7.4.1 二项式定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦二项式定理，通过观察（a+b）¹到（a+b）⁴展开式，引导学生发现系数规律及与组合数的联系，搭建从具体实例到抽象定理的学习支架，衔接多项式运算与计数原理。 其亮点在于以问题驱动情境导入培养数学抽象，通过定理证明和正用逆用、特定项求解等题型解析发展逻辑推理与数学运算。通性通法总结助力学生掌握解题策略，分层作业满足不同需求，帮助教师高效教学，提升学生数学核心素养。

7.4.1　二项式定理 1 1.理解二项式定理的相关概念（数学抽象）. 2.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理（逻辑推理）. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　观察以下各式： 　　（a＋b）1＝a＋b， 　　（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2， 　　（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， 　　（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4， 　　… 【问题】　（1）它们的系数之间有何规律？ （2）各项系数与我们学过的组合数有何联系？ （3）那么（a＋b）n的展开式又是什么？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点　二项式定理 二项式 定理 （a＋b）n＝ ⁠ （n∈N*） 二项式 系数 （r＝0，1，2，…，n） 二项展开 式的通项 ＝ ⁠ an＋ b br＋…＋ bn　 　 br　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：　二项展开式的特点：①展开式共有n＋1项；②各项中a，b 的次数和都等于二项式的幂指数n；③字母a按降幂排列，次数由n递减到 0，字母b按升幂排列，次数由0递增到n. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）（a＋b）n展开式中共有n项. （　×　） （2）在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响. （　×　） （3） an－rbr是（a＋b）n展开式中的第r项. （　×　） （4）（a－b）n与（a＋b）n的二项式展开式的二项式系数相同. （　√　） × × × √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. （x＋2）n的展开式共有11项，则n＝（　　） A. 9 B. 10 C. 11 D. 8 解析： 　因为（a＋b）n的展开式共有（n＋1）项，而（x＋2）n的展 开式共有11项，所以n＝10，故选B. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. （x3－ ）4的展开式中常数项为 ⁠. 解析：（x3－ ）4的展开式的通项为Tk＋1＝ （x3）4－k（－ ）k＝ （－1）k x12－4k，令12－4k＝0，即k＝3，得常数项为T4＝（－1） 3 ＝－4. 4. 在（1－2x）6的展开式中，x2的系数为 （用数字作答）. 解析：（1－2x）6的展开式的通项Tk＋1＝ （－2）kxk，当k＝2时，T3 ＝ （－2）2x2＝60x2，所以x2的系数为60. －4 60 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜二项式定理的正用、逆用 【例1】　（链接教科书第83页例1）（1）求（x＋2y）4的展开式； 解：（x＋2y）4＝ x4＋ x3（2y）＋ x2（2y）2＋ x（2y）3 ＋ （2y）4＝x4＋8x3y＋24x2y2＋32xy3＋16y4. （2）化简： （x＋1）n－ （x＋1）n－1＋ （x＋1）n－2－…＋ （－1）k （x＋1）n－k＋…＋（－1）n . 解：原式＝ （x＋1）n＋ （x＋1）n－1（－1）＋ （x＋1）n －2（－1）2＋…＋ （x＋1）n－k（－1）k＋…＋ （－1）n＝[（x＋ 1）＋（－1）]n＝xn. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 运用二项式定理解题的策略 （1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时 要注意二项展开式的特点，前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如 （a－b）n的展开式中会出现正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简 再用二项式定理展开； （2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟 悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. 提醒　逆用二项式定理时如果项的系数是正负相间的，则是（a－b）n的 形式. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知 3n＋ 3n－1＋ 3n－2＋…＋ 3＋ ＝1 024，则n ＝ ⁠. 解析： 3n＋ 3n－1＋…＋ 3＋ ＝ 3n·10＋ 3n－1·11＋…＋ 31·1n－1＋ 30·1n＝（3＋1）n＝4n＝1 024＝210，即22n＝210，解得n ＝5. 5 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 求 的展开式. 解：法一　 ＝ （3 ）4＋ （3 ）3· ＋ （3 ） 2 ＋ （3 ）· ＋ ＝81x2＋108x＋54＋ ＋ . 法二　 ＝ ＝ （1＋3x）4＝ ·[1＋ ·3x＋ （3x）2＋ （3x）3＋ （3x）4]＝ （1＋12x＋54x2＋108x3＋81x4） ＝ ＋ ＋54＋108x＋81x2. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜二项展开式通项的应用 角度1　二项式系数与项的系数 【例2】　（链接教科书第84页例2）在二项式（3 － ）10的二项展开 式中，求： （1）第4项的二项式系数； 解：（3 － ）10的展开式的通项是 Tr＋1＝ （3 ）10－r（－ ）r ＝ 310－r（－ ）r· （r＝0，1，2，…，10）. 展开式的第4项（r＝3）的二项式系数为 ＝120. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）第4项的系数. 解：展开式的第4项的系数为 37（－ ）3＝－77 760. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项 数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 2. 求二项式系数可直接代入求解 .求二项展开式某项的系数可以分为两 步完成：（1）根据所给出的条件和通项公式，建立方程来确定指数，求解 时要注意二项式系数中n和r的隐含条件（n为正整数，r为非负整数， n≥r）；（2）根据所求的指数，求所求解的项或项的系数. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　若（1－2x）n的展开式中x3的系数为－160，则正整数n的值为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 解析： 　（1－2x）n的展开式的通项为Tk＋1＝ 1n－k·（－2x）k＝（－ 2）k xk，又展开式中x3的系数为－160，则（－2）3 ＝－160，则 ＝20，解得n＝6. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 角度2　二项展开式中的特定项 【例3】　（链接教科书第84页例3）在二项式（x－ ）12的展开式中， 求：（1）第4项；（2）常数项；（3）有理项. 解：二项展开式的第r＋1项是Tr＋1＝ x12－r·（－ ）r＝（－1） r . （1）令r＝3，则T4＝（－1）3 ＝－220x8. （2）令12－ r＝0，则r＝9，从而常数项为（－1）9 ＝－220. （3）若求展开式中的有理项，则12－ r为整数，即r＝0，3，6，9，12， 故有理项分别为T1＝x12，T4＝－ x8＝－220x8，T7＝ x4＝924x4，T10 ＝－ ＝－220，T13＝x－4. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求二项展开式特定项的步骤 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 二项式（2x2－ ）6的展开式的中间项是 　－ x3　. 解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝ （2x2）6－k·（－ ）k＝（－ ）k26 －k x12－3k，二项展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即k＝3，T4＝ （－ ）326－3 x12－3×3＝－ x3. － x3 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 若（x－ ）6展开式的常数项为60，则常数a的值为 ⁠. 解析：（x－ ）6的展开式的通项是Tr＋1＝ x6－r·（－ ）rx－2r＝ x6－3r（－ ）r，令6－3r＝0，得r＝2，即当r＝2时，Tr＋1为常数项， 即常数项是 a，根据已知得 a＝60，解得a＝4. 4 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 在（ －2）5的展开式中，x2的系数为（　　） A. －5 B. 5 C. －10 D. 10 解析：　由二项式定理得（ －2）5的展开式的通项Tk＋1＝ （ ）5 －k（－2）k＝ （－2）k ，令 ＝2，得k＝1，所以T2＝ ·（－ 2）·x2＝－10x2，所以x2的系数为－10，故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4x－3，则S＝（　　） A. x4 B. x4＋1 C. （x－2）4 D. x4＋4 解析： 　S＝（x－1）4＋4（x－1）3＋6（x－1）2＋4（x－1）＋1＝ （x－1）4＋ （x－1）3＋ （x－1）2＋ （x－1）＋ ＝[（x －1）＋1]4＝x4.故选A. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 若二项式 展开式中的第5项是常数项，则自然数n的值为 （　　） A. 6 B. 10 C. 12 D. 15 解析： 　由二项式 展开式的第5项T5＝ ·（ ）n－4（－ ）4 ＝16 是常数项，可得 －6＝0，解得n＝12.故选C. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 在（x－ ）8的展开式中： （1）求第3项； 解：（x－ ）8＝（x－2x－2）8， 所以第3项为T3＝ x8－2（－2x－2）2＝（－2）2 x6x－4＝4 x2＝112x2. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求含 项的系数. 解： Tr＋1＝ x8－r（－2x－2）r＝（－1）r2r x8－3r， 令8－3r＝－1，解得r＝3， 所以T4＝（－1）323 x－1＝－ . 所以含 项的系数为－448. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. （x＋ ）9的展开式中的第4项是（　　） A. 56x3 B. 84x3 C. 56x4 D. 84x4 解析： 　由展开式的通项知T4＝ x6（ ）3＝84x3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. （x－ y）10的展开式中x6y4的系数是（　　） A. －840 B. 840 C. 210 D. －210 解析： 　在通项公式Tk＋1＝ （－ y）kx10－k中，令k＝4，得x6y4的 系数为 （－ ）4＝840. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 若实数a＝2－ ，则a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（　　） A. 32 B. －32 C. 1 024 D. 512 解析： 　a10－2 a9＋22 a8－…＋210＝（a－2）10，当a＝2－ 时，（a－2）10＝32. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. （1＋3x）n（n∈N*）的展开式中，若第三项的二项式系数为6，则第 四项的系数为（　　） A. 4 B. 27 C. 36 D. 108 解析： Tk＋1＝ （3x）k，由 ＝6，得n＝4，从而T4＝ ·（3x）3，故第四项的系数为 ·33＝108. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕对于二项式（x－ ）9的展开式，下列结论正确的是（　　） A. 展开式共有10项 B. 