第6章 空间向量与立体几何 章末检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了空间向量与立体几何的核心知识，涵盖向量线性运算、数量积、法向量应用及空间距离、角的计算，通过“概念-运算-应用”逻辑链串联知识点，帮助学生构建从向量工具到立体几何问题解决的完整知识网络。 其亮点在于采用分层练习设计，从基础向量运算到综合立体几何证明，如通过法向量求点面距离、线面角计算等题型，培养学生的数学思维与空间观念。这种设计兼顾不同水平学生，助力知识巩固，也为教师提供精准复习方向，提升教学效率。

章末检测（六）　空间向量与立体几何 （时间：120分钟　满分：150分） 1 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则 ＋ （ ＋ ）＝（　　） A. B. C. D. 解析： 　在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以 ＝ （ ＋ ），从而 ＋ （ ＋ ）＝ ＋ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 2. 已知平面α的一个法向量为a＝（1，2，－2），平面β的一个法向量 为b＝（－2，－4，k），若α⊥β，则k＝（　　） A. 4 B. －4 C. 5 D. －5 解析： 　∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 3. 已知a＝（ cos α，1， sin α），b＝（ sin α，1， cos α），则向量a ＋b与a－b的夹角是（　　） A. 90° B. 60° C. 30° D. 0° 解析： 　∵｜a｜2＝2，｜b｜2＝2，（a＋b）·（a－b）＝｜a｜2－｜ b｜2＝0，∴（a＋b）⊥（a－b）. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 4. 如图，在空间四边形OABC中， ＝a， ＝b， ＝c，且OM＝ 2MA，BN＝NC，则 ＝（　　） A. a＋ b＋ c B. a＋ b－ c C. － a＋ b＋ c D. a－ b＋ c 解析： 　因为BN＝NC，所以 ＝ （ ＋ ）.因为OM＝2MA， 所以 ＝ ，所以 ＝ － ＝ （ ＋ ）－ ＝－ a ＋ b＋ c，故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 5. 已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 · ＝（　　） A. a2 B. a2 C. a2 D. a2 解析： 　在正四面体ABCD中，点E，F分别是BC，AD的中点，所以 ＝ ＋ ， ＝ .则 · ＝（ ＋ ）· ＝ · ＋ · .因为是正四面体，所以BE⊥AD，∠BAD＝ ，即 · ＝ 0， · ＝｜AB｜·｜AD｜ cos ＝ ，所以 · ＝ ，故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 6. 在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝ 0（A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为0），点P（x0，y0，z0） 到平面α的距离d＝ .那么，在底面边长与高都为2的 正四棱锥P-ABCD中，底面中心O到侧面PAB的距离d＝（　　） A. B. C. 2 D. 5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　以底面中心O为原点，建立空间直角坐标系O- xyz，如图，则O（0，0，0），A（1，1，0），B（－1， 1，0），P（0，0，2）.设平面PAB的方程为Ax＋By＋Cz ＋D＝0，将点A，B，P的坐标代入计算得A＝0，B＝－ D，C＝－ D，所以平面PAB的方程可化为－Dy－ Dz＋ D＝0，即2y＋z－2＝0，所以d＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 7. 将边长为2的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如 图，∠AOC＝120°，∠A1O1B1＝60°，其中B1与C在平面AA1O1O的同 侧，则异面直线B1C与AA1所成角的大小是（　　） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　如图所示，建立空间直角坐标系.O（0，0， 0），A（0，2，0），A1（0，2，2），C（ ，－1， 0），B1（ ，1，2），∴ ＝（0，0，2）， ＝ （0，2，2），设异面直线B1C与AA1所成角为 θ∈[0°，90°]，∴ cos θ＝ ＝ ＝ ，∴θ＝45°，∴异面直线B1C与AA1所成角的大 小是45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 8. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是 棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　如图，以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x 轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1（0，0，1），E （1，1，0），A（1，0，0），C（0，2，0）.连接D1E，所以 ＝ （1，1，－1）， ＝（－1，2，0）， ＝（－1，0，1）.设平面 ACD1的法向量为n＝（a，b，c），则 即 所以 令a＝2，则n＝（2，1，2）. 点E到平面ACD1的距离为d＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分） 9. 空间直角坐标系O-xyz中，已知A（1，2，－2），B（0，1，1），下 列结论正确的有（　　） A. ＝（－1，－1，3） B. 若m＝（2，1，1），则m⊥ C. 点A关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，－2，2） D. ｜ ｜＝ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　∵A（1，2，－2），B（0，1，1），∴ ＝（－1，－1， 3），｜ ｜＝ ＝ ，A正确，D错误；若m＝（2，1， 1），则m· ＝2×（－1）＋1×（－1）＋1×3＝0，则m⊥ ，B正 确；点A关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，2），C错误.故选A、B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 10. 如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点，F 是棱BB1的中点，设点D到平面AED1的距离为d，直线DE与平面AED1所 成的角为θ，二面角D1-AE-D的平面角为α，则（　　） A. DF⊥平面AED1 B. d＝ C. sin θ＝ D. cos α＝ √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　以A为坐标原点， ， ， 分别为x，y，z轴的正方 向，建立空间直角坐标系（图略），则A（0，0，0），E（2，1，0）， D（0，2，0），D1（0，2，2），A1（0，0，2），F（2，0，1），∴ ＝（2，1，0）， ＝（0，2，2）， ＝（2，－1，0）， ＝（2， －2，1）.设平面AED1的法向量为m＝（x，y，z），则由 得 令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝（1，－2，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） ∵ ＝（2，－2，1），不存在λ使m＝λ ，即 与m不共线， ∴DF与平面AED1不垂直，故A错误；又∵ ＝（0，0，2），∴d＝ ＝ ＝ ，故B正确；又 ＝（2，－1，0）.∴ sin θ＝｜ cos ＜ ，m＞｜＝ ＝ ，故C正确；又 ＝（0，0，2） 为平面AED的一个法向量，由图知α为锐角，∴ cos α＝ ＝ ＝ ，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 11. 如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为4的正三角形，底面 ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为平面ABCD上的动点，且 满足 · ＝0.则下列说法正确的是（　　） A. 点M的轨迹是圆 B. 点M到直线AB的最远距离为4＋ C. 直线AB到平面PDC的距离为2 D. 点D到平面PBC的距离为 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析： 　建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则P （2，0，2 ），C（0，4，0），设M（a，b，0）， ∴ ＝（2－a，－b，2 ）， ＝（－a，4－b， 0）. · ＝0，即－2a＋a2－4b＋b2＝0，整理得（a－1）2＋（b－2）2＝5，∴点M的轨迹是在平面ABCD内以点O（1，2）为圆心， 为半径的圆，∴A正确；由A知，点M到直线AB的最远距离为4－1＋ ＝3＋ ，∴B错误；由题意可知AB∥平面PDC，∴点A到平面PDC的距离即为直线AB到平面PDC的距离.由题意得平面PDC的一个法向量为n＝ （－ ，0，1），又∵ ＝（4，0，0），∴直线AB到平面PDC的距离d1＝ ＝ ＝2 ，∴C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 由题意得平面PBC的一个法向量m＝（0， ，2）， ＝ （0，4，0），∴点D到平面PBC的距离d2＝ ＝ ＝ ，∴D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横 线上） 12. 若A（－1，2，3），B（2，－4，1），C（x，－1，－3）是以BC 为斜边的直角三角形的三个顶点，则x＝ ⁠. 解析：由题意得 ＝（3，－6，－2）， ＝（x＋1，－3，－6）， ∴ · ＝3（x＋1）＋18＋12＝0，解得x＝－11. －11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 13. 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的 中点，则直线B1C到平面A1BD的距离为 ⁠. ​ 解析：以点D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则知点B1（0，2 ，3），B（0，2 ，0），A1（－1，0，3），C（1，0，0）， ＝（－1，2 ，3）， ＝（0，2 ，3）， ＝（0，2 ，0）， ＝（－1，0，3）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 设平面A1BD的一个法向量为n＝（x，y，z），所以 即 即 令z＝1，则n＝（3，0，1）. 所以n· ＝0，所以B1C∥平面A1BD，知直线B1C到平面 A1BD的距离就等于点B1到平面A1BD的距离.所求距离为d＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 14. 有一长方形的纸片ABCD，AB的长度为4 cm，BC的长度为3 cm，现 沿它的一条对角线AC把它折叠成90°的二面角，如图，则折叠后 · ＝ ，线段BD的长是 cm. －7 ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解析：如图所示，作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E， F，则AC＝5，DE＝BF＝ ，AE＝CF＝ ，EF＝ ，所 以 · ＝ ·（ ＋ ）＝ · ＋ · ＝5×4× （－ ）＋5×3× ＝－7，｜ ｜2＝（ ＋ ＋ ）2 ＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋2 · ＋2 · ＋ 2 · ＝｜ ｜2＋｜ ｜2＋｜ ｜2＋0＋0＋0＝ （ ）2＋（ ）2＋（ ）2＝ ，得BD＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证 明过程或演算步骤） 15. （本小题满分13分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1， 2），C（－3，0，4），设a＝ ，b＝ . （1）求a与b的夹角θ的余弦值； 解：a＝ ＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0）， b＝ ＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）. cos θ＝ ＝ ＝－ . 所以a与b的夹角θ的余弦值为－ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值. 解：因为ka＋b＝（k，k，0）＋（－1，0，2）＝（k－1，k，2）， ka－2b＝（k，k，0）－（－2，0，4）＝（k＋2，k，－4）， 所以（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）·（k＋2）＋k2－8＝0. 即2k2＋k－10＝0，所以k＝－ 或k＝2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 16. （本小题满分15分）如图，正方形ABCD的边长为2 ，四边形BDEF 是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝ ，且FO⊥ 平面ABCD. 求证：（1）AE∥平面BCF； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 证明：取BC中点H，连接OH，则OH∥BD， 又四边形ABCD为正方形， ∴AC⊥BD， ∴OH⊥AC， 故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（3，0，0），C（－1，0，0），D（1，－2，0）， F（0，0， ），B（1，2，0）. ＝（－2，－2，0）， ＝（1，0， ）， ＝（－1，－2， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 设平面BCF的一个法向量为n＝（x，y，z）. 则 即 取z＝1，得n＝（－ ， ，1）. 又四边形BDEF为平行四边形， ∴ ＝ ＝（－1，－2， ）， ∴ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝（－2，－2，0）＋（－1， －2， ）＝（－3，－4， ）， ∴ ·n＝3 －4 ＋ ＝0，∴ ⊥n， 又AE⊄平面BCF，∴AE∥平面BCF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）CF⊥平面AEF. 证明： ＝（－3，0， ）， ∴ · ＝－3＋3＝0， · ＝－3＋3＝0， ∴ ⊥ ， ⊥ ，即CF⊥AF，CF⊥AE， 又AE∩AF＝A，AE，AF⊂平面AEF， ∴CF⊥平面AEF. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 17. （本小题满分15分）如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互 相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°. （1）求直线BF与平面ABCD所成角的大小； 解：设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在 的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD. 以O点为坐 标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过 O点且平行于AF的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A（0，1，0），B（－ ，0，0），C（0，－1， 0），D（ ，0，0），F（0，1，2）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 由题意可知平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1）， 又 ＝（ ，1，2），设直线BF与平面ABCD所成角为θ， 则有 sin θ＝｜ cos ＜m， ＞｜＝ ＝ ＝ .即θ＝45°，所以直线BF与平面ABCD所成角为45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）求点A到平面FBD的距离. 解：因为 ＝（2 ，0，0）， ＝（ ，1，2）， 设平面FBD的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令z＝1得n＝（0，－2，1），又因为 ＝（0，0，2）， 所以点A到平面FBD的距离d＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 18. （本小题满分17分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥侧面 BB1C1C，已知∠BCC1＝ ，BC＝1，AB＝C1C＝2，E是棱C1C的中点. （1）求证：C1B⊥平面ABC； 解： 证明：因为BC＝1，CC1＝2，∠BCC1＝ ，所 以BC1＝ .所以BC2＋B ＝C ，所以BC1⊥BC. 因为AB⊥侧面BB1C1C，所以AB⊥BC1. 又因为AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以直线 C1B⊥平面ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）求二面角A-EB1-A1的余弦值； 解： 以B为原点， ， 和 的方向分别为x， y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则知点A（0，0，2），B1（－1， ，0），E（ ， ， 0），A1（－1， ，2）. 设平面AB1E的一个法向量为n＝（x1，y1，z1）， ＝ （－1， ，－2）， ＝（ ， ，－2）， 因为 所以 令y1＝ ，则x1＝1，z1＝1，所以n＝（1， ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 设平面A1B1E的一个法向量为m＝（x，y，z）， ＝ （0，0，－2）， ＝（ ，－ ，－2）， 因为 所以 令y＝ ， 则x＝1，所以m＝（1， ，0）. 因为｜m｜＝2，｜n｜＝ ，m·n＝4，所以 cos ＜m， n＞＝ ＝ ＝ . 设二面角A-EB1-A1为α，则 cos α＝ cos ＜m，n＞＝ ，所以二面角A-EB1-A1的余弦值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （3）在棱CA上是否存在一点M，使得EM与平面A1B1E所成角的正弦值 为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由. 解： 假设存在点M（x，y，z），设 ＝λ ， λ∈[0，1]，所以（x－1，y，z）＝λ（－1，0，2）， 所以M点坐标为（1－λ，0，2λ）， 所以 ＝（ －λ，－ ，2λ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 由（2）知平面A1B1E的一个法向量为m＝（1， ，0），所以 ＝ ， 得69λ2－38λ＋5＝0，即（3λ－1）（23λ－5）＝0， 所以λ＝ 或λ＝ ，所以 ＝ 或 ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 19. （本小题满分17分）如图，已知向量 ＝a， ＝b， ＝c，可 构成空间向量的一个基底，若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）， c＝（c1，c2，c3）.在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算 a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1）， 显然a×b的结果仍为一个向量，记作p. （1）求证：向量p为平面OAB的法向量； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：证明：因为p·a＝a1（a2b3－a3b2）＋a2（a3b1－a1b3）＋a3（a1b2－a2b1）＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a2a1b3＋a3a1b2－a3a2b1＝0， 所以p⊥a，即p⊥ ， 因为p·b＝b1（a2b3－a3b2）＋b2（a3b1－a1b3）＋b3 （a1b2－a2b1）＝b1a2b3－b1a3b2＋b2a3b1－b2a1b3＋ b3a1b2－b3a2b1＝0， 所以p⊥b，即p⊥ ， 又因为OA∩OB＝O， 所以向量p为平面OAB的法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （2）若a＝（1，－1， ），b＝（0，－3，0），求以OA，OB为邻 边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与｜a×b｜ 的大小； 解：cos ∠AOB＝ ＝ ＝ ，则 sin ∠AOB＝ ， 故S四边形OADB＝2S△AOB＝｜a｜｜b｜ sin ∠AOB＝ 3×3× ＝6 ， 由a＝（1，－1， ），b＝（0，－3，0），得a×b＝ （3 ，0，－3）， 所以｜a×b｜＝ ＝6 ， 所以S四边形OADB＝｜a×b｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） （3）将四边形OADB按向量 ＝c平移，得到一个平行六面体OADB- CA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与｜（a×b）·c｜的大小.（注： 第（2）小题的结论可以直接应用） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） 解：设点C到平面OAB的距离为h， 与平面OAB 所成的角为α， 则V＝S四边形OADB·h＝｜a×b｜｜c｜ sin α， 由（1）得向量p为平面OAB的法向量， 则｜ cos ＜a×b，c＞｜＝ sin α， 又｜（a×b）·c｜＝｜a×b｜｜c｜ cos ＜a×b，c＞， 所以V＝｜（a×b）·c｜. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 数学·选择性必修第二册（SJ） $