7.4.2 二项式系数的性质及应用-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质及应用，通过杨辉三角情境导入，关联古代数学成就与二项式系数规律，搭建从具体数阵到抽象性质的学习支架，衔接二项式定理与系数应用的知识脉络。 其亮点在于以题型分类（杨辉三角应用、系数和、性质应用）为主线，结合通性通法总结与分层作业设计，通过逻辑推理分析数阵规律，数学运算解决系数和问题，助力学生提升数学思维与解题能力，为教师提供系统教学资源与分层指导依据。

7.4.2　二项式系数的性质及应用 1 1.了解杨辉三角各行数字特点，归纳二项式系数间的关系（逻辑推理）. 2.理解二项式系数的性质并解决与二项展开式有关的问题（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　我国古代数学的许多创新和发展都位于世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释（a＋b）n的展开式的各项系数. 【问题】　观察如图，你能借助二项式系数的性质分析上图中的数吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点　二项式系数的性质 　一般地，（a＋b）n展开式的二项式系数 ， ，…， 有如下性 质： （1） ＝ ； （2） ＋ ＝ ⁠； （3）当r＜ 时， ；当r＞ 时， ； 　 ＜　 ＜　 （4） ＋ ＋…＋ ＝ ⁠.　 2n　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 　　提醒：（1）在求二项式系数的最大值时，要注意讨论n的奇偶性； （2）在（a＋b）n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的 二项式系数的和，都为2n－1. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是（　　） 1 1　2　1 1　3　3　1 1　4　a　4　1 1　5　10　10　5　1 A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 解析：　由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. （1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝ （　　） A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 解析： 　（1＋x）n（n∈N*）的二项展开式中，每一项系数即二项式系 数，分别为 ， ，…， .二项展开式中只有一项的二项式系数最大，则n为偶数，二项式系数 最大.则x5的系数 最大，故 ＝5，n＝10. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. （2x－1）6展开式中各项系数的和为 ；各项的二项式系数和 为 ⁠. 解析：令展开式中x＝1，得各项系数和为1；各二项式系数之和为26＝64. 1 64 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜二项式系数表 【例1】　如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，记其前n项和为Sn，求S16的值. 解：由题意及二项式系数表的特点可得 S16＝（1＋2）＋（3＋3）＋（6＋4）＋（10＋5）＋…＋（36＋9）＝（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋（ ＋ ）＋…＋（ ＋ ）＝（ ＋ ＋ ＋…＋ ）＋（2＋3＋…＋9）＝ ＋ ＝164. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解决与杨辉三角有关问题的一般思路 （1）观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察； （2）找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律； （3）将数据间的这种联系用数学式表达出来，使问题得解. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数， 当a＝7时，b＝（　　） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 √ 解析：　根据观察可知，每一行除开始和末尾的数外，中间的数分别是 上一行相邻两个数的和，当a＝7时，上面一行的第一个数为6，第二个数 为16，所以b＝6＋16＝22. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜二项展开式的系数和 【例2】　（链接教科书第88页习题13题）已知（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋ a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.求下列各式的值. （1）a0＋a1＋a2＋…＋a5； 解： 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1. （2）｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜； 解： 令x＝－1，得（－3）5＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5. 由（2x－1）5的通项Tr＋1＝ （－1）r×25－rx5－r知a1，a3，a5为负值， 所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a5｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝35 ＝243. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）a1＋a3＋a5. 解： 由（1）（2）得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， －a0＋a1－a2＋…＋a5＝（－3）5， 两式相加得2（a1＋a3＋a5）＝1－35， 所以a1＋a3＋a5＝ ＝－121. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 　（变设问）在本例条件下，求下列各式的值： （1）a1＋a2＋a3＋a4＋a5； 解： 因为a0是（2x－1）5展开式中x5的系数， 所以a0＝ 25·（－1）0＝32. 又a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1， 所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－31. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4. 解： 因为（2x－1）5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，所以两边 求导数，得10（2x－1）4＝5a0x4＋4a1x3＋3a2x2＋2a3x＋a4. 令x＝1，得5a0＋4a1＋3a2＋2a3＋a4＝10. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 二项展开式的系数和的求法 （1）对形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m， n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即 可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之 和，只需令x＝y＝1即可； 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中 各项系数之和为f（1）， 奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝ ， 偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　在（2x－3y）10的展开式中，求： （1）奇数项的系数和与偶数项的系数和； 解：设（2x－3y）10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10. 令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.　① 令x＝1，y＝－1（或x＝－1，y＝1），得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝ 510.　② ①＋②，得2（a0＋a2＋…＋a10）＝1＋510. 所以奇数项的系数和为 . ①－②，得2（a1＋a3＋…＋a9）＝1－510. 所以偶数项的系数和为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）x的奇次项系数和与x的偶次项系数和. 解： x的奇次项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝ . x的偶次项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜二项式系数性质的应用 【例3】　已知（ ＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等于37， 求： （1）展开式中二项式系数最大的项的系数； 解： 由（ ＋2x）n的展开式前三项的二项式系数的和等于37，即 ＋ ＋ ＝37，解得n＝8，即二项式为（ ＋2x）8， 所以展开式中第5项的二项式系数最大，T5＝ （ ）4×24x4＝ x4， 所以展开式中二项式系数最大的项的系数为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）展开式中系数最大的项. 解： 设二项展开式的第r＋1项的系数最大， 则 解得7≤r≤8，所以展开式中系数最大的项为第8项或第9项， 即T8＝ （ ）1×27x7＝28x7，T9＝ （ ）0×28x8＝28x8. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进行 讨论： （1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大，即 和 最大； （2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大，即 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 展开式中系数最大的项的求法 求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各 项系数的正、负变化情况进行分析.如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开 式中系数最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为 A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用 解出k，即得 出系数最大的项. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　在 的展开式中： （1）求二项式系数最大的项； 解：二项式系数最大的项为中间项，即为第5项. 故T5＝ （－2）4x－6＝1 120x－6. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）系数的绝对值最大的项是第几项？ 解：因为Tk＋1＝ ·（ ）8－k ＝（－1）k· ·2k· . 设第k＋1项系数的绝对值最大， 则 即 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 整理得 于是k＝5或k＝6. 故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 的展开式中二项式系数最大的项是（　　） A. 第6项 B. 第8项 C. 第5，6项 D. 第6，7项 解析：　由n＝11为奇数，则展开式中第 项和第 ＋1项，即第6 项和第7项的二项式系数相等，且最大. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知 的二项展开式的各项系数和为32，则二项展开式中x4的 系数为（　　） A. 5 B. 10 C. 20 D. 40 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为 的二项展开式的各项系数和为32，所以令x＝1得 2n＝32，所以n＝5.所以 的二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝ （x2）5－k ＝ x10－3k，令10－3k＝4，得k＝2，故二项展开式中x4的 系数为 ＝10. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知二项式（1－x）8，求： （1）展开式中二项式系数最大的项； 解： 因为（1－x）8的展开式中共有9项，所以中间一项（第5项）的 二项式系数最大，所以展开式中二项式系数最大的项为 （－x）4＝ 70x4. （2）展开式中系数最小的项. 解： 二项展开式中系数的最小值应在各负项中确定.由题意知第4项和 第6项系数相等且最小，T4＝ （－x）3＝－56x3，T6＝ （－x）5＝－ 56x5，所以展开式中系数最小的项是－56x3和－56x5. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在（a－b）20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同 的项是（　　） A. 第15项 B. 第16项 C. 第17项 D. 第18项 解析： 　第6项的二项式系数为 ，又因为 ＝ ，所以第16项符合 条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常 数项是（　　） A. －15 B. －20 C. 15 D. 20 解析： 　因为只有第4项的二项式系数最大，得n＝6，所以 的 展开式的通项为Tk＋1＝ （x2）6－k· ＝（－1）k x12－3k.令12－ 3k＝0得k＝4，所以展开式中的常数项是（－1）4 ＝15.故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. （1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n的展开式中各项系数之和为 （　　） A. 2n＋1 B. 2n－1 C. 2n＋1－1 D. 2n＋1－2 解析： 　令x＝1，则2＋22＋…＋2n＝2n＋1－2.故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 若x10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋a10（x－1）10，则a8的值 为（　　） A. 10 B. 45 C. －9 D. －45 解析： 　x10＝[1＋（x－1）]10＝a0＋a1（x－1）＋a2（x－1）2＋…＋ a10（x－1）10，∴a8＝ ＝ ＝45. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕关于（a－b）11的说法，正确的是（　　） A. 展开式中的二项式系数之和为2 048 B. 展开式中只有第6项的二项式系数最大 C. 展开式中第6项和第7项的二项式系数最大 D. 展开式中第6项的系数最大 解析： 　（a－b）11的展开式中的二项式系数之和为211＝2 048，故A 正确；因为n＝11为奇数，所以展开式中有12项，中间两项（第6项和第7 项）的二项式系数相等且最大，故B不正确，C正确；展开式中第6项的系 数为负数，不是最大值，故D不正确. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知（x－1）n的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则 （　　） A. n＝7 B. 所有项的系数和为0 C. 偶数项的系数和为－64 D. 展开式的中间项为－35x3和35x4 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由已知，可得2n－1＝64，解得n＝7，（x－1）7的展开式中 共有8项，且奇数项系数为正，偶数项系数为负，各项的系数的绝对值与其 二项式系数相等.取x＝1代入二项式得所有项的系数和为0，则偶数项的系 数和为－64.展开式的中间项为第4项与第5项，T4＝ x4·（－1）3＝－ 35x4，T5＝ x3·（－1）4＝35x3，故A、B、C正确，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 在（1＋2x）8的展开式中，第 项的二项式系数最大，该项的系数 是 ⁠. 解析：因为n＝8，展开式有9项，中间项即第5项的二项式系数最大；又T5 ＝ （2x）4＝1 120x4，故第5项系数是1 120. 5 1 120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知 展开式的各项系数和为243，则展开式中含x7的项的二 项式系数为 ⁠. 解析：∵ 展开式的各项系数和为243，∴令x＝1，可得3n＝ 243，解得n＝5.∴ 展开式的通项Tr＋1＝ 25－rx15－4r，r∈{0， 1，…，5}.令15－4r＝7，得r＝2，∴展开式中含x7的项的二项式系数为 ＝10. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知（1－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则（a0＋a2＋ a4）（a1＋a3＋a5）＝ ⁠. 解析：令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋ a2－a3＋a4－a5＝25＝32，两式相加可得2（a0＋a2＋a4）＝32，两式相减 可得2（a1＋a3＋a5）＝－32，则a0＋a2＋a4＝16，a1＋a3＋a5＝－16，所 以（a0＋a2＋a4）（a1＋a3＋a5）＝－256. －256 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 设（2x－1）7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7，求｜ a1｜＋2｜a2｜＋3｜a3｜＋4｜a4｜＋5｜a5｜＋6｜a6｜＋7｜a7｜的值. 解：对（2x－1）7＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7的两 边同时求导， 得14（2x－1）6＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6， 其中（2x－1）6展开式的通项为 ＝ （2x ·（－1）r＝ · ·（－1）r· ， 所以当r为奇数时系数为负数，r为偶数时系数为正数， 即a1＞0，a3＞0，a5＞0，a7＞0，a2＜0，a4＜0，a6＜0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 令x＝－1，则a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7＝14×（－2－1）6＝10 206， 所以｜a1｜＋2｜a2｜＋3｜a3｜＋4｜a4｜＋5｜a5｜＋6｜a6｜＋7｜a7｜ ＝10 206. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 〔多选〕已知（ax2＋ ）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的二项 式系数相等，且展开式的各项系数之和为1 024，则下列说法正确的是 （　　） A. 展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B. 展开式中第6项的系数最大 C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中含x15项的系数为45 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为（ax2＋ ）n（a＞0）的展开式中第5项与第7项的二项 式系数相等，所以 ＝ ，解得n＝10.因为展开式的各项系数之和为1 024，所以令x＝1，得（a＋1）10＝1 024，又a＞0，所以a＝1.则原式为 （x2＋ ）10，其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝ ×（x2）10－k×（ ）k ＝ .展开式中奇数项的二项式系数之和为 ×1 024＝512，故A错 误；因为展开式中二项式系数与对应项的系数一样，且展开式有11项，所 以展开式中第6项的系数最大，故B正确；令20－ k＝0，解得k＝8，又0 ＜8＜10，所以展开式中存在常数项，故C正确； 令20－ k＝15，解得k＝2，又 ＝45，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 设n为正整数，（a＋b）2n的展开式中二项式系数的最大值为x，（a ＋b）2n＋1的展开式中二项式系数的最大值为y，若13x＝7y，则n ＝ ⁠. 解析：由题意知x＝ ，y＝ ，因为13x＝7y，所以13 ＝ 7 ，即13× ＝7× ，即13＝7× ，故13×（n＋1） ＝7×（2n＋1），解得n＝6. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第 ⁠行中从左至右 的第14个数与第15个数的比为2∶3. 34 解析：由题意设第n行的第14个数与第15个数的比为2∶3，它等于二项展开式的第14项和第15项的二项式系数的比，所以 ∶ ＝2∶3，即 ＝ ，解得n＝34，所以在第34行中，从左至右第14个数与第15个数的比是2∶3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 设（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求： （1）a1＋a2＋a3＋a4； 解： 由（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4， 令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， 令x＝0，得（0－3）4＝a0， 所以a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0 ＝1－81＝－80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2； 解： 在（2x－3）4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中， 令x＝1，得（2－3）4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4.　① 令x＝－1，得（－2－3）4＝a0－a1＋a2－a3＋a4.　② 所以（a0＋a2＋a4）2－（a1＋a3）2 ＝（a0－a1＋a2－a3＋a4）（a0＋a1＋a2＋a3＋a4） ＝（－2－3）4（2－3）4＝（2＋3）4（2－3）4＝625. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜. 解： 由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负， 由（2）中①＋②得2（a0＋a2＋a4）＝626， 由（2）中①－②得2（a1＋a3）＝－624， 所以｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋｜a4｜ ＝－a1＋a2－a3＋a4 ＝（a0＋a2＋a4）－（a1＋a3）－a0 ＝313＋312－81＝544. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知（ax－ ）n（a∈R，n∈N*）的展开式中，前三项的二项式系 数之和为16，所有项的系数之和为1. （1）求n和a的值； 解： 由题意得， ＋ ＋ ＝16， 即1＋n＋ ＝16. 解得n＝5或n＝－6（舍去）， 所以n＝5. 因为所有项的系数之和为1，令x＝1， 所以（a－1）5＝1，解得a＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）展开式中是否存在常数项？若存在，求出常数项；若不存在，请说明 理由； 解： 不存在.理由如下： 因为（ax－ ）n＝（2x－ ）5， 所以Tk＋1＝ （2x）5－k（－ ）k＝（－1）k 25－k （k∈N*）. 令5－ ＝0，解得k＝ ∉N*，所以展开式中不存在常数项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）求展开式中二项式系数最大的项. 解： 由二项式系数的性质知，展开式中中间两项的二项式系数最大， 二项式系数最大的两项为T3＝（－1）2· 25－2x5－3＝80x2，T4＝（－1）3· 25－3 ＝－40 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $