7.4.2 二项式系数的性质及应用（课件）-【学而思·PPT课件分层练习】2025-2026学年高二数学选择性必修第二册（苏教版）

该高中数学课件聚焦二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值、系数和）及应用，通过知识辨析题衔接排列组合旧知，以问题链形式搭建学习支架，引导学生逐步掌握二项式定理的核心内容。 其亮点在于结合数学思维与数学语言，通过典例（如(3x-2y)^20展开式系数最值问题）展示逻辑推理过程，利用赋值法、杨辉三角探究培养学生抽象能力与创新意识。学生能提升解决实际问题的能力，教师可依托系统例题与辨析题优化教学流程。

7.4　二项式定理 7.4.2　二项式系数的性质及应用 1.对称性 　　在(a+b)n的展开式中,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即 = (m∈N,n ∈N*,m≤n). 2.增减性与最大值 (1)增减性:当r< 时, < ;当r> 时, < . 知识点 二项式系数的性质 必备知识 清单破 第7章　计数原理 高中同步 (2)最大值:当n为偶数时,中间一项的二项式系数 最大;当n为奇数时,中间两项的二项式系 数 , 相等且最大. 3.二项式系数的和 (1)(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n,即 + + +…+ =2n. (2)在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,即 + +  +…= + + +…. 第7章　计数原理 高中同步 知识辨析 1.二项展开式的各二项式系数的和是 + +…+ 吗? 2.(x+2)5与(x-2)5的展开式的各二项式系数和相等吗? 3.若(a+b)n的展开式的第4项的二项式系数与第6项的二项式系数相等,则二项式系数最大的 项是哪一项? 4.在(1-x)9的展开式中,系数最大的项是第5项和第6项吗? 第7章　计数原理 高中同步 一语破的 1.不是.二项展开式的各二项式系数的和是 + + +…+ =2n. 2.相等.均为25=32. 3.第5项.由题意可知, = ,所以n=3+5=8,(a+b)8的展开式的中间项为第5项,所以第5项为二 项式系数最大的项. 4.不是.展开式共有10项,其中奇数项的系数为正,偶数项的系数为负,所以系数最大的项为第5 项. 第7章　计数原理 高中同步   1.求展开式中二项式系数的最大值的思路 　　求展开式中二项式系数的最大值时,可根据二项式系数的性质解决,当n为奇数时,中间两 项的二项式系数最大;当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. 2.求展开式中系数的最值的思路 (1)二项展开式中的系数是关于正整数n的式子,所以可以看成关于n的函数,结合函数的单调 性判断系数的增减性,从而求出系数的最大值. (2)分析系数的符号,利用不等式组求解. ①在系数均为正值的前提下,如果第(r+1)项的系数最大,则与之相邻两项(第r项、第(r+2)项) 的系数均不大于第(r+1)项的系数,由此列不等式组可确定r的取值范围,再依据r∈N*来确定r 的值,即可求出系数的最大值. 关键能力 定点破 定点 1 展开式中二项式系数、系数的最值问题 第7章　计数原理 高中同步 ②当各项系数正负相间时,求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组;求 系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式组. 第7章　计数原理 高中同步 典例　在(3x-2y)20的展开式中,求: (1)二项式系数最大的项; (2)系数绝对值最大的项; (3)系数最大的项. 第7章　计数原理 高中同步 解析    (3x-2y)20的展开式的通项为Tr+1= (3x)20-r(-2y)r= ·320-r·(-2)rx20-ryr. (1)二项式系数最大的项是第11项,T11= ×310×(-2)10x10y10=610× x10y10. (2)设系数绝对值最大的项是第(r+1)(0≤r≤20,r∈N)项,则  化简,得  解得 ≤r≤ (r∈N),所以r=8, 即T9= ×312×(-2)8x12y8是系数绝对值最大的项. (3)因为系数为正的项为y的偶次方项,所以可设第(2k-1)(1≤k≤11,k∈N)项系数最大, 则  第7章　计数原理 高中同步 所以 解得k=5, 即第9项系数最大,T9= ×312×(-2)8x12y8. 第7章　计数原理 高中同步   1.利用二项式定理解决整除或求余数问题 (1)利用二项式定理解决整除问题的关键是巧妙地构造一个与题目条件有关的二项式,通常 把被除数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再用二项式定理展开,使 其展开式中的某些项均含有除数这个因数,这时通常只考虑其中不含有这个因数的项就可以 了. (2)利用二项式定理求余数时,要注意余数的取值范围,余数大于零且小于除数,切记余数不能 为负数,所以利用二项式定理展开变形后,若“剩余部分”是负数,则要注意进行转换. 2.利用二项式定理证明有关的等式或不等式 (1)证明的关键为二项式定理的正用或逆用,应注意要巧妙地构造多项式,同时熟练掌握二项 展开式及其结构特点. 定点 2 二项式定理的应用 第7章　计数原理 高中同步 (2)证明不等式时,应注意通过增加或去掉若干项的方法进行放缩. 第7章　计数原理 高中同步 典例1 (1)S= + +…+ 除以9的余数为　　　    . (2)设a∈Z,且0≤a<13,若512 022+a能被13整除,则a=　　　    . 第7章　计数原理 高中同步 解析    (1)S= + +…+ =227-1=89-1=(9-1)9-1= ×99- ×98+ ×97-…+ ×9- -1=9×( × 98- ×97+ ×96-…+ )-2=9×( ×98- ×97+ ×96-…+ -1)+9-2, 故S除以9的余数为7. (2)512 022+a=(52-1)2 022+a= ×522 022- ×522 021+ ×522 020-…- ×52+1+a, ∵512 022+a能被13整除,且 ×522 022- ×522 021+ ×522 020-…- ×52能被13整除, ∴1+a也能被13整除. 又∵0≤a<13,a∈Z,∴a=12. 第7章　计数原理 高中同步 答案    (1)7　 (2)12 第7章　计数原理 高中同步 典例2 求证:(1)( )2+( )2+( )2+…+( )2= ; (2)对一切n∈N*,都有2≤ <3. 第7章　计数原理 高中同步 证明    (1)构造等式(1+x)n·(1+x)n=(1+x)2n, ∵ 是(1+x)2n的展开式中xn的系数, ∴ 是(1+x)n·(1+x)n的展开式中xn的系数. 在(1+x)n·(1+x)n中,若第一个因式取常数项x0,其系数为 ,则第二个因式应取xn,其系数为 ,此 时xn的系数为  =( )2;……;若第一个因式取xr(0≤r≤n),其系数为 ,则第二个因式应取xn -r,其系数为 ,此时xn的系数为  =( )2;……, ∴(1+x)n·(1+x)n的展开式中xn的系数为  +  +…+  +…+  =( )2+( )2+…+ ( )2+…+( )2. ∴( )2+( )2+( )2+…+( )2= = = . (2)∵ = + · + · + · +…+ · =1+1+ · + · · +…+ · 第7章　计数原理 高中同步  · ·…· , ∴2≤ <2+ + +…+ <2+ + +…+ =2+ + +…+ = 3- <3, 当且仅当n=1时, =2; 当且仅当n≥2时,2< <3. 故对一切n∈N*,都有2≤ <3. 第7章　计数原理 高中同步 　　“赋值法”是解决与展开式中项的系数有关的问题的常用方法,根据所求,灵活地对字 母赋值,通常赋的值为0,1或-1. (1)对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R,m,n∈N*)的式子,求其展开式中各项系数之和时只需令 x=1即可;对形如(ax+by)n(a,b∈R,n∈N*)的式子,求其展开式中各项系数之和时只需令x=y=1即 可. (2)一般地,令f(x)=(ax+b)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系数之和为f(1);奇数 项系数之和为a0+a2+a4+…=  ;偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=  ;常数项 为f(0). (3)对于{man}(m∈N*,n∈N)的求和问题,可考虑利用导数结合赋值求解. 定点 3 赋值法求展开式中的系数和  第7章　计数原理 高中同步 (4)求各项系数的绝对值的和时,要先判断各项系数的符号,再将绝对值符号去掉,然后进行赋 值求解. 第7章　计数原理 高中同步 典例    (1)(多选)若(1-2x)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a2 022x2 022(x∈R),则下列说法正确的是     (　    ) A.a0,a1,a2,…,a2 022为展开式的二项式系数 B.a0+a2+a4+…+a2 022=  C. + + +…+ =1 D.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 022|=32 022 (2)设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R),则a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024的值为　　　    . (3)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a=　　　    . 第7章　计数原理 高中同步 解析    (1)a0,a1,a2,…,a2 022是(1-2x)2 022的展开式的相应项的系数,不是二项式系数,第(r+1)(r∈N,r ≤2 022)项的二项式系数是组合数 ,故A错误;令f(x)=(1-2x)2 022,则a0+a2+a4+…+a2 022=  = ,故B正确;a0=f(0)=1,a0+ + + +…+ =f  =0,所以 + + +… + =-1,故C错误;|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 022|=f(-1)=32 022,故D正确. (2)对已知式两边分别求导得-4 048(1-2x)2 023=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023(x∈R), 令x=1,得a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024=4 048. (3)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5. 令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.① 令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.② ①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32, 第7章　计数原理 高中同步 ∴a=3. 第7章　计数原理 高中同步 答案    (1)BD    (2)4 048    (3)3 第7章　计数原理 高中同步 定点 4 杨辉三角 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路   第7章　计数原理 高中同步 典例    (1)(多选)我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二项式 系数表,数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.下列结论正确的是 (　    )   A.1+ + + =  B.第2 022行的第1 011个数最大 第7章　计数原理 高中同步 C.第20行所有数字之和为220 D.第34行中从左到右第14个数与第15个数的比值为  (2)若图中的数字满足条件:①第n行首尾两数均为n;②递推关系类似杨辉三角,则第10行的第 2个数是　　　    ,第n(n≥2,n∈N*)行的第2个数是　　　    .   第7章　计数原理 高中同步 解析    (1)1+ + + =1+6+ + =84, = =84,故A正确; 第2 022行的第1 012个数最大,故B错误; 第20行所有数字之和为  + +…+ =220,故C正确; 第34行第14个数是 = ,第15个数是 = ,所以第14个数与第15个数的比值为  = = ,故D正确. (2)由题图可知,第10行的第2个数为(1+2+3+…+9)+1=46,第n(n≥2,n∈N*)行的第2个数为[1+2 +3+…+(n-1)]+1= +1= . 第7章　计数原理 高中同步 答案    (1)ACD    (2)46;  第7章　计数原理 高中同步 $