7.2 第1课时 排列-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦“排列”核心知识点，通过数字卡片组两位数、三位数的情境游戏导入，从具体问题出发引导学生感知“顺序”的重要性，为抽象排列概念搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以问题驱动教学，结合火车票设计、分配方案等生活实例，通过树状图法、分类分步策略培养数学抽象和数学建模素养。典例与跟踪训练结合，帮助学生理解概念并提升运算能力，教师可直接使用系统教学资源提高教学效率。

7.2　排列 1 1.通过实例，理解排列的概念；能利用计数原理推导排列数公式（数学抽象）. 2.能运用排列数公式解决简单的实际问题（数学建模、数学运算）. 课标要求 第1课时　排列 3 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 4 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　两个同学从写有数字1，2，3，4的卡片中选取卡片进行组数字游戏. 【问题】　（1）从这4个数字中选出2个能构成多少个无重复数字的两 位数？ （2）从这4个数字中选出3个能构成多少个无重复数字的三位数？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点　排列的概念 一般地，从n个不同的元素中取出m（m≤n）个元素，按照 ⁠ 排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 　　提醒：排列定义中两层含义：一是“取出元素”，二是“按照一定的 顺序排成一列”. 一定的顺 序　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）1，2，3与3，2，1为同一排列. （　×　） （2）在一个排列中，同一个元素不能重复出现. （　√　） （3）从1，2，3，4中任选两个数字，就组成一个排列. （　×　） × √ × 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为（　　） A. 甲乙、乙甲、甲丙、丙甲 B. 甲乙丙、乙丙甲 C. 甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙 D. 甲乙、甲丙、乙丙 解析： 　从三人中选出两人，而且要考虑这两人的顺序，所以有如下6种 站法：甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 〔多选〕从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运 算，分别计算它们的结果，在这些问题中，可以看作排列问题的有 （　　） A. 加法 B. 减法 C. 乘法 D. 除法 解析： 　因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法 时，结果与两数字顺序无关，故不是排列问题.而减法、除法与两数字的顺 序有关，故是排列问题. √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜排列的有关概念 【例1】　判断下列问题是否为排列问题： （1）会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安 排三位客人，又有多少种方法？ 解： 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排 队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到 多少个焦点在x轴上的椭圆方程 ＋ ＝1？可以得到多少个焦点在x轴上 的双曲线方程 － ＝1？ 解： 第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程 ＋ ＝1表 示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线 － ＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程 － ＝1均表示焦点在x轴上 的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条 直线？可确定多少条射线？ 解： 确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 判断一个具体问题是否为排列问题的方法 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　下面问题中，是排列问题的是（　　） A. 由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B. 从40人中选5人组成篮球队 C. 从100人中选2人抽样调查 D. 从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 解析： 　对选项A，由于三个数字位置不同所得到的三位数不同，即与顺 序有关.A为排列问题，其他B、C、D表述事情均与所选取的元素顺序无 关，它们不是排列问题，故选A. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜画树状图写排列 【例2】　（链接教科书第65页例1）（1）从1，2，3，4四个数字中任取两 个数字组成没有重复数字的两位数，一共可以组成多少个？ 解： 由题意作出树状图如图： 故组成的所有没有重复数字的两位数为 12，13，14，21，23，24，31，32， 34，41，42，43，一共可以组成12个. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列，一共可以组 成多少个排列？ 解：由题意作出树状图如图：故所有的排列为abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.一共可以组成24个排列. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略 （1）适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比 较有效的表示方式； （2）策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为 分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直 到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人， 每人一本，试将所有不同的分法列举出来. 解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法， 所以共有4×3×2＝24（种）不同的分法，不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1，2，3，4，画出树状图如图. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 由树状图可知，按甲、乙、丙的顺序分的方法为： 语数英 语数物 语英数 语英物 语物数 语物英 数语英 数语物 数英语 数英物 数物语 数物英 英语数 英语物 英数语 英数物 英物语 英物数 物语数 物语英 物数语 物数英 物英语 物英数. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 21 题型三｜简单的排列问题 【例3】　用具体数字表示下列问题： （1）由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数； 解： 因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除， 所以这个四位数的个位数字一定是“0”， 故要确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可， 共有3×2×1＝6（个）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每 名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，求其分配 方案的个数. 解： 此题可以理解为从5家单位中选出4家单位， 分别把4名大学生安排到4家单位， 共有5×4×3×2＝120（个）分配方案. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 解决简单的排列实际应用问题的策略 （1）首先明确要研究的元素是什么，有无顺序； （2）在处理该问题时是需要分类完成还是分步完成. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁 路部门应为沪宁线上的六个大站（这六个大站之间）准备不同的火车票的 种数为（　　） A. 15 B. 30 C. 12 D. 36 解析： 　对于两个大站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不 同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应 从6个不同元素（大站）中取出2个不同元素（起点站和终点站）的一种排 列，故不同的火车票有6×5＝30（种）. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数. （1）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； 解： 偶数分为两类： 若个位数是0，则共有4×3＝12（个）； 若个位数是2或4，则首位数不能为0，则共有2×3×3＝18（个）， 所以符合条件的三位偶数的个数为12＋18＝30. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数 字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹 数”的个数. 解： “凹数”分三类： 若十位是0，则有4×3＝12（个）； 若十位是1，则有3×2＝6（个）； 若十位是2，则有2×1＝2（个）， 所以符合条件的“凹数”的个数为12＋6＋2＝20. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 〔多选〕下列问题中，是排列问题的有（　　） A. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加数学和物理学习小组 B. 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动 C. 从a，b，c，d这4个字母中取出2个 D. 从1，2，3，4这4个数字中取出2个组成一个两位数 解析： 　A是排列问题，因为2名同学参加的学习小组与顺序有关；B不 是排列问题，因为2名同学参加这项活动与顺序无关；C不是排列问题，因 为取出的2个字母与顺序无关；D是排列问题，因为取出的2个数字还需要 按顺序排成一个两位数. √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 李老师要给4个同学轮流进行心理辅导，每个同学1次，则轮流次序共有 （　　） A. 6种 B. 12种 C. 24种 D. 48种 解析： 　从4个同学中任选1个同学有4种，再从剩下的3个同学中任选1个 同学有3种，再从剩下的2个同学中任选1个同学有2种，最后剩下1个同学. 按分步计数原理，不同的选法有4×3×2×1＝24（种）. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 将《语文》《数学》《英语》三本不同的教科书按上下方式放在一起， 则《数学》放在最上面或最下面的不同放法共有（　　） A. 2种 B. 4种 C. 6种 D. 9种 解析： 　第一类《数学》放在最上面，有两种不同的放法，第二类《数 学》放在最下面，也有两种不同的放法，则《数学》放在最上面或最下面 的不同放法共有4种. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能 站法. 解：由题意作“树状图”，如图. 故所有可能的站法是BACD，BADC， BCAD，BDAC，CABD，CADB， CBAD，CDAB，DABC，DACB， DBAC，DCAB. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 下列问题是排列问题的是（　　） A. 10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B. 平面上有2 024个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构 成多少条线段 C. 集合{a1，a2，a3，…，an}的含有三个元素的子集有多少个 D. 从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、 独舞节目，有多少种选法 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　A中握手次数的计算与次序无关，B中线段的条数计算与点的次 序无关，C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，故这三个问题都不 是排列问题.D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参 加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问 题.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名 “双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被 分配到同一展台的不同分法的种数为（　　） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 解析： 　因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以甲与乙捆在一起，看 成一个人，然后将3个人分到3个展台进行排列，即有3×2×1＝6（种）， 所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 从1，2，3，4，5这五个数字中任取两个数字组成两位数，组成不同的 两位数共有（　　） A. 10个 B. 12个 C. 18个 D. 20个 解析： 　从1，2，3，4，5这五个数字中任取两个数字可组成的两位数为 12，13，14，15，23，24，25，34，35，45，21，31，41，51，32，42， 52，43，53，54，共20个. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“5”，则由这四张卡片可组 成的不同的四位数的个数为（　　） A. 6 B. 9 C. 12 D. 24 解析： 　第一类，0在个位，有2 250，2 520，5 220，共3个；第二类，0 在十位，有2 205，2 502，5 202，共3个；第三类，0在百位，有2 025，2 052，5 022，共3个，故由这四张卡片可组成的不同的四位数的个数为9. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的 四位数有（　　） A. 9个 B. 12个 C. 15个 D. 18个 解析： 本题要求首位数字是1，且恰有三个相 同的数字，用树状图表示为： 由图可知共有12个. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知甲、乙等5人站一横排，则下列说法正确的是（　　） A. 甲、乙站两端有14种站法 B. 甲、乙站两端有12种站法 C. 甲、乙不站两端有108种站法 D. 甲、乙不站两端有36种站法 解析： 　甲、乙两人站两端有2×3×2×1＝12（种），B正确.甲、乙两 人不站两端分两步进行：第1步，甲、乙站中间3个位置中的2个位置有3×2 ＝6（种）站法；第2步，其余3个人任意排列有3×2×1＝6（种），所以共 有6×6＝36（种）站法，D正确.故选B、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数 为 ⁠. 解析：列“树状图”如下，故共有乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲4种排 列方法. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个，分别记为a，b，共可得 到lg a－lg b的不同的值的个数是 ⁠. 解析：lg a－lg b＝lg ，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b， 共有5×4＝20（种），其中lg ＝lg ，lg ＝lg ，故共可得到18种结果. 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 某高三毕业班有40人，同学之间彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全 班共写了 条毕业留言（用数字作答）. 解析：根据题意，得40×39＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言. 1 560 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 写出下列问题的所有排列： （1）北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种直达 机票？ 解：列出每一个起点和终点情况，如图所示.故符合题意的机票有北京广 州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）A，B，C，D四名同学排成一排照相，要求自左向右，A不排第 一，B不排第四，共有多少种不同的排列方法？ 解：因为A不排第一，排第一位的情况有3类（可从B，C，D中任选一人排），而此时兼顾分析B的排法，画出树形图如图.所以符合题意的所有排列是 BADC，BACD，BCAD，BCDA， BDAC，BDCA，CABD，CBAD， CBDA，CDBA，DABC，DBAC， DBCA，DCBA，共14种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为 “伞数”.现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数，组成无重复数字的 三位数，其中“伞数”有（　　） A. 80个 B. 40个 C. 20个 D. 10个 解析： 　十位数只能是3，4，5.当十位数为3时只有：132，231，共2 个；当十位数是4时有：142，143，241，243，341，342，共6个；当十位 数是5时有：152，153，154，251，253，254，351，352，354，451， 452，453，共12个，故共有2＋6＋12＝20（个）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 〔多选〕甲、乙、丙、丁四人参加4项体育比赛，每项比赛第一名到第 四名的得分依次为4，3，2，1.比赛结束时甲以14分获第一名，乙的得分为 13分，则（　　） A. 第三名的得分不超过9分 B. 第三名可能获得其中一场比赛的第一名 C. 最后一名的得分不超过6分 D. 第四名可能有一项比赛拿到3分 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　所有分数之和为4×（4＋3＋2＋1）＝40，甲和乙的总得分 是27分，所以第三名和第四名的总得分是13分，第四名的得分不超过6分， C正确.第四名至少得4分，所以A正确.所有项目的第一名和第二名分数之 和为4×（4＋3）＝28，只比甲、乙的总得分高1分，说明只有一种情况， 即甲和乙包揽了所有的第一名，总共拿了3个第二名和1个第三名，总分第 三名不可能获得其中某一场比赛的第一名，故B错误.如图所示为D正确的 一种情况. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 选手 比赛项目 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 甲 4 4 4 2 乙 3 3 3 4 丙 2 2 2 1 丁 1 1 1 3 故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过五次传球 后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有 种. 解析：记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传给乙，则不同的传球方式如图所示，其中经过五次传球后，球仍回到甲手中的传球方式有5种.同理，若甲第一次把球传给丙，也有5种符合题意的不同的传球方式，所以共有10种符合题意的不同的传球方式. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 将甲、乙两名男生，A，B两名女生排成一列. （1）请列出两名女生相邻的所有情况； 解：两名女生相邻的所有情况如图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）请列出两名女生不相邻的所有情况. 解：两名女生不相邻的所有情况如图： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1， b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但 a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出 所有不同试验方法. 解：如图，由树状图可写出所有不同试验方法如下： 故不同的试验方法为：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $