6.3.4 空间距离的计算-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦空间距离计算，涵盖点到直线、点到平面、平行直线及平行平面的距离，以向量方法为核心。通过情境导入提出距离求解问题，衔接向量知识，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生构建知识脉络。 其亮点在于融合数学抽象与直观想象，通过正方体、四棱锥等实例，结合空间直角坐标系与法向量运算，培养数学运算能力。典例解析与跟踪训练结合，总结通性通法，助力学生形成解题思路。对学生提升空间观念与运算技能，对教师提供结构化教学资源，提高教学效率。

6.3.4　空间距离的计算 1 1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题（数学抽象、直观想象）. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用（直观想象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　几何学中，经常需要计算两个图形间的距离.一个图形内任一点与另一 个图形内任一点的距离中的最小值，通常叫作这两个图形的距离.空间中常 见的距离有：两点间的距离、点到直线的距离、点到平面的距离、相互平 行的直线之间的距离、相互平行的平面之间的距离等.计算距离是空间度量 最基本的问题. 【问题】　如何用向量方法求解这些距离呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　点P到平面α的距离 如图，P是平面α外一点，PO⊥α，垂足为O，A为平面α内任意一点， 设n为平面α的法向量，则点P到平面α的距离d＝ ⁠. 　 　　提醒：点P到平面α的距离的实质就是平面α的单位法向量与从该点出发的任一条斜线段AP对应的向量 的数量积的绝对值. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　点P到直线l的距离 1. 如图，P是直线l外一点，A是l上任意一点，在平面中，取一个与直线 l垂直的向量n，则 ·n＝｜ ｜｜n｜· cos θ，其中θ＝＜ ，n ＞，从而点P到直线l的距离d＝ ⁠. 　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 如图，P是直线l外一点，PO⊥l，O为垂足，A是l上任意一点，设e 是直线l的方向向量.记φ＝＜ ，e＞，则 cos φ＝ ，故点P 到直线l的距离d＝ .或计算 在l上的投影向量 的长 度，再由勾股定理求得d＝ ＝ . ｜ ｜ sin φ　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 如何求两平行线l1与l2的距离？ 提示：l1上任一点P到l2的距离即为l1与l2的距离. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知平面α的一个法向量n＝（－2，－2，1），点A（－1，3，0）在 α内，则P（－2，1，4）到α的距离为（　　） A. 10 B. 3 C. D. 解析： 　∵ ＝（－1，－2，4），∴P（－2，1，4）到α的距离为 ＝ ＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知直线l过定点A（2，3，1），且n＝（0，1，1）为其一个方向向 量，则点P（4，3，2）到直线l的距离为（　　） A. B. C. D. 解析： 　∵ ＝（2，0，1），∴ cos φ＝ ＝ ＝ ， ∴ sin φ＝ ＝ ，∴d＝｜ ｜ sin φ＝ × ＝ . √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜点到平面的距离 【例1】　（链接教科书第40页例10）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱 长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的 距离. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（2，0，0），E（0，2，1），F（1，0，2），G（2，1，0），所 以 ＝（0，1，0）， ＝（－2，1，1）， ＝（－1，－1，2）. 设n＝（x，y，z）是平面EFG的法向量，点A到平面EFG的距离为d， 则 所以 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 所以 令z＝1，此时n＝（1，1，1）， 所以d＝ ＝ ＝ ， 即点A到平面EFG的距离为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求点到平面的距离的方法 （1）作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离； （2）在三棱锥中用等体积法求解； （3）向量法：d＝ （n为平面的法向量，A为平面上一点，MA 为过点A的斜线段）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　在三棱锥B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱长AC＝CD＝AD＝ AB＝1，且∠BAD＝30°，求点D到平面ABC的距离. 解：如图所示，以AD的中点O为原点，以OD，OC所在 直线为x轴、y轴，过O作OM⊥平面ACD交AB于M，以 直线OM为z轴建立空间直角坐标系， 则A（－ ，0，0），B（ ，0， ），C（0， ， 0），D（ ，0，0）， ∴ ＝（ ， ，0）， ＝（ ，0， ）， ＝（－ ， ，0）， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 设n＝（x，y，z）为平面ABC的一个法向量， 则 ∴y＝－ x，z＝－ x，可取n＝（－ ，1，3）， 代入d＝ ，得d＝ ＝ ， 即点D到平面ABC的距离是 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜点到直线的距离 【例2】　如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝ 2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A. 2 B. 2 C. D. 4 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　法一（向量法）　如图，以B为坐标原点， BC，BA，BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间 直角坐标系.则B（0，0，0），C（2，0，0），A（0， 4，0），P（0，0，4），故 ＝（2，0，－4）， ＝ （0，4，－4），所以 在 上的投影向量的长度d＝ ＝ ＝2 ，故点C到直线PA的距离h＝ ＝ ＝2 ，故选A. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二（几何法）　如图，取PA的中点M，连接BM，CM， 因为PB⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC， 又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所 以BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，因为M 是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA， BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面 BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到 直线PA的距离.在等腰直角三角形PAB中，BM＝ PB＝ 2 ，在Rt△BCM中，CM＝ ＝ ＝2 . 故点C到直线PA的距离为2 .故选A. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 用向量法求点到直线距离的步骤 （1）建立适当的空间直角坐标系； （2）求所求点P与直线上某一点A所构成的向量 ； （3）若已知直线的方向向量e，则利用公式d＝｜ ｜· sin ＜ ，e＞ 求解；若已知直线的法向量n，则利用公式d＝ 求解. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，P为矩形ABCD所在平面外的一点，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝ 3，AD＝4，PA＝1，求点P到BD的距离. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：如图，分别以AB，AD，AP所在的直线为x，y，z轴建 立空间直角坐标系，则P（0，0，1），B（3，0，0），D （0，4，0）， ∴ ＝（3，0，－1）， ＝（－3，4，0）. 设＜ ， ＞＝φ， ∴ cos φ＝ ＝－ ， ∴ sin φ＝ ， ∴点P到BD的距离d＝｜ ｜· sin φ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜直线到平面、平面与平面的距离 【例3】　（链接教科书第44页练习4题）如图，在直棱柱ABCD- A1B1C1D1中，底面为直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1， CD＝ ，BC＝2，AA1＝2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE 的距离. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴A1B1∥平面ABE， ∴A1B1到平面ABE的距离就是点A1到平面ABE的距离. 如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直 线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz， 则A1（1，0，2），A（1，0，0），E（0， ，1），C（0， ，0）， 过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF＝ ，∴B（1，2 ，0）， ∴ ＝（0，2 ，0）， ＝（－1，－ ，1）. 设平面ABE的法向量为n＝（x，y，z）， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 则 即 ∴y＝0，x＝z，不妨取n＝（1，0，1）. ∵ ＝（0，0，2）， ∴点A1到平面ABE的距离d＝ ＝ ＝ . ∴直线A1B1与平面ABE的距离为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 直线到平面、平面到平面的距离都是在它们相互平行条件下定义的，否 则不谈距离问题. 2. 线面距、面面距均可转化为点到平面的距离问题. 3. 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤： 第一步，确定法向量； 第二步，选择参考向量； 第三步，确定参考向量到法向量的投影向量； 第四步，求投影向量的长度. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，求平面A1BD与平面B1CD1间 的距离. 解：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则D（0，0，0），A1（1，0，1），B（1，1，0），D1（0，0，1）， ＝（0，1，－1）， ＝（－1，0，－1）， ＝（－1，0，0）. 设平面A1BD的法向量为n＝（x，y，z）. 则 即 令z＝1，得y＝1，x＝－1，所以n＝（－1，1，1）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 所以点D1到平面A1BD的距离d＝ ＝ ＝ . 由题意可知平面A1BD∥平面B1CD1，所以平面A1BD 与平面B1CD1间的距离等于点D1到平面A1BD的距离， 所以平面A1BD与平面B1CD1间的距离为 . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1），且两平面 的一个法向量n＝（－1，0，1），则两平面间的距离是（　　） A. B. C. D. 3 解析： 　∵两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A（2，1，1）， ＝（2，1，1），且两平面的一个法向量n＝（－1，0，1），∴两平面 间的距离d＝ ＝ ＝ .故选B. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知Rt△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝ 3，则点P到AB的距离是 ⁠. 解析：以点C为坐标原点，CA，CB，CP所在直线分别 为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A （4，0，0），B（0，3，0），P ，∴ ＝ （－4，3，0）， ＝（－4，0，3），记φ＝＜ ， ＞，∴ cos φ＝ ＝ ＝ ，∴ sin φ＝ ＝ ＝ ，∴点P到AB的距离为d＝｜ ｜ sin φ＝5× ＝ . ​ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 如图所示，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2的正方 形，△AEB是等腰直角三角形，其中∠AEB＝90°，求点D到平面ACE的 距离. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：取AB的中点O，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A （0，－1，0），E（1，0，0），D（0，－1，2），C（0，1，2），从 而 ＝（0，0，2）， ＝（1，1，0）， ＝（0，2，2）. 设平面ACE的法向量为n＝（x，y，z）， 则 即 令y＝1，则x＝－1，z＝－1， 所以n＝（－1，1，－1）为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的 距离d＝ ＝ ＝ . 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 若O为坐标原点， ＝（1，1，－2）， ＝（3，2，8）， ＝ （0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（　　） A. B. 2 C. D. 解析： 　∵ ＝ （ ＋ ）＝ （4，3，6）＝ ， ＝ （0，1，0），∴ ＝ － ＝ ，∴｜ ｜＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 在空间直角坐标系O-xyz中，已知点D（2，1，0）和向量m＝（4， 1，2），且m⊥平面DEF，则点O到平面DEF的距离为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为D（2，1，0），所以 ＝（2，1，0），又向量m＝ （4，1，2），m⊥平面DEF，所以m＝（4，1，2）是平面DEF的一个法 向量，所以点O到平面DEF的距离为d＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P在正方体内部且满足 ＝ ＋ ＋ ，则点P到直线AB的距离为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　建立如图所示的空间直角坐标系，则 ＝ （1，0，0）＋ （0，1，0）＋ （0，0，1）＝ .又 ＝（1，0，0），记φ＝＜ ， ＞，∴ cos φ＝ ＝ ＝ ，∴ sin φ＝ ＝ ， ∴d＝｜ ｜· sin φ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知△ABC的顶点分别为A（1，－1，2），B（5，－6，2），C（1， 3，－1），则AC边上的高BD＝（　　） A. 25 B. 5 C. D. 1 解析： 　法一　设 ＝λ ，∵ ＝（0，4，－3），∴ ＝（0， 4λ，－3λ），又∵ ＝（4，－5，0），∴ ＝ － ＝（－4， 4λ＋5，－3λ）.由 · ＝0，得4（4λ＋5）＋9λ＝0，解得λ＝－ ，∴ ＝（－4， ， ），∴BD＝｜ ｜＝5.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 法二　 ＝（0，4，－3）， ＝（－4，5，0），故点B到边AC的距离 即AC边上的高BD＝ ＝ ＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 如图，已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，则直线 B1C1到平面A1BCD1的距离是（　　） A. 5 B. 8 C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　以D为坐标原点， ， ， 的方向分 别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标 系，则C（0，12，0），D1（0，0，5）.设AD＝x（x ＞0），则B（x，12，0），B1（x，12，5）.设平面 A1BCD1的法向量为n＝（a，b，c），由n⊥ ，n⊥ ，得n· ＝（a，b，c）·（－x，0，0）＝－ax＝0，n· ＝（a，b，c）·（0，－12，5）＝－12b＋5c＝0，所以a＝0，b＝ c，所以可取n＝（0，5，12）.又 ＝（0，0，－5），所以点B1到平面A1BCD1的距离为 ＝ .因为B1C1∥平面A1BCD1，所以B1C1到平面A1BCD1的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为 底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ ，以O为原点，OB， OC，OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则下列 说法正确的是（　　） A. ＝（1，0，1） B. 平面OBB1的一个法向量为n＝（0，1，－1） C. A1C⊥平面OBB1 D. 点A到平面OBB1的距离为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意得O（0，0，0），B（1，0，0），C（0，1，0）， A（0，－1，0），A1（0，0，1），B1（1，1，1），所以 ＝（1，1， 1），故A不正确； ＝（1，0，0），设平面OBB1的法向量为n＝（x， y，z），则 令y＝1，得n＝（0，1，－1），故B 正确； ＝（0，1，－1）＝n，所以A1C⊥平面OBB1，故C正确；连接 OA（图略）， ＝（0，－1，0），则点A到平面OBB1的距离d＝ ＝ ＝ ，故D正确.故选B、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 已知平面α的一个法向量为n＝（－2，－2，1），点A（x，3，0）在 平面α内，若点P（－2，1，4）到平面α的距离d＝ ，则x的值为 ⁠ ⁠. 解析：连接PA（图略），由题意知 ＝（x＋2，2，－4），∴d＝ ＝ ，即 ＝ ，解得x＝－1或x＝－11. －1 或－11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，则O1到直线 AC的距离为 ⁠. 解析：连接AO1，建立如图所示的空间直角坐标系.则A （2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0），∴ ＝（－2，0，2）， ＝（－2，3，0），记φ＝＜ ， ＞，∴ cos φ＝ ＝ ＝ ，∴ sin φ ＝ ＝ ，∴d＝｜ ｜· sin φ＝2 × ＝ . ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的 距离为 ⁠. a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：由正方体的性质，易得平面AB1D1∥平面BDC1，则两 平面间的距离可转化为点B到平面AB1D1的距离.以D为坐标 原点，DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建 立如图所示的空间直角坐标系，则A（a，0，0），B（a， a，0），A1（a，0，a），C（0，a，0）， ＝（a，－a，a）， ＝（0，－a，0），连接A1C，则A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1，所以A1C⊥平面AB1D1，得平面AB1D1的一个法向量为n＝（1，－1，1），则两平面间的距离d＝ ＝ ＝ a. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，E为AD的中点，底面ABCD是边长为2的正方形，且二面角P-BE-C的余弦值为 . （1）求PD的长度； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： 如图所示，以D为原点，DA，DC，DP所在直线 分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，可得D（0， 0，0），B（2，2，0），E（1，0，0）. 设PD＝a，则P（0，0，a）.所以 ＝（2，2，－a）， ＝（1，0，－a）. 易知平面CBE的一个法向量为n1＝（0，0，1）. 设平面PBE的法向量为n2＝（x，y，z）， 则有 即 取z＝1，则x＝a，y＝－ ， 即n2＝（ a，－ ，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 由二面角P-BE-C的余弦值为 cos ＜n1，n2＞＝ ＝ ， 解得a＝2， 故PD的长度为2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求点C分别到直线PB和平面PEB的距离. 解：（2）由（1）得，n2＝（2，－1，1）， ＝（2，0， 0）， ＝（2，2，－2）， 所以点C到直线PB的距离为 ＝ ＝ ， 点C到平面PEB的距离为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为1，且AA1⊥底面 ABC，则点B1到平面ABC1的距离为（　　） A. B. C. D. 1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　建立如图所示的空间直角坐标系，则A（ ， ， 0），B（0，1，0），B1（0，1，1），C1（0，0，1），则 ＝（ ， ，－1）， ＝（0，1，0）， ＝（0， 1，－1）.设平面ABC1的一个法向量为n＝（x，y，1），则 有 解得n＝（ ，1，1），则 所求距离为 ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为 A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离 为 ⁠. ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析：如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则A （4，0，0），M（2，0，4），D（0，0，0），B（4， 4，0），E（0，2，4），F（2，4，4），N（4，2， 4）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 ∴ ＝（2，2，0）， ＝（2，2，0）， ＝（－2，0，4）， ＝ （－2，0，4），∴ ＝ ， ＝ ，∴EF∥MN，BF∥AM， EF∩BF＝F，MN∩AM＝M. ∴平面AMN∥平面EFBD. 设n＝（x，y， z）是平面AMN的法向量，则 解得 取 z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝（2，－2，1）.平面AMN到平面EFBD的 距离就是点B到平面AMN的距离.∵ ＝（0，4，0）， ∴平面AMN与平面EFBD间的距离d＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点. （1）求点D到平面PEF的距离； 解：建立以D为坐标原点， ， ， 分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示.则P（0，0，1），A（1，0，0），C（0，1，0）E ，F ，D（0，0，0）. 所以 ＝ ， ＝ ， ＝ ， 设平面PEF的法向量n＝（x，y，z）， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 则 即 取x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝（2，2，3）， 所以点D到平面PEF的距离 d＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求直线AC到平面PEF的距离. 解： 因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC. 又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF， 所以AC∥平面PEF. 因为 ＝ ，所以点A到平面PEF的距离d＝ ＝ ＝ ， 所以直线AC到平面PEF的距离为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图，在四棱锥P-ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的 正方形，△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC＝∠FAB＝ 90°，求四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：该几何体的直观图如图所示，分别取AD，BC的中点 O，M，连接OM，PM，PO， ∵PO＝1，OM＝2，PM＝ ＝ ＝ ， ∴OP2＋OM2＝PM2，∴OP⊥OM， 又∵PO⊥AD，∴由线面垂直的判定定理得出PO⊥平面ABCD， 以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系. 则A（1，0，0），B（1，2，0），C（－1，2，0），D （－1，0，0），P（0，0，1）， 设四棱锥P-ABCD外接球的球心为N（0，1，a）， ∵PN＝NA，∴1＋（1－a）2＝1＋1＋a2，解得a＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 设平面PBC的法向量为n＝（x，y，z）， ＝（1，2，－1）， ＝（－1，2，－1）， ＝（0，－1，1）， ⇒ 取z＝2，则n＝（0，1，2）， 则四棱锥P-ABCD外接球的球心到平面PBC的距离d＝ ＝ ＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $