第8章 概率 章末检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学概率单元复习课件系统梳理了随机变量、概率分布（离散型、正态、二项、超几何等）、数字特征（期望、方差）及条件概率等核心知识，通过选择、填空、解答题等题型串联知识点，构建“概念-公式-应用”的完整知识网络。 其亮点在于以情境化问题（如投篮命中、元件次品率）培养数学眼光，通过分步推理（如二项分布众数计算、全概率公式应用）发展数学思维，分层设计练习（基础题到综合题）满足个性化复习需求，助力学生巩固知识，教师精准把握学情。

章末检测（八）　概率 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知离散型随机变量X的概率分布如下，则p＝（　　） X 1 2 3 4 P p A. B. C. D. 解析： 　由 ＋ ＋ ＋p＝1得，p＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 已知随机变量X服从正态分布N（3，σ2），且P（X＜1）＝0.1，则P （3≤X≤5）＝（　　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 解析： 　因为随机变量X服从正态分布N（3，σ2），所以正态密度曲线 关于直线x＝3对称，又P（X＜1）＝0.1，所以P（X＞5）＝0.1，则P （3≤X≤5）＝ ＝ ＝0.4. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 3. 设随机变量X等可能地取值1，2，3，…，10.又设随机变量Y＝2X－ 1，则P（Y＜6）＝（　　） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.1 D. 0.2 解析： 　由Y＝2X－1＜6，得X＜3.5，∴P（Y＜6）＝P（X＜3.5） ＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝0.3. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 4. 由1，2组成的有重复数字的三位数中，若用A表示事件“十位数字为 1”，用B表示事件“百位数字为1”，则P（A｜B）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　∵P（B）＝ ＝ ，P（AB）＝ ＝ ，∴P（A｜ B）＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 5. 学校要从10名候选人中选2名加入学生会，其中高二（1）班有4名候选 人，假设每名候选人都有相同的机会被选到.若X表示选到高二（1）班的 候选人的人数，则E（X）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　由题意得随机变量X服从超几何分布，且N＝10，M＝4，n＝ 2，则E（X）＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 6. 位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位， 移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .质点P移动 5次后位于点（2，3）的概率为（　　） A. （ ）5 B. （ ）5 C. （ ）5 D. （ ）5 解析： 　依题意，质点在移动过程中向右移动2次，向上移动3次，因此 质点P移动5次后位于点（2，3）的概率P＝ ×（ ）2×（1－ ）3＝ （ ）5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 7. 某人投篮命中的概率为0.6，则投篮14次，最有可能命中的次数为 （　　） A. 7 B. 8 C. 7或8 D. 8或9 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　投篮命中次数X～B（14，0.6），P（X＝k）＝ ·0.6k·0.414－k，设最有可能命中m次，则 ⇒ ⇒8≤m≤9，∵m∈Z，∴m＝8或m＝9.∴最有可能命中8或9次.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 8. 泊松分布的概率分布为P（X＝k）＝ e－λ（k＝0，1，2，…），其 中e为自然对数的底数，λ是泊松分布的均值.若随机变量X服从二项分 布，当n很大且p很小时，二项分布近似于泊松分布，其中λ＝np，即 X～B（n，p），P（X＝i）＝ （n∈N）.现已知某种元件 的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则次品率小于3%的概率约为（参 考数据： ＝0.367 879…）（　　） A. 99% B. 97% C. 92% D. 74% √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　依题意， n＝100，p＝0.01，泊松分布可作为二项分布的近 似，此时λ＝100×0.01＝1，则P（X＝k）＝ e－1，于是P（X＝0）＝ e－1＝ ，P（X＝1）＝ e－1＝ ，P（X＝2）＝ e－1＝ ，所以次品 率小于3%的概率约为P＝P（X＝0）＋P（X＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＋ ≈92%.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分） 9. 已知随机变量X，Y满足X～N（μ1， ），Y～N（μ2， ），其 中μ1，μ2∈R，σ1，σ2∈R＋，则下列命题正确的是（　　） A. 若μ1＝μ2，则E（X）＝E（Y） B. 若μ1＝μ2，则D（X）＝D（Y） C. 若σ1＝σ2，则D（X）＝D（Y） D. 若σ1＝2，σ2＝3，则P（｜X－μ1｜≤1）＞P（｜Y－μ2｜≤1） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　对于A，由正态分布的性质，可得E（X）＝μ1，E（Y） ＝μ2，由μ1＝μ2，可得E（X）＝E（Y），A正确；对于B，D（X） ＝ ，D（Y）＝ ，当μ1＝μ2时，D（X）和D（Y）的大小关系不 能确定，B错误；对于C，若σ1＝σ2，可得D（X）＝D（Y），C正确；对 于D，由σ1＝2，σ2＝3，可得 ＝4， ＝9，且 ＜ ，根据方差的性 质，可得随机变量X的分布更集中，随机变量Y的分布离散，所以P（｜X －μ1｜≤1）＞P（｜Y－μ2｜≤1），D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 10. 