9.1.2 第2课时 非线性回归模型及拟合效果的判断-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦非线性回归模型及拟合效果判断，涵盖残差分析、残差平方和、决定系数R²及非线性方程线性化等核心知识点。通过红铃虫产卵数与温度的实际数据散点图导入，衔接线性回归知识，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于以真实情境培养数学眼光，通过残差图分析、模型选择发展数学思维，用变量代换转化非线性问题体现数学语言。如例3中对数变换将y=c·xᵈ转化为线性模型，提升学生数据分析与模型应用能力，为教师提供系统例题与分层训练，助力教学高效实施。

第2课时　非线性回归模型及拟合效果的判断 1 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 2 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）有关.现收集了7组观测数 据列表如下： 温度x/℃ 21 23 25 27 29 32 35 产卵数y/个 7 11 21 24 66 115 325 画出散点图如图. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【问题】　（1）温度与产卵数是正相关关系吗？散点图是否分布在某条直 线附近？ （2）连接这些散点图后曲线类似于哪一种函数变换后的图象？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　残差分析 1. 残差：一般地，我们将 与对应的估计值 称为残差. 残差是随机误差ε的估计结果. 2. 残差图：以观测值为横坐标，残差为纵坐标作点，可以画出残差图. 3. 残差分析：通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断 原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析. 观测值　 之差　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　对模型刻画数据效果的分析 1. 残差图法：在残差图中，如果残差点比较均匀地分布在横轴的两边，则 说明回归方程较好地刻画了两个变量的关系，这样的带状区域的宽度越 窄，说明模型拟合精度越高. 2. 残差平方和法*：残差平方和 （yi－ ）2越小，模型的拟合效果 越好. 3. 决定系数R2法*：可以用R2＝1－ 来比较两个模型的拟合效 果，R2越大，模型的拟合效果越好，R2越小，模型的拟合效果越差. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　非线性经验回归方程 1. 非线性回归分析的思想 研究两个变量的关系时，依据样本点画出散点图，从整体上看，如果样本 点没有分布在某个带状区域内，就称这两个变量之间不具有线性相关关 系，此时不能直接利用经验回归方程来建立两个变量之间的关系. 2. 非线性经验回归方程 当回归方程不是形如 ＝ x＋ （ ， ∈R）时，称之为非线性经验回归 方程.当两个变量不呈线性相关关系时，依据样本点的分布选择合适的曲线 方程来拟合数据，可通过变量代换，利用线性回归模型建立两个变量间的 非线性经验回归方程. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 求非线性经验回归方程的一般步骤 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）残差平方和越接近0， 线性回归模型的拟合效果越好. （　√　） （2）R2越小， 线性回归模型的拟合效果越好. （　×　） （3）在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号. （　√　） √ × √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知某成对样本数据的残差图如图，则样本点数据中可能不准确的是从 左到右第几个（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析： 　原始数据中的可疑数据往往是残差绝对值过大的那个数据，即 偏离平衡位置过大. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 某校数学学习兴趣小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位： ℃）的关系，由试验数据得到如图所示的散点图.由此散点图，可以得出最 适宜作为发芽率y和温度x的回归模型的是（　　） A. y＝a＋bx B. y＝a＋bln x C. y＝a＋bex D. y＝a＋bx2 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由散点图可知，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即 增加越来越缓慢.A中，y＝a＋bx是直线型，均匀增长，不符合要求；B 中，y＝a＋bln x是对数型，增长越来越缓慢，符合要求；C中，y＝a＋ bex是指数型，爆炸式增长，增长越来越快，不符合要求；D中，y＝a＋ bx2是二次函数型，图象既有上升，又有下降，不符合要求. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜残差与残差分析 【例1】　某运动员训练次数x与成绩y的数据如表： 次数x 30 33 35 37 39 44 46 50 成绩y 30 34 37 39 42 46 48 51 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）建立成绩y关于次数x的经验回归方程（结果精确到0.001）； 解： ∵ ＝39.25， ＝40.875， ∴ ＝ ＝ ≈1.041， ＝ － ≈0.016. ∴经验回归方程为 ＝1.041x＋0.016. （2）用残差分析的方法判断用线性回归模型是否合理. 参考数据： ＝12 656， xiyi＝13 180. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 某运动员训练次数与成绩之间的数据及相应的残差数据为 x 30 33 35 37 39 44 46 50 y 30 34 37 39 42 46 48 51 ε＝y－ －1.246 －0.369 0.549 0.467 1.385 0.1 8 0.098 －1.066 残差图如图所示. 由图可知，残差比较均匀地分布在横轴的两 边，说明该线性回归模型比较合理. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适. 这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精 度越高. 2. 残差是随机误差的估计值， ＝yi－ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差 图，则下列模型拟合精度最高的是（　　） √ 解析：　用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的 带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型 的拟合精度越高. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知一系列样本点（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n）的经验回归方程 为 ＝2x＋ ，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，则有（　　） A. r＝s B. s＝2r C. s＝－2r＋3 D. s＝2r＋1 解析： 　样本点（r，1）的残差为1－2r－ ，样本点（1，s）的残差 为s－ －2，依题意得1－2r－ ＝s－ －2，故s＝－2r＋3. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜残差平方和法*与决定系数R2法* 【例2】　已知某种商品的价格x（单位：元）与需求量y（单位：件）之 间的关系有如下一组数据： x 14 16 18 20 22 y 12 10 7 5 3 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）求y关于x的经验回归方程； 解： ＝ ×（14＋16＋18＋20＋22）＝18， ＝ ×（12＋10＋7＋5＋3）＝7.4， 所以 ＝ ＝ ＝－1.15， ＝7.4＋1.15×18＝28.1， 所以所求经验回归方程是 ＝－1.15x＋28.1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）借助残差平方和与R2说明回归模型拟合效果的好坏. （参考公式及数据： ＝ ， ＝ － ， ＝1 660， xiyi ＝620， （yi－ ）2＝53.2） 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 列出残差表为 yi－ 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 所以 （yi－ ）2＝0.3，且 （yi－ ）2＝53.2， R2＝1－ ≈0.994， 所以回归模型的拟合效果很好. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 刻画回归效果的三种方法 （1）残差图法：残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型 比较合适； （2）残差平方和法：残差平方和 （yi－ ）2越小，模型的拟合效 果越好； （3）决定系数法：R2＝1－ 越接近1，表明模型的拟合效 果越好. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 一组数据（xi，yi）经过分析，提出了四种回归模型①②③④，四种模 型残差平方和 的值分别是1.23，0.80，0.12，1.36.则拟合 效果最好的是（　　） A. 模型① B. 模型② C. 模型③ D. 模型④ 解析： 　残差平方和越小则拟合效果越好，而模型③的残差平方和最 小，所以C正确.故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 在研究气温和热茶销售杯数的关系时，若求得决定系数R2≈0.85，则表 明气温解释了 的热茶销售杯数变化，而随机误差贡献了剩余 的 ，所以气温对热茶销售杯数的效应比随机误差的效应大得多. 解析：由决定系数R2的意义可知，R2≈0.85表明气温解释了85%，而随机误 差贡献了剩余的15%. 85% 15% 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜求非线性经验回归方程 【例3】　某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费 用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10 年投入的年研发费用xi与年销售量yi（i＝1，2，…，10）的数据，得到散 点图如图所示. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）利用散点图判断y＝a＋bx和y＝c·xd（其中c，d均为大于0的常 数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给 出判断即可，不必说明理由）； 解： 由散点图可知，选择回归方程类型y＝c·xd更适合. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）对数据作出如下处理，令ui＝ln xi，vi＝ln yi，得到相关统计量的值如 下表： vi ui （ui－ ）（vi－ ） （ui－ ）2 15 15 28.25 56.5 根据（1）的判断结果及表中数据， 求y关于x的回归方程. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其经验回 归直线 ＝ ＋ u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ＝ ， ＝ － . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：对y＝c·xd两边取对数，得ln y＝ln c＋dln x，即v＝ln c＋du. 由表中数据求得 ＝ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ＝ . 令ln c＝m， 则 ＝ － ＝ － × ＝ ，即c＝ ， 所以年销售量y与年研发费用x的回归方程为 ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 非线性回归问题的处理方法 （1）指数函数型y＝ebx＋a：两边取对数得ln y＝ln ebx＋a，即ln y＝bx＋a. 令z＝ln y，把原始数据（x，y）转化为（x，z），再根据线性回归模型 的方法求出a，b； （2）对数函数型y＝bln x＋a：设x'＝ln x，原方程可化为y＝bx'＋a，再 根据线性回归模型的方法求出a，b； （3）y＝bx2＋a型：设x'＝x2，原方程可化为y＝bx'＋a，再根据线性回 归模型的方法求出a，b. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 若一函数模型为y＝ax2＋bx＋c（a≠0），将y转化为t的经验回归方 程，则需做变换t＝（　　） A. x2 B. （x＋a）2 C. （x＋ ）2 D. 以上都不对 解析： 　y＝ax2＋bx＋c＝a（x＋ ）2＋ （a≠0），可令t＝ （x＋ ）2，则y＝at＋ 为y关于t的经验回归方程. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知变量y关于x的非线性经验回归方程为y＝ebx－0.5，若对y＝ebx－0.5 两边取自然对数，可以发现ln y与x线性相关，现有一组数据如下表所示， x＝5时，预测y值为 ⁠. x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 e7.5 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：对y＝ebx－0.5两边取对数，得ln y＝bx－0.5，令z＝ln y则z＝bx－ 0.5，列表如下： x 1 2 3 4 y e e3 e4 e6 z 1 3 4 6 ＝ ＝2.5， ＝ ＝3.5 ，代入 ＝b －0.5得3.5＝b·2.5 －0.5，故b＝1.6，故z＝1.6x－0.5，y＝e1.6x－0.5，当x＝5时，y＝ e1.6×5－0.5＝e7.5. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 某种产品的投入x（单位：万元）与收入y（单位：万元）之间的关系 如下表所示： x/万元 2 4 5 6 8 y/万元 30 40 60 50 70 若y与x的经验回归方程为 ＝6.5x＋17.5，则相应于点（4，40）的残差 为（　　） A. －4.5 B. 4.5 C. －3.5 D. 3.5 解析： 　 ＝4×6.5＋17.5＝43.5，ε＝40－43.5＝－3.5. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 用模型y＝aebx＋1（a＞0）拟合一组数据时，令z＝ln y，将其变换后得 到经验回归方程z＝2x＋a，则 ＝（　　） A. e B. C. D. 2 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对y＝aebx＋1（a＞0）两边同时取自然对数，得ln y＝ln（aebx ＋1）＝ln a＋bx＋1，令z＝ln y，则z＝bx＋ln a＋1，所以 解得 所以 ＝2.故选D. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4 种不同模型，计算可得它们的决定系数R2如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 则回归模型拟合效果最好的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 解析： 　决定系数R2越大，表示回归模型的拟合效果越好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 某样本点（xi，yi）（i＝1，2，…，n）的经验回归方程为 ＝0.5x＋ 0.7，当x＝8时，y的实际值为4.5，则当x＝8时，预测值与实际值的差值 为（　　） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 解析： 　当x＝8时，y的预测值 ＝4.7，4.7－4.5＝0.2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知变量y关于变量x的经验回归方程为 ＝bln x＋0.24，其一组数据 如表所示： x e e3 e4 e6 e7 y 1 2 3 4 5 若x＝e10，则y的值大约为（　　） A. 4.94 B. 5.74 C. 6.81 D. 8.04 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　令t＝ln x，则 ＝bt＋0.24.由题意得， ＝4.2， ＝3，由线 性经验回归直线过样本的中心点，有b＝ ，所以 ＝ ln x＋0.24，将x ＝e10代入得 ≈6.81.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图是一组实验数据的散点图，拟合方程为y＝ ＋c（x＞0），令t＝ ，则y关于t的经验回归直线过点（2，5），（12，25），则当y∈ （1.01，1.02）时，x的取值范围是（　　） A. （0.01，0.02） B. （50，100） C. （0.02，0.04） D. （100，200） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　根据题意可得y＝bt＋c（t＞0），由y关于t的经验回归直线过 点（2，5），（12，25）可得： 解得 所以y＝2t ＋1，由y∈（1.01，1.02）可得1.01＜2t＋1＜1.02，所以0.005＜t＜ 0.01，所以0.005＜ ＜0.01，所以100＜x＜200，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕某研究小组采集了5组数据，作出如图所示的散点图.若去掉D （3，10）后，下列说法正确的是（　　） A. 样本相关系数r变小 B. 决定系数R2变大 C. 残差平方和变大 D. 自变量x与因变量y的相关性变强 解析： 　根据散点图可知，去掉点D（3，10）后，y与x的线性相关性 加强，且为正相关，样本相关系数r变大，则A错，D对；去掉点D（3， 10）后，残差平方和变小，则R2变大，B对，C错.故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕某种商品的价格x（单位：元/kg）与日需求量y（单位：kg） 之间的对应数据如下表所示： x 10 15 20 25 30 y 11 10 8 6 5 根据表中的数据可得经验回归方程 ＝ x＋14.4，则以下说法正确的是 （　　） A. 样本相关系数r＞0 B. ＝－0.32 C. 若该商品的价格为35元/kg，则日需求量大约为3.2 kg D. 第四个样本点对应的残差为－0.4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A、B，由题表中的数据，得 ＝ ＝20， ＝ ＝8，将 ， 代入 ＝ x＋14.4得 ＝－0.32，所以A选 项说法错误，B选项说法正确；对于C，将x＝35代入 ＝－0.32x＋ 14.4，得 ＝3.2，所以日需求量大约为3.2 kg，所以C选项说法正确；对 于D，第四个样本点对应的残差为y4－ ＝6－（－0.32×25＋14.4）＝－ 0.4，所以D选项说法正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指 数曲线y＝ebx＋a的周围，令z＝ln y，求得经验回归方程为 ＝0.25x－ 2.58，则该模型的回归方程为 ⁠. 解析：由z＝ln y， ＝0.25x－2.58，得ln ＝0.25x－2.58，所以 ＝ e0.25x－2.58.故该模型的回归方程为 ＝e0.25x－2.58. ＝e0.25x－2.58 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 某工厂为研究某种产品的产量x（吨）与所需某种原材料y（吨）的相 关性，在生产过程中收集了对应数据如下表所示，根据表中数据，得出y 关于x的经验回归方程为 ＝0.6x＋ .据此计算出在样本（4，3）处的残 差为－0.15，则表中m＝ ⁠. x 3 4 5 6 y 2 3 4 m 4.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：∵样本（4，3）处的残差为－0.15，且y关于x的经验回归方程为 ＝0.6x＋ ，∴3－（0.6×4＋ ）＝－0.15，解得 ＝0.75，故经验回归 方程为 ＝0.6x＋0.75，∵ ＝ ＝4.5， ＝ ＝ ， ∴ ＝0.6×4.5＋0.75，解得m＝4.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. “绿水青山就是金山银山”的理念推动了新能源汽车产业的迅速发展. 以下表格和散点图反映了近几年我国某新能源汽车的年销售量情况. 年份 2020 2021 2022 2023 2024 年份代码x 1 2 3 4 5 某新能源汽车 年销售量y/万辆 1.5 5.9 17.7 32.9 55.6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）请根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cx2＋d中哪一个更适宜作为年 销售量y关于年份代码x的回归方程类型.（给出判断即可，不必说明理 由） 解：根据散点图可知，y＝cx2＋d更适宜作为年销售量y关于年份代码x的回归方程类型. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测 2025年我国该新能源汽车的年销售量.（精确到0.1） 参考数据： ＝22.72， （wi－ ）2＝374， （wi－ ）（yi－ ） ＝851.2（其中wi＝ ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 令w＝x2，则 ＝ w＋ . 易知 ＝11， ＝ ＝ ≈2.28， ＝ － ≈22.72－2.28×11＝－2.36， 所以 ＝2.28w－2.36， 所以y关于x的回归方程为 ＝2.28x2－2.36. 令x＝6，得 ＝79.72≈79.7. 故预测2025年我国该新能源汽车的年销售量为79.7万辆. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组 数据如下： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 若由最小二乘法计算得经验回归方程 ＝0.29x＋34.7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）计算各组残差，并计算残差平方和； 解： 由 ＝ xi＋ ，可以算得 ＝yi－ . 分别为 ＝0.35， ＝0.718， ＝－0.5， ＝－2.214， ＝1.624， 所以残差平方和为 （ ）2≈8.43. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏. 解： 由表中数据得 ＝43.5， （yi－ ）2＝50.18， 故R2＝1－ ≈1－ ≈0.832. 所以回归模型的拟合效果较好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索 销售模式.下表是该企业每月生产的一种核心产品的产量x（单位：t）与相 应的生产总成本y（单位：万元）的五组对照数据. 产量x/t 1 2 3 4 5 生产总成本y/万元 3 7 8 10 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （1）根据上表数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求y关于x的经验 回归方程 ＝ x＋ . 解： 计算 ＝ （1＋2＋3＋4＋5）＝3， ＝ （3＋7＋8＋10＋12）＝8， ＝12＋22＋32＋42＋52＝55， xiyi＝1×3＋2×7＋3×8＋4×10＋5×12＝141， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 ＝ ＝ ＝2.1， ＝ － ＝8－2.1×3＝1.7， 因此，经验回归方程为 ＝2.1x＋1.7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）记第（1）问中所求y与x的经验回归方程 ＝ x＋ 为模型①，同时 该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了y与x的回归模型②： ＝ x2＋1.其中模型②的残差图（残差＝实际值－估计值）如图所示. 请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜 作为y关于x的回归方程，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 模型①的残差表为 x 1 2 3 4 5 y 3 7 8 10 12 ​ 3.8 5.9 8 10.1 12.2 ​ －0.8 1.1 0 －0.1 －0.2 画出残差图，如图所示： 结论：模型①更适宜作为y关于x的回归方 程，理由1：模型①的5个样本点的残差点落 在的带状区域比模型②的带状区域更窄； 理由2：模型①的5个样本点的残差点比模型 ②的残差点更贴近x轴.（写出一个理由即可） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）根据模型①中y与x的经验回归方程，预测产量为6 t时生产总成本为 多少万元. 解： 根据模型①中y与x的经验回归方程，计算x＝6时， ＝2.1×6 ＋1.7＝14.3， 所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $