7.3 第1课时 组合与组合数公式-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦组合及组合数概念、公式推导与应用，通过团代会选代表的顺序与无顺序问题导入，衔接排列知识，搭建从排列到组合的学习支架，帮助学生建立知识联系。 其亮点在于情境贴近生活引发思考，典例分题型结合通性通法，培养逻辑推理与数学运算能力。自我诊断和随堂检测及时巩固，助力数学建模应用。学生能深化概念理解，教师可利用分层练习提升教学效率。

7.3　组合 1 1.通过实例，了解组合及组合数的概念（数学抽象）. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式求值（逻辑推理、数学运算）. 3.会用组合知识解决一些简单的组合问题（数学运算、数学建模）. 课标要求 第1课时　组合与组合数公式 3 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　在某次团代会上，某班级需要从5名候选人中选择3人担任代表上 台发言. 【问题】　（1）若3人发言有顺序，有多少种选择方案？ （2）若3人发言无顺序，又有多少种选择方案？ （3）由问题（1）（2），你能发现怎样的关系？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　组合的定义 　一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素 ，叫作 从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 　　提醒：排列与组合的区别是排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺 序无关. 并成一组　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　组合数与组合数公式 组合数 定义 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的 ⁠ 的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组 合数 符号表示 ⁠ 组合 数公 式 乘积式 ＝ 　 　＝ 　 　 阶乘式 ＝ ⁠ 所有组 合　 　 　 　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）1，2，3与3，2，1是同一个组合. （　√　） （2）两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. （　√　） （3）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军是组合问题. （　×　） 2. 计算 ＝ ， ＝ ⁠. 解析： ＝ ＝28， ＝ ＝35. 3. 现有6名党员，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为 ⁠. 解析：由题意得，不同选法的种数为 ＝15. √ √ × 28 35 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜组合的有关概念 【例1】　（链接教科书第75页练习1题）判断下列问题是组合问题还是排 列问题： （1）设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有 多少个？ 解：因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少 种票价？ 解：因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题； 但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合 问题. （3）从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构 成一个分数，共能构成多少个不同的分数？ 解：选出的2个数作分子或分母，结果是不同的，是排列问题. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （4）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务， 有多少种不同的选法？ 解：3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. （5）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？ 解：3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 判断一个问题是否是组合问题的流程 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　从5个不同元素a，b，c，d，e中取出2个，共有多少种不同的组合？ 请写出所有组合. 解：先将元素按照一定顺序排好，然后按顺 序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如 图所示. 由此可得所有的组合：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de， 共有10种. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜组合数及组合数公式 角度1　利用组合数化简、求值 【例2】　（链接教科书第74页例2）计算：（1） － · ； 解：原式＝ － ＝ －7×6×5＝210－210＝0. （2） ＋ . 解：∵ ∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*， ∴n＝10， ∴ ＋ ＝ ＋ ＝466. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 角度2　利用组合数证明 【例3】　证明： ＝ . 证明： ＝ · ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 关于组合数公式的选取技巧 　　公式 ＝ 常用于n为具体数的题目，多用于组合数的计算；公式 ＝ 常用于n为字母的题目，多用于解不等式或证明恒等式. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 求值：3 －2 ＝ ⁠. 解析：3 －2 ＝3× －2× ＝148. 148 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 解方程：11 ＝24 . 解：原方程可化为 11· ＝24· ， 即11x2－105x－50＝0， 解得x＝10或x＝－ . 又x≥3且x∈N*，所以x＝10. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜简单的组合问题 【例4】　在一次数学竞赛中，某校有12人通过了初试，该校要从中选出5 人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ （1）任意选5人； 解： 从中任取5人是组合问题，共有 ＝792（种）不同的选法. （2）甲、乙、丙三人必须参加； 解： 甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问 题，共有 ＝36（种）不同的选法. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）甲、乙、丙三人不能参加； 解： 甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有 ＝126（种）不同的选法. （4）甲、乙、丙三人只能有1人参加. 解： 甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分两步：先从甲、乙、丙中 选1人，有 ＝3（种）选法；再从另外9人中选4人，有 种选法.共有 × ＝378（种）不同的选法. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解简单的组合问题的策略 （1）解简单的组合问题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排 列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题 与取出元素的顺序无关； （2）要注意两个基本计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用. 提醒　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 某校组织文艺汇演，有8个不同的节目，其中3个舞蹈节目，5个歌唱节目. 要从中选取4个节目参加年级汇演，且舞蹈节目至少有1个，有多少种不同 的选法？ 解：可分三类情况. 第一类，选1个舞蹈节目和3个歌唱节目，选法有 × ＝3×10＝30种； 第二类，选2个舞蹈节目和2个歌唱节目，选法有 × ＝3×10＝30种； 第三类，选3个舞蹈节目和1个歌唱节目，选法有 × ＝1×5＝5种. 由分类计数原理，共有30＋30＋5＝65种不同选法. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 下列问题中属于组合问题的是（　　） A. 从4名志愿者中选出2人分别担任导游和翻译 B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C. 从全班同学中选出3名同学出席运动会开幕式 D. 10个人相互写一封信，共写了几封信 解析： 　A、B、D三个选项都与顺序有关，而C是从全班同学中选出3名 同学出席运动会开幕式与顺序无关，故为组合问题. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. ＋ ＝（　　） A. 9 B. 18 C. 28 D. 36 解析： 　 ＋ ＝ ＋ ＝3＋15＝18. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3.6个朋友聚会，每两人握手1次，则一共握手的次数是（　　） A. B. C. 62 D. 26 解析： 　每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，从6人中取出2人的 一个组合就是一次握手，故一共握手的次数是 . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4.10个人分成甲、乙两组，甲组4人、乙组6人，则不同的分组种数 为 （用数字作答）. 解析：先给甲组选4人，有 种选法，余下的6人为乙组，故共有不同的 分组种数为 ＝210. 210 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 某新农村社区共包括8个自然村，且这些村庄分布零散，没有任何三个 村庄在一条直线上，现要在该社区内建“村村通”工程，共需建公路的条 数为（　　） A. 4 B. 8 C. 28 D. 64 解析： 　由于“村村通”公路的修建，是组合问题，故共需要建 ＝28 （条）公路. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知 ＝15，那么 ＝（　　） A. 20 B. 30 C. 42 D. 72 解析： 　法一　由 ＝ ＝15，得n2－n－30＝0，即（n－6） （n＋5）＝0，解得n＝6或n＝－5（舍去），故 ＝ ＝30. √ 法二　由 ＝ 知， ＝ · ，故 ＝ · ＝15×2＝30. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知平面内A，B，C，D这4个点中任何3点不共线，则由其中每3点为 顶点的所有三角形的个数为（　　） A. 3 B. 4 C. 12 D. 24 解析： 　由于与顺序无关，所以是组合问题，故共有 ＝4个三角形.故 选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场 馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有 （　　） A. 120种 B. 90种 C. 60种 D. 30种 解析： 　先安排1名学生去甲场馆，有 种方法；再从剩余的5名学生中 安排2名学生去乙场馆，有 种方法；最后剩下的3名学生去丙场馆，有 种方法，故不同的安排方法共有 ＝60（种）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕给出下列几个问题，其中是组合问题的是（　　） A. 求由1，2，3，4构成的含有两个元素的集合的个数 B. 求5个队进行单循环比赛的分组情况的种数 C. 3人去做5种不同的工作，每人做1种，求不同的安排种数 D. 求由1，2，3组成的无重复数字的两位数的个数 解析： 　对于A、B，选出元素就完成了这件事，是组合问题；对于C、 D，选出的元素还需排列，与顺序有关，是排列问题.故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕下列选项正确的是（　　） A. ＝ B. ＝m C. ÷ ＝ D. ＝ 解析：ACD　A显然成立；对于B选项， ＝n（n－1）（n－2）…（n －m＋1）， ＝（n－1）（n－2）…（n－m＋1），所以 ＝ n ，故B不成立；对于C选项， ÷ ＝ ＝ ＝ ，故C成立；对于D选项， ＝ ＝ ＝ ， 故D成立. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. ÷ ＝ ⁠. 解析： ÷ ＝ ÷ ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 计算： ＋ ＝ ⁠. 解析：∵ ∴ ≤n≤5.∵n∈N*，∴n＝5，∴ ＋ ＝ ＋ ＝1＋6＝7. 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 男、女学生共有8人，从男生中选出2人，从女生中选出1人，共有30种 不同的选法，其中女生有 人. 解析：设男生有x人，则女生有（8－x）人.∵从男生中选出2人，从女生 中选出1人，共有30种不同的选法，∴ × ＝30，∴x（x－1）（8 －x）＝30×2＝2×6×5或x（x－1）（8－x）＝3×4×5.∴x＝6，8－6 ＝2或x＝5，8－5＝3.∴女生有2人或3人. 2或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 现有5名男司机、4名女司机，需选派5人运货到某市. （1）如果派3名男司机、2名女司机，共有多少种不同的选派方法？ 解： 从5名男司机中选派3名，有 种方法， 从4名女司机中选派2名，有 种方法. 根据分步计数原理得，所选派的方法种数为 ＝60. （2）至少有两名男司机，共有多少种不同的选派方法？ 解： 从9人中任选5人运货有 种方法. 其中1名男司机、4名女司机有 ＝5（种）选法. 所以至少有两名男司机的选派方法有 －5＝121（种）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 已知圆上有9个点，每两点连一线段，若任意两条线段在圆内的交点不 同，则所有线段在圆内的交点有（　　） A. 36个 B. 72个 C. 63个 D. 126个 解析： 　此题可划归为圆上9个点可组成多少个四边形，所有四边形的对 角线交点个数即为所求，所以交点有 ＝126（个）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕有13名医生，其中女医生6人，现从中抽调5名医生组成医疗 小组前往某地区参与救援，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名 女医生，设不同的选派方法种数为N，则下列等式能成为N的算式的是 （　　） A. － B. ＋ ＋ ＋ C. － － D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　13名医生，其中女医生6人，男医生7人.（1）直接法：2男3女 ；3男2女 ；4男1女 ；5男 ，所以N＝ ＋ ＋ ＋ .（2）间接法：13名医生，任取5人，减去4，5名女医生的情 况，即N＝ － － .故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网 （图中黑线表示道路），则从西南角的A地到东北角的B地的最短路线共 有 条（用数字作答）. 126 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：要使路线最短，只能向右或向上走，途中不能向左或向下走.因此， 从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线 段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段 走横线段，共有 × ＝126（种）走法，故从A地到B地的最短路线共 有126条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. （1）求 ＋ 的值； 解： 由组合数的定义知 所以7≤r≤9.又r∈N*， 所以r＝7，8，9， 当r＝7时，原式＝ ＋ ＝46； 当r＝8时，原式＝ ＋ ＝20； 当r＝9时，原式＝ ＋ ＝46. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：根据组合数公式可将原方程化为 － ＝ ， 即60－10（6－m）＝（7－m）（6－m）， 整理得m2－23m＋42＝0， 解得m＝2或m＝21. 又0≤m≤5，m∈N*，所以m＝2. 故 ＝ ＝ ＝28. （2）已知 － ＝ ，求 的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 10级台阶，某人可一步跨一级，也可跨两级，也可跨三级. （1）他6步就可上完台阶的方法数是多少？ 解： 设跨1级、2级、3级的步数分别为x，y，z， 所以 解得 或 或 所以方法总数为 ＋ ＋ ＝15＋60＋15＝90. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）他上完台阶的方法总数是多少？ 解： 由x＋2y＋3z＝10且x，y，z∈N， 所以（x，y，z）的可能组合有（0，2，2），（0，5，0），（1，0， 3），（1，3，1），（2，1，2），（2，4，0），（3，2，1），（4，3， 0），（4，0，2），（5，1，1），（6，2，0），（7，0，1），（8，1， 0），（10，0，0）. 对应的情况数为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 所以共有6＋1＋4＋20＋30＋15＋60＋35＋15＋42＋28＋8＋9＋1＝274种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $