第7章 培优课 二项式定理的综合应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件系统梳理二项式定理综合应用的核心内容，涵盖两个二项式乘积特定项、三项展开式特定项、整除与余数问题等题型，通过通性通法总结构建知识网络，将题型解析、方法提炼与跟踪训练有机串联，呈现清晰的逻辑脉络。 其亮点在于采用“题型示例-通法总结-分层训练”模式，如三项展开式中用组合原理法分析项的构成，培养数学思维与抽象能力，课时作业设计基础题与综合题，满足不同学生需求，助力教师精准教学，有效提升学生知识应用与问题解决能力。

培优课　二项式定理的综合应用 1 题型一｜求两个二项式乘积的特定项问题 【例1】　（1）（x2＋1）（2x－ ）6的展开式中常数项为（　A　） A. －100 B. 100 C. －50 D. 50 解析：（2x－ ）6展开式的通项为Tk＋1＝ ·（2x）6－k（－x－1）k＝ （－1）k·26－k x6－2k，令6－2k＝0，则k＝3，令6－2k＝－2，则k＝ 4，所以常数项为－23 ＋22 ＝－160＋60＝－100. A 数学·选择性必修第二册（SJ） （2） （x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 （用数字作 答）. 解析：（x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝ x8－ryr，r＝0，1，…，7，8.令r ＝6，得T6＋1＝ x2y6，令r＝5，得T5＋1＝ x3y5，所以 （x＋ y）8的展开式中x2y6的系数为 － ＝－28. －28 数学·选择性必修第二册（SJ） 通性通法 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点； （2）找到构成展开式中特定项的组成部分； （3）分别求解再相乘，求和即得. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　已知（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－240，则该二项展开 式中的常数项为 ⁠. －640 解析：（x＋ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ x6－k（ ）k＝ 2kx6－ 2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝ （舍去）；令6－ 2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－a 22 ＝－240，解得a＝4.令6－2k＝－1，得k＝ （舍去）；令6－2k＝0，得 k＝3.故（2x－4）（x＋ ）6的展开式中的常数项为－4 ·23＝－640. 数学·选择性必修第二册（SJ） 题型二｜求三项展开式中的特定项问题 【例2】　（1）（ ＋ ＋ ）5（x＞0）的展开式中的常数项 为 ⁠； 解析： （ ＋ ＋ ）5（x＞0）可化为（ ＋ ）10，因而Tr＋1＝ ·（ ）10－r·（ ）10－2r，令10－2r＝0，得r＝5，故展开式中的常数 项为 ·（ ）5＝ . ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）（x2－ ＋y）6的展开式中，x3y3的系数是 .（用数字作 答） 解析：（x2－ ＋y）6表示6个因式x2－ ＋y的乘积，在这6个因式中，有3 个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－ ，即可得到x3y3 的系数，即x3y3的系数是 ×（－2）＝20×3×（－2）＝－120. －120 数学·选择性必修第二册（SJ） 通性通法 求三项展开式中特定项（系数）的方法 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 1. （2x2－x－1）5的展开式中x2的系数为（　　） A. 400 B. 120 C. 80 D. 0 解析： 　（2x2－x－1）5＝（x－1）5（2x＋1）5，（x－1）5的展开式 的通项为 x5－r（－1）r，r＝0，1，…，5，（2x＋1）5的展开式的通项 为 （2x）5－k，k＝0，1，…，5，故原式的通项为（－1）r25－k x10－（k＋r），当10－（k＋r）＝2时，k＋r＝8，此时k与r的取值有3种情 况，分别为k＝3，r＝5；k＝4，r＝4；k＝5，r＝3.故展开式中x2的系数 为（－1）522 ＋（－1）42 ＋（－1）3 ＝0. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 求（x－2y＋1）5的展开式中含x2y项的系数. 解：（x－2y＋1）5＝[1＋（x－2y）]5， 设该二项式的通项公式为Tr＋1＝ ·15－r·（x－2y）r＝ ·（x－2y）r， 因为x2y的次数为3， 所以令r＝3，二项式（x－2y）3的通项公式为T'r'＋1＝ ·x3－r'·（－2y） r'， 令r'＝1，所以x2y项的系数为 · ·（－2）＝－60. 数学·选择性必修第二册（SJ） 题型三｜有关整除或求余数问题 【例3】　（1）已知3×1010＋a（0≤a＜11）能被11整除，则实数a的值 为 ⁠； 解析：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋ 119×（－1） ＋…＋ （－1）10]＋a＝3（1110－ 119＋…－ ×11）＋3×1＋a. 因为3×1010＋a能被11整除，所以3＋a能被11整除.又因为0≤a＜11，所 以a＝8. 8 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）（链接教科书第87页例5）用二项式定理证明1110－1能被100整除. 证明：因为1110－1＝（10＋1）10－1 ＝（1010＋ ×109＋…＋ ×10＋1）－1 ＝1010＋ ×109＋ ×108＋…＋102 ＝100（108＋ ×107＋ ×106＋…＋1）. 故1110－1能被100整除. 数学·选择性必修第二册（SJ） 通性通法 整除性问题或求余数问题的处理方法 （1）构造一个与题目条件有关的二项式； （2）用二项式定理解决问题，通常把被除数的底数写成除数（或与除数密 切关联的数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面 （或者是前面）的几项就可以了. 数学·选择性必修第二册（SJ） 【跟踪训练】 　已知Sn＝2n＋ 2n－1＋ 2n－2＋…＋ 2＋1（n∈N*），求证：当 n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除. 证明：因为Sn＝2n＋ 2n－1＋ 2n－2＋…＋ ·2＋1＝（2＋1）n＝3n， 所以Sn－4n－1＝3n－4n－1， 又n为偶数，可设n＝2k（k∈N*）， 则Sn－4n－1＝32k－8k－1＝（1＋8）k－8k－1 ＝ ＋8 ＋82 ＋…＋8k－1 ＋8k －8k－1 ＝82（ ＋8 ＋…＋8k－2 ）.　（*） 当k＝1时，Sn－4n－1＝0，显然能被64整除； 当k≥2时，（*）式能被64整除. 所以，当n为偶数时，Sn－4n－1能被64整除. 数学·选择性必修第二册（SJ） 课时作业 课时作业 1. 在x（1＋x）6的展开式中，含x3项的系数为（　　） A. 30 B. 20 C. 15 D. 10 解析： 　因为（1＋x）6的展开式的通项为Tk＋1＝ xk，所以x（1＋x） 6的展开式中含x3的项为 x3＝15x3，所以含x3项的系数为15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. （1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为（　　） A. 12 B. 16 C. 20 D. 24 解析： 　法一　（1＋2x2）（1＋x）4的展开式中x3的系数为1× ＋ 2× ＝12.故选A. √ 法二　∵ （1＋2x2）（1＋x）4＝（1＋2x2）（1＋4x＋6x2＋4x3＋x4）， ∴ x3的系数为1×4＋2×4＝12.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 3. （x2＋x＋y）5的展开式中，x5y2的系数为（　　） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 解析： 　法一　（x2＋x＋y）5＝[（x2＋x）＋y]5，含y2的项为T3＝ （x2＋x）3·y2.其中（x2＋x）3中含x5的项为 x4·x＝ x5.所以x5y2的系 数为 ＝30，故选C. √ 法二　（x2＋x＋y）5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2， 一个取x即可，所以x5y2的系数为 ＝30，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 4. 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期（　　） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 解析： 　求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数.因为810＝（7＋ 1）10＝710＋ ×79＋…＋ ×7＋1＝7M＋1（M∈N*），所以第810天 相当于第1天，故为星期一. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 5. 在（2＋x）6（1＋y）m的展开式中，若x3y的系数为800，则含xy4项的 系数为（　　） A. 30 B. 960 C. 300 D. 360 解析： 　由题意可知 ×23× ＝800，即160m＝800，解得m＝5，所 以含xy4项的系数为 ×25× ＝6×32×5＝960.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 6. 〔多选〕对于二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*），以下判断正 确的有（　　） A. 存在n∈N*，使展开式中有常数项 B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C. 对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D. 存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　（ ＋ ）n的展开式的通项为Tr＋1＝ ·3r· ，r＝0， 1，2，…，n，（ ＋x3）n的展开式的通项为Tk＋1＝ ·x4k－n，k＝0， 1，2，…，n.则二项式（ ＋ ）n（ ＋x3）n（n∈N*）的展开式的通 项为 ·3r· · ·x4k－n，未知数x的次数为 ＋4k－n＝－ － ＋ 4k，令－ － ＋4k＝0，即3r＋n＝8k，r＝1，k＝1，n＝5是其中一组 解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×3× ＝75，故展开式中有常数 项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 令－ － ＋4k＝1，即3r＋n＋2＝8k，r＝0，k＝1，n＝6是其中一组 解，此时， ·3r· · ·x4k－n＝ ×30×x3× ×x－2＝6x，故展开 式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 7. （x＋2＋ ）3展开式中的常数项为 ⁠. 解析：因为（x＋2＋ ）3＝［ ］3＝ ，所以展开式中的 常数项即分子（x＋1）6展开式中x3的系数，即 ＝20. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 8. 设（1＋x＋x2）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋ a2n＝ ⁠. 解析：令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n　①.令x＝－1，得1 ＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n　②.①＋②得3n＋1＝2（a0＋a2＋…＋ a2n），∴a0＋a2＋…＋a2n＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 9. 若（x2－a）（x＋ ）10的展开式中x6的系数为30，则a＝ ⁠. 解析：（x＋ ）10的展开式的通项为Tr＋1＝ x10－r·（ ）r＝ x10－2r， 令10－2r＝4，解得r＝3，所以x4的系数为 ；令10－2r＝6，解得r＝ 2，所以x6的系数为 ，所以（x2－a）（x＋ ）10的展开式中x6的系数 为 －a ＝30，解得a＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 10. 设 的小数部分为x，则x4＋16x3＋96x2＋256x＝ ⁠. 解析：由5＞ ＞ ＝4，得 的整数部分为4，则 ＝x＋ 4，所以（x＋4）4＝258，即 x4＋4 x3＋16 x2＋64 x＋256 ＝x4 ＋16x3＋96x2＋256x＋256＝258，故x4＋16x3＋96x2＋256x＝2. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 11. （1）试求1 99510除以8的余数； 解： 1 99510＝（8×249＋3）10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴1 99510除以8的余数与310除以8的余数相同. 又∵310＝95＝（8＋1）5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这 个因数， ∴310除以8的余数为1，即1 99510除以8的余数也为1. （2）求1.9975的近似值（精确到0.001）. 解： 1.9975＝（2－0.003）5≈25－ ×0.003×24＋ ×0.0032×23 ＝32－0.24＋0.000 72≈31.761. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 12. 已知（ax2＋ ）n的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数 和为－1. （1）求n和a的值； 解：由条件可得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）求（2x－1）（ax2＋ ）n的展开式中的常数项. 解：（2x－1）（ax2＋ ）n＝（2x－1）（－2x2＋x－1）7. ∵（－2x2＋x－1）7展开式的通项为Tk＋1＝ （－2x2）7－k（x－1）k＝ （－2）7－kx14－3k. ∴当14－3k＝－1，即k＝5时，2x· （－2）2x－1＝168； 当14－3k＝0，即k＝ 时，舍去. ∴所求的常数项为168. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） 13. 当n∈N，且n＞1时，求证：2＜（1＋ ）n＜3. 证明：（1＋ ）n＝ ＋ × ＋ （ ）2＋…＋ （ ）n＝1＋1＋ × ＋ × ＋…＋ × ＝2＋ × ＋…＋ × ＜2＋ ＋…＋ ＜2＋ ＋ ＋…＋ ＝2＋ ＝3－（ ）n－1＜3. 显然（1＋ ）n＝1＋1＋ × ＋ × ＋…＋ × ＞2. 所以2＜（1＋ ）n＜3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 数学·选择性必修第二册（SJ） $