第6项的二项式系数是126 C. 第6项的系数是126 D. x3的系数是84 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　二项展开式共有9＋1＝10（项），A正确；由已知得二项展开 式的通项为Tk＋1＝ x9－k·（－ ）k＝（－1）k· ·x9－2k，∴T6＝（－ 1）5· ·x9－2×5＝－126x－1，∴第6项的二项式系数为 ＝126，第6项的 系数为－126，故B正确，C错误；令9－2k＝3，得k＝3，即展开式中第4 项含x3，其系数为（－1）3· ＝－84，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕若二项式（x＋ ）6展开式中的常数项为15，则实数m的值可 能为（　　） A. 1 B. －1 C. 2 D. －2 解析： 　二项式（x＋ ）6展开式的通项为Tk＋1＝ x6－k·（ ）k＝ mk.令6－ k＝0，得k＝4，常数项为 m4＝15，则m4＝1，解得 m＝±1.故选A、B. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 的展开式中，第4项的二项式系数是 ，第4项的系数 是 ⁠. 解析：Tk＋1＝ ·（x2）9－k· ＝ · ·x18－3k，当k＝3时，T4 ＝ · ·x9＝－ x9，所以第4项的二项式系数为 ＝84，第4项的系 数为－ . 84 － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 在（1－x）5－（1－x）6的展开式中，含x3项的系数为 ⁠. 解析：（1－x）5中x3的系数为－ ＝－10，－（1－x）6中x3的系数为－ ·（－1）3＝20，故（1－x）5－（1－x）6的展开式中x3的系数为10. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. （x－ ）2n的展开式的中间项为 ⁠. 解析：Tr＋1＝ x2n－r（－ ）r＝（－1）r x2n－2r，展开式共有2n＋1 项，中间项为第n＋1项，即Tn＋1＝（－1）n . （－1）n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 已知二项式（2x－1）4： （1）求展开式； 解：（2x－1）4＝[2x＋（－1）]4＝ （2x）4（－1）0＋ （2x）3（－1）1＋ （2x）2（－1）2＋ （2x）1（－1）3＋ （2x） 0（－1）4＝16x4－32x3＋24x2－8x＋1. （2）求展开式中第2项的二项式系数； 解：由（1）可知展开式中第2项的二项式系数为 ＝4. （3）求展开式中第2项的系数. 解：由（1）可知展开式中第2项的系数为 ·23·（－1）＝－32. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 〔多选〕对于二项式 （n∈N*），以下判断正确的有 （　　） A. 存在n∈N*，展开式中有常数项 B. 对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C. 对任意n∈N*，展开式中没有含x的项 D. 存在n∈N*，展开式中有含x的项 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设二项式 （n∈N*）展开式的通项为Tk＋1，则Tk＋1 ＝ （x3）k＝ x4k－n，不妨令n＝4，则当k＝1时，展开式中有 常数项，故A正确，B错误；令n＝3，则当k＝1时，展开式中有含x的 项，故C错误，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 若（2x3＋ ）n的展开式中含有常数项，则最小的正整数n的值 为 ，此时常数项为 ⁠. 解析：二项式的通项为Tk＋1＝ （2x3）n－k（ ）k＝ 2n－k ， 令3n－ k＝0，即k＝ n，而k∈N*.∴n为7的整数倍，即最小的正整数n 的值为7，此时常数项为T7＝ ×2＝14. 7 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. （ x＋ ）100的展开式中，系数为有理数的共有 项. 解析：（ x＋ ）100的展开式的通项为Tk＋1＝ x100－k· · .若 Tk＋1的系数为有理数，则 ， 均为整数，即k为6的整数倍.由 0≤k≤100，k∈N，知k的可能取值为0，6，12，…，96，共17个，即系 数为有理数的共有17项. 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 已知在（ － ）n的二项展开式中，第6项为常数项. （1）求n； ∵第6项为常数项， ∴当r＝5时，有 ＝0，即n＝10. 解：通项公式为Tr＋1＝ （－3）r ＝ （－3）r . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求含x2的项的系数； 解：令 ＝2， 得r＝ （10－6）＝2， ∴所求的系数为 （－3）2＝405. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）求展开式中所有的有理项. 解：由题意得， 令 ＝t（t∈Z）， 则10－2r＝3t，即r＝5－ t. ∵r∈N，∴t应为偶数. 令t＝2，0，－2，即r＝2，5，8. ∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x2，－61 236，295 245x－2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知数列{an}（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列. （1）求：a1 －a2 ＋a3 ，a1 －a2 ＋a3 －a4 ； 解： a1 －a2 ＋a3 ＝a1－2a1q＋a1q2＝a1（1－q）2， a1 －a2 ＋a3 －a4 ＝a1－3a1q＋3a1q2－a1q3＝a1（1－q）3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明. 解： 归纳概括的结论为： 若数列{an}是首项为a1，公比为q的等比数列，则 a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1· ＝a1（1－q）n，n为正整数. 证明：a1 －a2 ＋a3 －a4 ＋…＋（－1）nan＋1· ＝a1 －a1q ＋a1q2 －a1q3 ＋…＋（－1）na1qn ＝a1[－q ＋q2 －q3 ＋…＋（－1）nqn ]＝a1（1－q）n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $