6.3.1 直线的方向向量与平面的法向量-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦直线的方向向量、平面的法向量及平面方程，通过长方体模型情境导入，以问题驱动连接空间向量与直线、平面位置关系，借助定义解析、自我诊断构建学习支架，帮助学生从空间向量基础过渡到应用。 其亮点在于融合直观想象与数学运算，如例2通过四棱锥模型，用待定系数法求平面法向量并总结步骤，培养逻辑推理能力。分层作业（A、B、C级）适配不同学生，学生能夯实基础提升思维，教师可高效开展分层教学与能力训练。

6.3.1　直线的方向向量与平面的法向量 1 1.能用向量语言表述直线和平面（数学抽象）. 2.理解直线的方向向量与平面的法向量（数学抽象）. 3.会求直线的方向向量与平面的法向量（直观想象、数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 3 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1. 【问题】　（1）能不能利用空间向量及一点确定直线AB在空间中的位 置？ （2）怎样借助空间向量及一点来刻画空间平面的位置？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　直线的方向向量 　把直线l上的向量e（e≠0）以及与e 的非零向量叫作直线l的 方向向量. 　　提醒：与直线l平行的任意非零向量a都是直线l的方向向量，且直线l 的方向向量有无数个. 共线　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　平面的法向量 　如果表示非零向量n的有向线段所在直线 平面α，那么称向 量n垂直于平面α，记作 .此时，我们把向量n叫作平面α的法 向量. 垂直于　 n⊥α　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　平面方程的表示 1. 在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表 示. 2. 设平面α经过点P（x0，y0，z0），M（x，y，z）是平面α内任意一 点，则平面α的法向量为n＝（A，B，C）的平面方程为 ⁠ ⁠. A（x－x0） ＋B（y－y0）＋C（z－z0）＝0　 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）若点A，B是平面α上的任意两点，n是平面α的法向量，则 ·n ＝0. （　√　） （2）在空间中，由直线l上的一定点A和直线l的方向向量能表示直线上的 任意一点. （　√　） （3）空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定. （　√　） √ √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕若M（1，0，－1），N（2，1，2）在直线l上，则直线l的一 个方向向量是（　　） A. （2，2，6） B. （1，1，3） C. （3，1，1） D. （－3，0，1） 解析： 　 ＝（1，1，3），又（2，2，6）＝2（1，1，3）＝ 2 ，∴（1，1，3）和（2，2，6）均为直线l的方向向量，故选A、B. √ √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知平面内的两个向量a＝（2，3，1），b＝（5，6，4），则该平面 的一个法向量为（　　） A. （1，－1，1） B. （2，－1，1） C. （－2，1，1） D. （－1，1，－1） 解析： 　显然a与b不平行，设该平面的一个法向量为n＝（x，y， z），则有 即 令z＝1，得x＝－2，y＝ 1.∴n＝（－2，1，1）. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜直线的方向向量 【例1】　在如图所示的坐标系中，ABCD-A1B1C1D1为正方体，棱长为 1，则直线DD1的一个方向向量为 ，直线BC1的一个方向 向量为 ⁠. （0，0，1） （0，1，1）（答案不唯一） 解析：∵DD1∥AA1， ＝（0，0，1），∴直线DD1的一个方向向量为（0，0，1）.∵BC1∥AD1， ＝（0，1，1），∴直线BC1的一个方向向量为（0，1，1）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 直线方向向量的选取方法 （1）在直线上任取两点P，Q，可得到直线的一个方向向量 ； （2）与 共线的非零向量均可作为直线的方向向量. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知直线l的一个方向向量m＝（2，－1，3），且直线l过A（0，y， 3）和B（－1，2，z）两点，则y－z＝（　　） A. 0 B. 1 C. D. 3 解析： 　∵A（0，y，3）和B（－1，2，z），∴ ＝（－1，2－y， z－3），∵直线l的一个方向向量为m＝（2，－1，3），故设 ＝ km.∴－1＝2k，2－y＝－k，z－3＝3k.解得k＝－ ，y＝z＝ .∴y－ z＝0. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知点P是过点A（0，1，1）且方向向量为v＝（1，0，0）的直线上 的一点，若｜ ｜＝3，则点P的坐标是 ⁠ ⁠. 解析：设P（x，y，z），则 ＝（x，y－1，z－1），因为 ∥v， 所以 ＝λv，即 解得x＝λ，y＝z＝1，所以P（λ，1， 1），｜ ｜＝ ＝3，解得λ＝ ±3.所以点P的坐标是（－3，1，1）或（3，1，1）. （－3，1，1）或（3，1， 1） 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜平面的法向量 【例2】　（链接教科书第29页例1）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.AB＝AP＝1，AD＝ ，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形， 所以AB，AD，AP两两垂直. 如图，以A为坐标原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴的 正方向，建立空间直角坐标系， 则A（0，0，0），E ，C（1， ，0）， 于是 ＝ ， ＝（1， ，0）. 设n＝（x，y，z）为平面ACE的法向量， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 则 即 所以 令y＝－1，则x＝z＝ . 所以平面ACE的一个法向量为n＝（ ，－1， ）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【母题探究】 （变设问）若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的 一个法向量. 解：建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（1， ， 0），所以 ＝（1， ，－1），即为直线PC的一个方向向量. 设平面PCD的一个法向量为n＝（x，y，z）， 因为D（0， ，0），所以 ＝（0， ，－1）. 由 即 所以 令y＝1，则z＝ . 所以平面PCD的一个法向量为n＝（0，1， ）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 利用待定系数法求平面法向量的步骤 （1）设向量：设平面的一个法向量为n＝（x，y，z）； （2）选向量：在平面内选取两个不共线向量 ， ； （3）列方程组：由 列出方程组； （4）解方程组： （5）赋非零值：取x，y，z其中一个为非零值（常取±1）； （6）得结论：得到平面的一个法向量. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的 中心.求证： 是平面PAC的一个法向量. 证明：如图，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 不妨设正方体的棱长为2，则A（2，0，0），P（0，0， 1），C（0，2，0），B1（2，2，2），O（1，1，0）， ∴ ＝（1，1，2）， ＝（－2，2，0）， ＝（－2，0，1）， ∴ · ＝－2＋2＝0， · ＝－2＋2＝0， 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 22 ∴ ⊥ ， ⊥ ，即OB1⊥AC，OB1⊥AP. ∵AC∩AP＝A，AC⊂平面PAC，AP⊂平面PAC， ∴OB1⊥平面PAC. ∴ 是平面PAC的一个法向量. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜平面方程的表示 【例3】　（链接教科书第30页例2）已知A（1，2，3），B（1，－1，－ 2），C（－1，0，0）. （1）写出直线BC的一个方向向量； 解： 由题意知 ＝（－1－1，0－（－1），0－（－2））＝（－ 2，1，2）. 所以直线BC的一个方向向量为（－2，1，2）（答案不唯一）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）设平面α经过点A，且 是α的一个法向量，M（x，y，z）是平 面α内任意一点，试写出x，y，z满足的关系式. 解： 因为平面α经过点A（1，2，3），且M（x，y，z）是平面α 内的任意一点， 则有 ＝（x－1，y－2，z－3）， 又因为 是平面α的法向量， 所以 ⊥ ，从而 · ＝0， 即（－2，1，2）·（x－1，y－2，z－3）＝0， 整理可得2x－y－2z＋6＝0，即为所求. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 求平面方程的两种方法 （1）法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即n· ＝0求 解，其中n为平面的法向量， 为平面内的任意向量； （2）待定系数法：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0，然后代入相 关点解方程即可. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　在空间直角坐标系中，已知点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0， 0，4），试求出经过A，B，C三点的平面的方程. 解：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0， 将点A（2，0，0），B（0，3，0），C（0，0，4）分别代入，得 ∴2A＝3B＝4C， ∴取A＝6，得B＝4，C＝3，D＝－12， ∴经过A，B，C三点的平面的方程为6x＋4y＋3z－12＝0. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 1. 若A（0，2，1），B（3，2，－1）在直线l上，则直线l的一个方向向 量为（　　） A. （－3，0，－6） B. （9，0，－6） C. （－2，0，2） D. （－2，1，3） 解析： 　 ＝（3，0，－2）＝ （9，0，－6），故选B. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知向量a＝（2，－1，3）和b＝（－4，2x2，6x）都是直线l的方向 向量，则x＝（　　） A. －1 B. 1或－1 C. －3 D. 1 解析： 　由题意得a∥b，所以 解得x＝－1. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知A（0，1，1），B（－1，1，1），C（1，0，0），则平面ABC 的一个法向量为（　　） A. （0，1，－1） B. （－1，0，1） C. （1，1，1） D. （－1，0，0） 解析： 　设平面ABC的法向量为n＝（x，y，z），由 ＝（－1，0， 0）， ＝（1，－1，－1），可得 即 取y ＝1，解得x＝0，z＝－1，所以n＝（0，1，－1）. √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝1，AA1＝2. 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求平面BCC1B1的一个法向量； 设平面BCC1B1的一个法向量为n＝（x1，y1，z1）， 则 即 取x1＝y1＝1，z1＝0，则n＝（1，1，0）， 所以平面BCC1B1的一个法向量为n＝（1，1，0）. 解：由题意，得B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，2），A1 （0，0，2）， 则 ＝（－1，1，0）， ＝（0，0，2）， ＝（－1，0，2）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求平面A1BC的一个法向量. 解：设平面A1BC的一个法向量为m＝（x2，y2，z2），则 即 取x2＝y2＝2，z2＝1，则m＝（2，2，1）， 所以平面A1BC的一个法向量为m＝（2，2，1）. 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 在空间直角坐标系O-xyz中，下列向量是y轴方向向量的是（　　） A. （1，1，1） B. （0，－1，0） C. （1，2，0） D. （0，1，1） 解析： 　y轴方向向量可以表示为（0，k，0）（k≠0），所以（0，－ 1，0）是y轴方向向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 2. 已知平面α内有一个点A（2，－1，2），α的一个法向量为n＝（3， 1，2），则下列各点中，在平面α内的是（　　） A. P（1，－1，1） B. Q C. M D. N 解析： 　对于B， ＝ ，则n· ＝（3，1， 2）· ＝0，∴n⊥ ，则点Q 在平面α内. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 3. 从点A（2，－1，7）沿向量a＝（8，9，－12）的方向取线段长｜ ｜＝34，则B点的坐标为（　　） A. （18，17，－17） B. （－14，－19，17） C. D. 解析： 　设B点坐标为（x，y，z），则 ＝λa（λ＞0），即（x－ 2，y＋1，z－7）＝λ（8，9，－12），因为｜ ｜＝34，即 ＝34，得λ＝2，所以x＝18，y＝17，z＝－17. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 4. 已知直线l1的方向向量a＝（2，4，x），直线l2的方向向量b＝（2， y，2），若｜a｜＝6，且a⊥b，则x＋y的值是（　　） A. －3或1 B. 3或－1 C. －3 D. 1 解析： 　由题意得 解得 或 故x ＋y＝－3或x＋y＝1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 5. 在三棱锥P-ABC中，CP，CA，CB两两垂直，AC＝CB＝1，PC＝ 2，如图，建立空间直角坐标系，则下列向量是平面PAB的法向量的是 （　　） A. （1，1， ） B. （1， ，1） C. （1，1，1） D. （2，－2，1） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　因为P（0，0，2），A（1，0，0），B（0，1，0），所以 ＝（1，0，－2）， ＝（－1，1，0），设平面PAB的一个法向量为n＝ （x，y，1），由 则 解得 所以n＝ （2，2，1）.又（1，1， ）＝ n.因此，平面PAB的一个法向量为（1， 1， ）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A1B1C1D1是棱长为1 的正方体，下列结论正确的是（　　） A. 平面ABB1A1的一个法向量为（0，1，0） B. 平面B1CD的一个法向量为（1，1，1） C. 平面B1CD1的一个法向量为（1，1，1） D. 平面ABC1D1的一个法向量为（0，1，1） √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　∵ ＝（0，1，0），AB⊥AD，AA1⊥AD，又AB∩AA1＝ A，AB，AA1⊂平面ABB1A1，∴AD⊥平面ABB1A1，∴A正确；∵ ＝ （－1，0，0），而（1，1，1）· ＝－1≠0，∴（1，1，1）不是平面 B1CD的法向量，∴ B不正确；∵ ＝（0，1，－1）， ＝（－1， 0，1），（1，1，1）· ＝0，（1，1，1）· ＝0，B1C∩CD1＝C， B1C，CD1⊂平面B1CD1，∴（1，1，1）是平面B1CD1的一个法向量，∴C 正确；∵ ＝（0，1，1），而 ·（0，1，1）＝2≠0，∴（0，1， 1）不是平面ABC1D1的法向量，∴D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 7. 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为始点 和终点的向量中： （1）直线AB的方向向量有 个； 解析： 直线AB的方向向量有： ， ， ， ， ， ， ， ，共8个. （2）平面AA1B1B的法向量有 个. 解析： 平面AA1B1B的法向量有： ， ， ， ， ， ， ， ，共8个. 8 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 8. 已知直线l1的一个方向向量为（－5，3，2），另一个方向向量为（x， y，8），则x＝ ，y＝ ⁠. 解析：∵直线的方向向量平行，∴ ＝ ＝ ，∴x＝－20，y＝12. －20 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 9. 已知平面α经过点O（0，0，0），且e＝（1，2，－3）是α的一个法 向量，M（x，y，z）是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式 是 ⁠. 解析：由题意得e⊥ ，则 ·e＝（x，y，z）·（1，2，－3）＝0， 故x＋2y－3z＝0. x＋2y－3z＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 10. 如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝ EC1，设 ＝a， ＝b， ＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底， 求直线AE，AD的一个方向向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解： ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＝ a＋ b＋c， 所以直线AD的一个方向向量是 a＋ b＋c. ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ b＋ c， 所以直线AE的一个方向向量为 b＋ c. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 11. 〔多选〕已知平面α内两向量a＝（1，1，1），b＝（0，2，－1）， 且c＝ma＋nb＋（4，－4，1），若c为平面α的一个法向量，则 （　　） A. m＝－1 B. m＝1 C. n＝2 D. n＝－2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　c＝ma＋nb＋（4，－4，1）＝（m，m，m）＋（0，2n， －n）＋（4，－4，1）＝（m＋4，m＋2n－4，m－n＋1），由c为平面 α的一个法向量，得 得 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 12. 若A ，B ，C 是平面α内的三点， 设平面α的法向量a＝（x，y，z），则x∶y∶z＝ ⁠. 解析：∵A ，B ，C ，∴ ＝ ， ＝ .又∵ ∴ 解得 ∴x∶y∶z＝ y∶y∶ ＝2∶3∶－4. 2∶3∶－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 13. 我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角 坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A（－3，4），且 法向量为n＝（1，－2）的直线方程为1×（x＋3）＋（－2）×（y－4） ＝0，即x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点B （1，2，3），且法向量为m＝（－1，－2，1）的平面α的方程为 ⁠ ⁠. 解析：根据法向量的定义，得m⊥α，任取平面α内一点P（x，y， z），则 ⊥m.因为 ＝（1－x，2－y，3－z），m＝（－1，－2， 1），所以（x－1）＋2（y－2）＋（3－z）＝0，即x＋2y－z－2＝0. x＋ 2y－z－2＝0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 14. 如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝ 90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝ ，试建立适当的坐 标系. （1）求平面ABCD的一个法向量； ∵SA⊥平面ABCD， ∴ ＝（0，0，1）是平面ABCD的一个法向量. 解：以{ ， ， }为正交基底，建立如图所示的空间直 角坐标系A-xyz，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（1， 1，0），D（ ，0，0），S（0，0，1）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求平面SAB的一个法向量； 解： ∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面 SAB， ∴AD⊥平面SAB， ∴ ＝（ ，0，0）是平面SAB的一个法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （3）求平面SCD的一个法向量. 解：在平面SCD中， ＝（ ，1，0）， ＝（1，1，－1）. 设平面SCD的法向量是n＝（x，y，z），则n⊥ ，n⊥ ， ∴ 得方程组 ∴ 令y＝－1，得x＝2，z＝1， ∴n＝（2，－1，1）. ∴n＝（2，－1，1）是平面SCD的一个法向量. （答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 15. 已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果 ＝（2，－1， －4）， ＝（4，2，0）， ＝（－1，2，－1）. （1）求证： 是平面ABCD的法向量； 解： 证明：因为 · ＝（－1，2，－1）·（2，－1，－4）＝0， · ＝（－1，2，－1）·（4，2，0）＝0， 所以AP⊥AB，AP⊥AD. 又AB∩AD＝A，AB，AD⊂平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD. 所以 是平面ABCD的法向量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 （2）求平行四边形ABCD的面积. 解： 因为｜ ｜＝ ＝ ， ｜ ｜＝ ＝2 ， · ＝（2，－1，－4）·（4，2，0）＝6， 所以 cos ＜ ， ＞＝ ＝ ， 故 sin ＜ ， ＞＝ ， S▱ABCD＝｜ ｜·｜ ｜ sin ＜ ， ＞＝8 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·选择性必修第二册（SJ） 目 录 $