随机变量X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝0.5，随 机变量Y～B（t，p），0＜p＜1，若E（X）＝E（Y），则（　　） A. t＝4 B. p＝ C. P（2≤Y≤3）＝ D. D（2Y）＝2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　因为X～N（2，σ2），且P（0≤X≤2）＋P（X≥t）＝ 0.5，所以t＝4，故A正确；因为E（X）＝2，所以E（Y）＝E（X）＝ 2.因为Y～B（4，p），所以E（Y）＝4p＝2，所以p＝ ，故B错误； 因为Y～B（4， ），所以P（2≤Y≤3）＝ （ ）4＋ （ ）4＝ ， 故C正确；因为D（Y）＝4× ×（1－ ）＝1，所以D（2Y）＝4D （Y）＝4，故D错误.故选A、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 11. 有n（n∈N*，n≥10）个编号分别为1，2，3，…，n的盒子，1号盒 子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球.现从1号盒 子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；…；以此类 推，记“从i号盒子取出的球是白球”为事件Ai（i＝1，2，3，…，n）， 则（　　） A. P（A1A2）＝ B. P（A1｜A2）＝ C. P（A1＋A2）＝ D. P（A10）＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　对A，P（A1A2）＝ × ＝ ，所以A错误；对B，P（A2） ＝ × ＋ × ＝ ，故P（A1｜A2）＝ ＝ ，所以B正确；对 C，P（A1＋A2）＝P（A1）＋P（A2）－P（A1A2）＝ ＋ － ＝ ，所 以C正确；对D，由题意P（An）＝ P（An－1）＋ [1－P（An－1）]，所 以P（An）－ ＝ ［P（An－1）－ ］，P（A1）＝ ，P（A1）－ ＝ － ＝ ，所以P（An）－ ＝ ×（ ）n－1＝ ×（ ）n，所以P（An） ＝ ·（1＋ ），则P（A10）＝ ·（1＋ ），所以D错误.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 某医院派出16名护士、4名内科医生组成支援队伍，现在需要从这20人 中任意选取3人去A城市支援，设X表示其中内科医生的人数，则P（X＝ 2）＝ ⁠. 解析：由题意得P（X＝2）＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 13. 已知随机事件A，B，P（A）＝ ，P（B）＝ ，P（A｜B）＝ ，则P（B｜A）＝ 　​ 　. 解析：由条件概率可得P（A｜B）＝ ＝ ⇒P（AB）＝ × ＝ ，所以P（B｜A）＝ ＝ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 14. 假设某型号的每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p（0 ＜p＜1），且各引擎是否有故障是独立的，如有至少50%的引擎能正常运 行，飞机就可成功飞行，若使4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，则p的取 值范围是 ⁠. （ ，1） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析：由已知可得，飞机引擎正常运行的个数X～B（n，p），所以4引 擎飞机正常飞行的概率为P1＝ p2（1－p）2＋ p3（1－p）＋ p4＝ 3p4－8p3＋6p2；2引擎飞机正常飞行的概率为P2＝ p（1－p）＋ p2＝ －p2＋2p.所以P1－P2＝3p4－8p3＋6p2－（－p2＋2p）＝p（p－1）2 （3p－2）.因为4引擎飞机比2引擎飞机更为安全，所以P1－P2＞0，即p （p－1）2（3p－2）＞0.因为0＜p＜1，所以 ＜p＜1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分 布N（80，52），现在已知该班同学中成绩在80～85分的有17人，则该班 成绩在90分以上的同学有多少人？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：∵成绩服从正态分布N（80，52）， ∴μ＝80，σ＝5，则μ－σ＝75，μ＋σ＝85. ∴成绩在（75，85）内的同学约占全班同学的68.3%，成绩在（80，85） 内的同学约占全班同学的34.15%. 设该班有x名同学， 则x·34.15%＝17，解得x≈50. ∵μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在（70，90）内的同学约占全班同学的95.4%，成绩在90分以上的 同学约占全班同学的 ×（1－95.4%）＝2.3%， 50×2.3%≈1（人）. 故成绩在90分以上的仅有1人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 16. （本小题满分15分）某食品企业一个月内被消费者投诉的次数用X表 示，据统计，随机变量X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 2a a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）求a的值和X的均值； 解： 由概率分布的性质得0.1＋0.3＋2a＋a＝1， 解得a＝0.2， ∴X的概率分布为 X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 ∴E（X）＝0×0.1＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＝1.7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两 个月内共被消费者投诉2次的概率. 解： 设事件A表示“两个月内共被投诉2次”；事件A1表示“两个月 内有一个月被投诉2次，另一个月被投诉0次”；事件A2表示“两个月均被 投诉1次”. 则由事件的独立性得P（A1）＝ ·P（X＝2）·P（X＝0）＝ 2×0.4×0.1＝0.08， P（A2）＝[P（X＝1）]2＝0.32＝0.09. ∴P（A）＝P（A1）＋P（A2）＝0.08＋0.09＝0.17. 故该企业在这两个月内共被消费者投诉2次的概率为0.17. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 17. （本小题满分15分）已知甲箱中有3个白球和2个黑球，乙箱中有1个白 球和2个黑球，从甲箱中任意取两球放入乙箱，然后再从乙箱中任意取出两 球，试求： （1）从乙箱中取出的两球是白球的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 因为从甲箱中任意取两球放入乙箱仅有3种可能：取得两白球， 取得一黑球和一白球，取得两黑球，分别用A1，A2，A3表示.设B表示从 乙箱中取出的两球是白球，则有 P（A1）＝ ＝ ，P（A2）＝ ＝ ，P（A3）＝ ＝ ， P（B｜A1）＝ ＝ ，P（B｜A2）＝ ＝ ，P（B｜A3）＝0， 由全概率公式得到P（B）＝ P（Ai）P（B｜Ai）＝ × ＋ × ＋ ×0＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）在乙箱中取出的两球是白球的条件下，从甲箱中取出的两球是白球的 概率. 解： P（A1｜B）＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 18. （本小题满分17分）某周末李梦提出和父亲、母亲、弟弟进行羽毛球 比赛，李梦与他们三人各进行一场比赛，共进行三场比赛，每场比赛都没 有平局，且三场比赛相互独立.下表是李梦最近分别与父亲、母亲、弟弟比 赛的情况： 父亲 母亲 弟弟 比赛次数 50 60 40 李梦获胜次数 10 30 32 以上表中的频率作为概率，解答下列问题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （1）若李梦胜一场得1分，负一场得0分，设李梦的得分为X分，求X的概 率分布、期望和方差； 解： 由题表得，李梦与父亲比赛获胜的频率为 ，与母亲比赛获胜的 频率为 ，与弟弟比赛获胜的频率为 . X的可能取值为0，1，2，3. P（X＝0）＝（1－ ）×（1－ ）×（1－ ）＝ ， P（X＝1）＝（1－ ）×（1－ ）× ＋（1－ ）× ×（1－ ）＋ × （1－ ）×（1－ ）＝ ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） P（X＝2）＝（1－ ）× × ＋ ×（1－ ）× ＋ × ×（1－ ）＝ ， P（X＝3）＝ × × ＝ . 故X的概率分布为 X 0 1 2 3 P ​ ​ ​ ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ， 所以D（X）＝（0－ ）2× ＋（1－ ）2× ＋（2－ ）2× ＋（3－ ）2× ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）若李梦赢一场比赛能得到5元的奖励金，求李梦所得奖励金的期望和 方差. 解： 易知李梦所得奖励金为5X元，则E（5X）＝5E（X）＝ ，D （5X）＝52D（X）＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 19. （本小题满分17分）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变 量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量X，定义其累积分布函数为 F（x）＝P（X≤x）.已知某系统由一个电源和并联的A，B，C三个元 件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统 正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. （1）已知电源电压X（单位：V）服从正态分布N（40，4），且X的累积 分布函数为F（x），求F（44）－F（38）； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： 由题设得P（38＜X＜42）＝0.683，P（36＜X＜44）＝0.954， 所以F（44）－F（38）＝P（X≤44）－P（X≤38）＝P （40≤X≤44）＋P（38≤X≤40） ＝ ×（0.683＋0.954）＝0.818 5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时 间.已知随机变量T（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从 指数分布，其累积分布函数为G（t）＝ ①设t1＞t2＞0，证明：P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）； ②若第n天元件A发生故障，求第n＋1天系统正常运行的概率. 附：若随机变量Y服从正态分布N（μ，σ2），则P（｜Y－μ｜＜σ）＝ 0.683，P（｜Y－μ｜＜2σ）＝0.954，P（｜Y－μ｜＜3σ）＝0.997. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解： ①证明：由题设得： P（T＞t1｜T＞t2）＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ， P（T＞t1－t2）＝1－P（T≤t1－t2）＝1－G（t1－t2）＝ ， 所以P（T＞t1｜T＞t2）＝P（T＞t1－t2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） ②由①得P（T＞n＋1｜T＞n）＝P（T＞1）＝1－P（T≤1）＝1－G （1）＝ ， 所以第n＋1天元件B，C正常工作的概率均为 . 为使第n＋1天系统仍正常工作，元件B，C必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为1－（1－ ）2＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） $