的有AB，AC，Aa，Ab， BC，Ba，Bb，Ca，Cb，共9个结果， 所以2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率P＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） $